第3章
圆锥曲线与方程
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
圆锥曲线发展史
2
000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.阿波罗尼奥斯(Apollonius，前262～前190年)与欧几里德是同时代人，其巨著《圆锥曲线论》与欧几里德的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作.在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼总结了前人的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化，在此基础上，又提出许多自己的创见.事实上，阿波罗尼奥斯在其著作中使用纯几何方法已经得到了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果.
[读图探新]——发现现象背后的知识
链接：圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，它们有很多非常好的几何性质，这些几何性质在日常生活和社会生产中都有着重要而广泛的应用，因此学习这部分内容对于提高自身素质非常重要.本章将在学习直线和圆的基础上，进一步学习圆锥曲线及其方程，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的重要作用，并进一步体会数形结合这一重要的数学思想.
3.1 椭 圆
3.1.1 椭圆的标准方程
课标要求
素养要求
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、会求标准方程.
通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
自主梳理
1.椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆.两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
焦点
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
c2＝a2－b2
当且仅当椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准方程.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝4，则点P的轨迹是椭圆.(√)
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝2，则点P的轨迹是椭圆.(×)
提示 因为PF1＋PF2＝F1F2，所以点P的轨迹是线段F1F2.
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足PF1＋PF2＝1，则点P的轨迹是椭圆.(×)
提示 因为PF1＋PF2＜F1F2，所以点P的轨迹不存在.
(4)椭圆＋＝1的焦点坐标是(±2，0).(√)
2.设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________.
答案 50
解析 由椭圆方程，知a2＝169，b2＝25，∴a＝13，c＝＝12.由椭圆定义，知PF1＋PF2＝2a＝26，又F1F2＝2c＝24，故△PF1F2的周长为2a＋2c＝50.
3.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 B
解析 将椭圆方程化为标准方程为x2＋＝1，
又其一个焦点坐标为(0，1)，故－1＝1，解得k＝2.
4.已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则PF1·PF2＝________.
答案 48
解析 依题意知，a＝7，b＝2，
c＝＝5，
F1F2＝2c＝10.
由于PF1⊥PF2，
所以由勾股定理得PF＋PF＝F1F，
即PF＋PF＝100.
又由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝14，
所以(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝100，
即196－2PF1·PF2＝100.
解得PF1·PF2＝48.
题型一 椭圆定义的应用
角度1 椭圆定义的直接应用
【例1】 如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.求△AF1B的周长.
解 由椭圆方程＋＝1可得a＝5，
故由椭圆定义有AF1＋AF2＝2a＝10，BF1＋BF2＝2a＝10，又AF2＋BF2＝AB，
所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB
＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2
＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)
＝2a＋2a＝20.
角度2 椭圆中的焦点三角形
【例2】 已知点P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积.
解 由椭圆方程＋＝1可得a＝，b＝2，c＝＝1.
在△PF1F2中，由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2
＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2－2PF1·PF2·cos
30°，
∴4＝(2)2－(2＋)PF1·PF2，
∴PF1·PF2＝16(2－).
∴S△F1PF2＝PF1·PF2·sin
30°＝8－4.
思维升华 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间联系建立三角形中的边角之间关系.在解题中，经常把PF1·PF2看作一个整体来处理.
【训练1】 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上.若PF1＝4，则PF2＝________，∠F1PF2的大小为________.
答案 2 120°
解析 ∵PF1＋PF2＝2a＝6，
∴PF2＝6－PF1＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2
＝eq
\f(PF＋PF－F1F,2PF1·PF2)
＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
题型二 求椭圆的标准方程
【例3】 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).
解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
因为2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
思维升华 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.
【训练2】 求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.
解 法一 (1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
题型三 求与椭圆有关的轨迹问题
【例4】 (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________.
答案 x2＋＝1
解析 设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又eq
\f(x,4)＋eq
\f(y,8)＝1.
所以＋＝1，
即x2＋＝1.
(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
解 由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图.由题设知
MQ1＝1＋R，
MQ2＝9－R，
所以MQ1＋MQ2＝10>Q1Q2＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，
且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
思维升华 1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法.本例(2)所用方法为定义法.
2.定义法求轨迹方程
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法.
3.代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以将点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程
F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法).
【训练3】 (1)已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程.
解 设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0).
利用中点坐标公式，
得∴
∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，
∴eq
\f(x,4)＋y＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，
得＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是＋4y2＝1.
(2)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且PA＋PB是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程.
解 以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0).则2a＝AC＋BC＝＋＝4，
2c＝AB＝2，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
所以曲线E的方程为＋＝1.
1.牢记2个知识点
(1)椭圆的定义.
(2)椭圆的标准方程.
2.掌握求标准方程的2种方法
(1)待定系数法.
(2)定义法.
3.注意1个易错点
若焦点位置不确定，一定要分类讨论.
一、选择题
1.平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足MF1＋MF2为常数”是“M的轨迹是椭圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当MF1＋MF2>F1F2时，M的轨迹才是椭圆.
2.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m的值为( )
A.9
B.4
C.3
D.2
答案 C
解析 由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(负值舍去).
3.已知椭圆＋＝1的左焦点为F1，一动直线过椭圆右焦点F2且与椭圆交于点M，N，则△F1MN的周长为( )
A.16
B.20
C.32
D.40
答案 D
解析 由椭圆方程知a＝10，结合椭圆的定义，得△F1MN的周长为4a＝40.
4.(多选题)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且F1F2＝2，若PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆C的标准方程可以是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 BC
解析 由已知2c＝F1F2＝2，所以c＝.因为2a＝PF1＋PF2＝2F1F2＝4，所以a＝2.所以b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.故选BC.
5.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠0)
B.＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(x≠0)
D.＋＝1(x≠0)
答案 B
解析 由AB＋AC＝20－8＝12>BC＝8，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与y轴的交点)，其中2a＝12，2c＝8，b2＝a2－c2＝20.故其方程为＋＝1(x≠0).
二、填空题
6.椭圆＋＝1的焦点坐标是________________.
答案 (0，－12)，(0，12)
解析 由椭圆的标准方程知，a2＝169，b2＝25，
∴c2＝a2－b2＝169－25＝144，
又由椭圆的标准方程知椭圆的焦点在y轴上，
∴焦点坐标为(0，－12)和(0，12).
7.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________.
答案 4
解析 设椭圆的另一个焦点为E，则MF＋ME＝10，
∴ME＝8，又ON为△MEF的中位线，
∴ON＝ME＝4.
8.设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，则焦距为________；若P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________.
答案 8 18
解析 由椭圆的方程知a＝5，b＝3，c＝＝4，故焦距为8，
△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝10＋8＝18.
三、解答题
9.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取PF1＝，PF2＝，
由椭圆的定义，知2a＝PF1＋PF2＝2，
即a＝.
由PF1＞PF2知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴.
在Rt△PF2F1中，4c2＝PF－PF＝，
∴c2＝，
∴b2＝a2－c2＝.
又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
10.已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹方程.
解 由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，且MF2＝MP，从而MF1＋MF2＝MF1＋MP＝PF1＝4>F1F2，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，
所以点M的轨迹方程为＋＝1.
11.(多选题)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可以是( )
A.圆
B.椭圆
C.线段
D.射线
答案 AB
解析 如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则AC＝R－r，由于r＝BC，
∴AC＝R－BC，即CA＋CB＝R.
∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R.
∵B为圆内的定点，∴AB∴动点C的轨迹为椭圆.若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆.
12.设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________.
答案 (0，±1)
解析 根据题意，知F1(－，0)，F2(，0).设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d).
可得＝(m＋，n)，＝(c－，d).
∵＝5，∴
∴c＝，d＝.
∵点A，B都在椭圆上，
∴＋n2＝1，＋＝1.
解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1).
13.已知点P(6，8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆的两焦点，若·＝0.试求：
(1)椭圆的方程；
(2)sin∠PF1F2的值.
解 (1)因为＝(－c－6，－8)，＝(c－6，－8)，
且·＝0，
所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，
所以F1(－10，0)，F2(10，0)，
所以2a＝PF1＋PF2
＝＋＝12，
所以a＝6，b2＝a2－c2＝80.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为·＝0，
所以PF1⊥PF2，
由(1)知，PF2＝＝4，
F1F2＝2c＝20，
所以sin∠PF1F2＝＝＝.
14.已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.
解 如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，
∴PB＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距PA＝10－r，
即PA＋PB＝10(大于AB＝6).
∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
∴2a＝10，2c＝AB＝6.
∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.(共47张PPT)
第3章
3.1
椭
圆
3.1.1
椭圆的标准方程
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、会求标准方程.
课标要求
素养要求
通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的__________________________________的点的轨迹叫作______.两个定点F1，F2叫作椭圆的______，两个焦点间的距离叫作椭圆的______，焦距的一半称为________.
距离的和等于常数(大于F1F2)
椭圆
焦点
焦距
半焦距
2.椭圆的标准方程
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
c2＝a2－b2
c2＝a2－b2
点睛
1.思考辨析，判断正误
√
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝4，则点P的轨迹是椭圆.(
)
×
×
√
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝2，则点P的轨迹是椭圆.(
)
提示 因为PF1＋PF2＝F1F2，所以点P的轨迹是线段F1F2.
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足PF1＋PF2＝1，则点P的轨迹是椭圆.(
)
提示 因为PF1＋PF2＜F1F2，所以点P的轨迹不存在.
50
由椭圆定义，知PF1＋PF2＝2a＝26，又F1F2＝2c＝24，
故△PF1F2的周长为2a＋2c＝50.
3.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
B
又其一个焦点坐标为(0，1)，
48
F1F2＝2c＝10.
由于PF1⊥PF2，
又由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝14，
所以(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝100，
即196－2PF1·PF2＝100.
解得PF1·PF2＝48.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 椭圆定义的应用
角度1 椭圆定义的直接应用
故由椭圆定义有AF1＋AF2＝2a＝10，BF1＋BF2＝2a＝10，
又AF2＋BF2＝AB，
所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB
＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2
＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)
＝2a＋2a＝20.
角度2 椭圆中的焦点三角形
思维升华 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间联系建立三角形中的边角之间关系.在解题中，经常把PF1·PF2看作一个整体来处理.
思维升华
解析 ∵PF1＋PF2＝2a＝6，
∴PF2＝6－PF1＝2.
2
120°
在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2
∴∠F1PF2＝120°.
【例3】 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；
题型二 求椭圆的标准方程
解 因为椭圆的焦点在x轴上，
因为2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.
解
因为椭圆的焦点在y轴上，
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).
因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.
思维升华
解 法一 (1)当焦点在x轴上时，
(2)当焦点在y轴上时，
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
法二 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
题型三 求与椭圆有关的轨迹问题
(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
解 由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，
R2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图.由题设知
MQ1＝1＋R，
MQ2＝9－R，
所以MQ1＋MQ2＝10>Q1Q2＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，
且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法.本例(2)所用方法为定义法.
2.定义法求轨迹方程
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法.
3.代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点
Q(x1，y1)存在着某种联系，可以将点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程
F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法).
思维升华
解 设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0).
利用中点坐标公式，
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，
解 以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
2c＝AB＝2，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
1.牢记2个知识点
(1)椭圆的定义.
(2)椭圆的标准方程.
2.掌握求标准方程的2种方法
(1)待定系数法.
(2)定义法.
3.注意1个易错点
若焦点位置不确定，一定要分类讨论.?
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足MF1＋MF2为常数”是“M的轨迹是椭圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当MF1＋MF2>F1F2时，M的轨迹才是椭圆.
B
C
A.9
B.4
C.3
D.2
解析 由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(负值舍去).
D
A.16
B.20
C.32
D.40
解析 由椭圆方程知a＝10，结合椭圆的定义，得△F1MN的周长为4a＝40.
BC
5.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
B
解析 由AB＋AC＝20－8＝12>BC＝8，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与y轴的交点)，其中2a＝12，2c＝8，b2＝a2－c2＝20.
(0，－12)，(0，12)
解析 由椭圆的标准方程知，a2＝169，b2＝25，
∴c2＝a2－b2＝169－25＝144，
又由椭圆的标准方程知椭圆的焦点在y轴上，
∴焦点坐标为(0，－12)和(0，12).
4
解析 设椭圆的另一个焦点为E，则MF＋ME＝10，
∴ME＝8，又ON为△MEF的中位线，
8
18
解析 由椭圆的方程知a＝5，b＝3，
△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝10＋8＝18.
解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
10.已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹方程.
解 由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，且MF2＝MP，
从而MF1＋MF2＝MF1＋MP＝PF1＝4>F1F2，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
11.(多选题)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可以是( )
A.圆
B.椭圆
C.线段
D.射线
AB
解析 如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，
动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，
则AC＝R－r，由于r＝BC，
∴AC＝R－BC，即CA＋CB＝R.
∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R.
∵B为圆内的定点，∴AB∴动点C的轨迹为椭圆.若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆.
(0，±1)
(1)椭圆的方程；
所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，
所以F1(－10，0)，F2(10，0)，
(2)sin∠PF1F2的值.
14.已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.
解 如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，
∴PB＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距PA＝10－r，
即PA＋PB＝10(大于AB＝6).
∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
∴2a＝10，2c＝AB＝6.
∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
本节内容结束
