3.2 双曲线
3.2.1 双曲线的标准方程
课标要求
素养要求
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养；通过求解双曲线的方程，提升数学运算素养.
自主梳理
1.双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线.两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
F1F2＝2c
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0，且a≠b.(×)
提示 a与b可以相等.
(2)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(×)
提示 必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.
(3)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(×)
提示 平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.
(4)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(×)
提示 因为|PF1－PF2|＝8＝F1F2，故对应的轨迹为两条射线.
2.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足PF1－PF2＝4，则P点的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.一条射线
答案 B
解析 因为PF1－PF2＝4，且4
由双曲线定义知P点的轨迹是双曲线的一支.
3.若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是( )
A.±5
B.±3
C.5
D.9
答案 B
解析 由题意知34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.
4.已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________.
答案 6
解析 椭圆方程为＋＝1，c2＝a2－b2＝36－24＝12，∴焦点F1(－2，0)，F2(2，0).
∵双曲线－＝1与椭圆有相同焦点，
∴2m＝12，∴m＝6.
题型一 双曲线定义的应用
【例1】 (1)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且PF1＝3，则PF2＝( )
A.11
B.9
C.5
D.3
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于( )
A.4
B.8
C.24
D.48
答案 (1)B (2)C
解析 (1)由双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2a＝6，
即|3－PF2|＝6，解得PF2＝9(负值舍去)，故选B.
(2)由题意得
解得
又由F1F2＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝·PF1·PF2＝24.
思维升华 双曲线的定义是解决与双曲线有关问题的主要依据，在应用时，一是注意条件|PF1－PF2|＝2a(0<2a【训练1】 在△ABC中，已知A(－2，0)，B(2，0)，且内角A，B，C满足sin
B－sin
A＝sin
C，求顶点C的轨迹方程.
解 由sin
B－sin
A＝sin
C及正弦定理，
可得b－a＝，
从而有CA－CB＝AB＝2由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去顶点).∵a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝6，
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>).
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上.
解 (1)法一 若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以
解得
(舍去).
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)，
将P，Q两点坐标代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
法二 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P，Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一 依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).则有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二 ∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6).
∵双曲线经过点(－5，2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去).
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
思维升华 1.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
2.求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.
【训练2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2).
解 (1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
题型三 双曲线中的焦点三角形问题
【例3】 如图，已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点.
若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积.
解 双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
将|PF2－PF1|＝2a＝6两边平方得
PF＋PF－2PF1·PF2＝36，
∴PF＋PF＝36＋2PF1·PF2
＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝eq
\f(PF＋PF－F1F,2PF1·PF2)＝＝0，
且0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝90°，∴△F1PF2为直角三角形，
∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.
思维升华 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1－PF2|＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
【训练3】 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
解 由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得PF1－PF2＝±6，
F1F＝PF＋PF－2PF1PF2cos
60°，
所以102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，
所以PF1·PF2＝64，
所以S△F1PF2＝PF1·PF2·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
1.牢记2个知识点
(1)双曲线的定义.
(2)双曲线的标准方程.
2.掌握求标准方程的2种方法
(1)待定系数法.
(2)定义法.
3.注意1个易错点
忽略双曲线方程中含有的字母的正负而致错.
一、选择题
1.双曲线2x2－y2＝8的焦距是( )
A.2
B.2
C.4
D.4
答案 C
解析 因为双曲线方程可化为－＝1，
所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，所以2c＝4.
2.若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，(k－5)(k－2)>0，即k>5或k<2.故选A.
3.已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，则实数m的值是( )
A.1
B.－1
C.－
D.
答案 B
解析 由焦点坐标，知焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
4.(多选题)过点(1，1)，且＝的双曲线的标准方程可以是( )
A.－y2＝1
B.－x2＝1
C.x2－＝1
D.y2－＝1
答案 AB
解析 由于＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入(1，1)点得a2＝.此时双曲线方程为－y2＝1.同理，求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
5.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是( )
A.－y2＝1
B.x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 B
解析 由已知条件，得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点的坐标为(0，2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
二、填空题
6.若双曲线－＝1的焦距为10，则m＝________.
答案 9
解析 由题意知，a＝4，b＝，c＝5，
又由a2＋b2＝c2得，16＋m＝25，∴m＝9.
7.已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________.
答案 22或2
解析 由双曲线定义，知|PF1－PF2|＝10，即|12－PF2|＝10，∴PF2＝2或22.
8.若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________；若表示椭圆，则实数m的取值范围是________.
答案 (－1，＋∞) (－∞，－5)∪(－5，－1)
解析 若表示双曲线，则应有m＋1>0，即m>－1；
若表示椭圆，则有解之得m<－1且m≠－5.
三、解答题
9.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，求PF1＋PF2的值.
解 由双曲线方程知a＝1，b＝1，c＝.
不妨设P在双曲线的右支上，PF1＝2＋x，PF2＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以PF1＋PF2＝＋1＋－1＝2.
10.已知△ABC的一边的两个顶点为B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
解 设顶点A的坐标为(x，y)(x≠±a)，则
kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0).
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当
－1当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).
11.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设PF1＝d1，PF2＝d2，
则d1＋d2＝2，①
|d1－d2|＝2，②
①2＋②2得d＋d＝18.
①2－②2得2d1d2＝6.
而c＝2，∴cos∠F1PF2＝eq
\f(d＋d－4c2,2d1d2)＝＝.
12.设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
答案 B
解析 设点P(x0，y0)，依题意得F1F2＝2＝4，S△PF1F2＝F1F2·|y0|＝2，
∴|y0|＝1.
又eq
\f(x,3)－y＝1，
∴x＝3(y＋1)＝6.
∴·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.
13.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且MF1＋MF2＝6，试判断△MF1F2的形状.
解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有
解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有MF1－MF2＝2，
又MF1＋MF2＝6，
故解得MF1＝4，MF2＝2，又F1F2＝2，
因此在△MF1F2中，MF1边最长，
而cos∠MF2F1＝eq
\f(MF＋F1F－MF,2MF2·F1F2)<0，
所以∠MF2F1为钝角.
故△MF1F2为钝角三角形.
14.设F为双曲线－＝1的左焦点，在x轴上点F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(－5，0)，A(5，0)，FN－NA＝8，FM＝NA，
所以FN－FM＝8，＝＝，故选D.(共44张PPT)
3.2
双曲线
3.2.1
双曲线的标准方程
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.
2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
课标要求
素养要求
通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养；通过求解双曲线的方程，提升数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.双曲线的定义
常数
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于_____
(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线.两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程
(0，－c)
(0，c)
a2＋b2
?
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
______________
(a>0，b>0)
__________
(a>0，b>0)
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1__________，F2___________
焦距
F1F2＝2c
a，b，c的关系
c2＝___________
1.思考辨析，判断正误
×
×
×
×
提示 a与b可以相等.
(2)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(
)
提示 必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.
(3)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(
)
提示 平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.
(4)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(
)
提示 因为|PF1－PF2|＝8＝F1F2，故对应的轨迹为两条射线.
2.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足PF1－PF2＝4，则P点的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.一条射线
B
解析 因为PF1－PF2＝4，且4由双曲线定义知P点的轨迹是双曲线的一支.
A.±5
B.±3
C.5
D.9
B
解析 由题意知34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.
6
4.已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________.
∴2m＝12，∴m＝6.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 双曲线定义的应用
A.11
B.9
C.5
D.3
B
解析 由双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2a＝6，
即|3－PF2|＝6，解得PF2＝9(负值舍去)，故选B.
C
双曲线的定义是解决与双曲线有关问题的主要依据，在应用时，一是注意条件|PF1－PF2|＝2a(0<2a思维升华
【例2】 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
题型二 求双曲线的标准方程
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为
法二 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P，Q两点在双曲线上，
1.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
思维升华
2.求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.
思维升华
【训练2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
解 由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
解
因为焦点在x轴上，
解得a2＝8，b2＝4，
题型三 双曲线中的焦点三角形问题
若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积.
且0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝90°，∴△F1PF2为直角三角形，
在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1－PF2|＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
思维升华
1.牢记2个知识点
(1)双曲线的定义.
(2)双曲线的标准方程.
2.掌握求标准方程的2种方法
(1)待定系数法.
(2)定义法.
3.注意1个易错点
忽略双曲线方程中含有的字母的正负而致错.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.双曲线2x2－y2＝8的焦距是( )
C
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当k>5时，方程表示双曲线；
反之，当方程表示双曲线时，(k－5)(k－2)>0，
即k>5或k<2.故选A.
B
解析 由焦点坐标，知焦点在y轴上，∴m<0，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
AB
B
9
22或2
解析 由双曲线定义，知|PF1－PF2|＝10，即|12－PF2|＝10，
∴PF2＝2或22.
(－1，＋∞)
(－∞，－5)∪(－5，－1)
解析 若表示双曲线，则应有m＋1>0，即m>－1；
三、解答题
9.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，求PF1＋PF2的值.
不妨设P在双曲线的右支上，PF1＝2＋x，PF2＝x(x>0)，
因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
10.已知△ABC的一边的两个顶点为B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
解 设顶点A的坐标为(x，y)(x≠±a)，则
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当
－1当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).
B
B
A.2
B.3
C.4
D.6
所以∠MF2F1为钝角.
故△MF1F2为钝角三角形.
D
解析 对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(－5，0)，A(5，0)，FN－NA＝8，FM＝NA，
本节内容结束