(共46张PPT)
3.3.2 抛物线的几何性质
第一课时 抛物线的几何性质
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
课标要求
素养要求
通过研究抛物线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.抛物线的几何性质
x≥0，
x≤0，
y≥0
y≤0
O(0，0)
向右
向左
向上
向下
2.抛物线的焦点弦、通径
抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦.弦长公式为AB＝_________________，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p称为抛物线的通径长.
x1＋x2＋p
1.思考辨析，判断正误
√
(1)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(
)
(2)抛物线没有渐近线.(
)
(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(
)
提示 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为通径长，为2p.
(4)抛物线既是中心对称图形又是轴对称图形.(
)
提示 抛物线不是中心对称图形.
√
×
×
2.抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )
B
3.(多选题)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为( )
A.y2＝8x
B.y2＝－8x
C.x2＝8y
D.x2＝4y
解析 设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
AB
∴2|y|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
(1，2)或(1，－2)
课堂互动
题型剖析
2
题型一 抛物线的几何性质
(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.
思维升华
【训练1】 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点
M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.
解 当抛物线的焦点在x轴上时，
设其标准方程为y2＝mx(m≠0).
将点M(1，－2)代入，得m＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
当抛物线的焦点在y轴上时，
设其标准方程为x2＝ny(n≠0).
题型二 依据性质求抛物线标准方程
∴p＝8.
∴所求的抛物线方程为x2＝16y.
(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________.
解
不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
如图所示，AB是抛物线的通径，
利用抛物线几何性质可以解决的问题
1.对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
2.焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
3.范围：解决与抛物线有关的最值问题.
4.焦点：解决焦点弦问题.
思维升华
【训练2】 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________________________.
x2＝12y或x2＝－12y
其短轴在y轴上，
∴抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，
∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.
【例3】 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.
题型三 与抛物线有关的最值问题
解 法一 设P(t，－t2)为抛物线上的点，它到直线4x＋3y－8＝0的距离
法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0
平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，
抛物线中最值的求解策略
1.可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围.
2.当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化.
思维升华
【训练3】 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.
解析 因为抛物线的方程为y2＝4x，
2
所以焦点坐标F(1，0)，准线方程为x＝－1，
所以设P到准线的距离为PB，
则PB＝PF，P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为PA，
所以PA＋PB＝PA＋PF≥FD，其中FD为焦点到直线4x－3y＋6＝0的距离，
所以距离之和的最小值是2.
1.牢记抛物线的7个性质
2.掌握2种方法
(1)利用抛物线的标准方程，讨论抛物线的几何性质.
(2)利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
3.注意1个易错点
若P(x，y)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，应注意x≥0，容易因忽略x≥0而导致错误.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则PQ＝( )
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
解析 因为PQ过焦点，所以PQ＝x1＋x2＋p＝4p.
A
2.若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为( )
A.－2
B.2
C.－4
D.4
D
所以m＝4.故选D.
3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，且AB＝8，那么抛物线方程为( )
A.y2＝2x
B.y2＝4x
C.y2＝8x
D.y2＝6x
B
所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋p＝8，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
4.(多选题)抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若PF＝5，则点P的坐标可以为( )
AB
解析 设点P的坐标为(x，y)，
∵PF＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，
5.抛物线
C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
D
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
∵圆的面积为36π，
∴圆的半径为6.
二、填空题
6.已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m＋PC的最小值为________.
解析 由圆C的方程知圆心C(－3，－4)，
由抛物线的定义知，m＋PC最小值为圆心与抛物线焦点(2，0)间的距离，
7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，
则直线AF的斜率为________.
∴抛物线的方程为y2＝8x，
则焦点F的坐标为(2，0).
8.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，
则p＝________，B到该抛物线准线的距离为________.
三、解答题
9.如图所示，过抛物线y2＝2px
(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于
点A，B，交其准线于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，求此抛
物线的方程.
解 如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，
垂足分别为A′，D，则BF＝BD，
又2BF＝BC，∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又AF＝3，∴AA′＝3，
∴AC＝6，FC＝3.
∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AF＋BF＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程.
设A(x1，y1)，B(x2，
∵AF＋BF＝8，
即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6，0)在线段AB的中垂线上，
∴QA＝QB，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
因为曲线C1与C2在第一象限内有且只有一个公共点，
所以Δ＝(－10p)2－4×4×25＝0，解得p＝2(负值舍去)，所以C2：x2＝4y.
AD
本节内容结束3.3.2 抛物线的几何性质
第一课时 抛物线的几何性质
课标要求
素养要求
1.了解抛物线的简单几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
通过研究抛物线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养.
自主梳理
1.抛物线的几何性质
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2p(p>0)y
图象
性质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0，0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
2.抛物线的焦点弦、通径
抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦.弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p称为抛物线的通径长.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(√)
(2)抛物线没有渐近线.(√)
(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(×)
提示 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为通径长，为2p.
(4)抛物线既是中心对称图形又是轴对称图形.(×)
提示 抛物线不是中心对称图形.
2.抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.2
B.
C.
D.
答案 B
解析 椭圆的标准方程为＋＝1，则其一个焦点坐标为，所以＝，p＝，故抛物线的焦点到准线的距离为.
3.(多选题)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为( )
A.y2＝8x
B.y2＝－8x
C.x2＝8y
D.x2＝4y
答案 AB
解析 设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
依题意将x＝代入y2＝2px或y2＝－2px，得|y|＝p，
∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
4.已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________________.
答案 (1，2)或(1，－2)
解析 设Aeq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0))，∵抛物线的焦点为F(1，0)，
则＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0))，＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,4)，－y0))，
由·＝－4，得y0＝±2，
∴点A的坐标是(1，2)或(1，－2).
题型一 抛物线的几何性质
【例1】 已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
解 因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，
所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
思维升华 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.
【训练1】 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.
解 当抛物线的焦点在x轴上时，
设其标准方程为y2＝mx(m≠0).
将点M(1，－2)代入，得m＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
当抛物线的焦点在y轴上时，
设其标准方程为x2＝ny(n≠0).
将点M(1，－2)代入，得n＝－.
∴抛物线的标准方程为x2＝－y.
故所求的抛物线的标准方程为
y2＝4x或x2＝－y.
准线方程分别为x＝－1或y＝.
题型二 依据性质求抛物线标准方程
【例2】 (1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py
(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________.
(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________.
答案 (1)x2＝16y (2)y2＝4x
解析 (1)∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
∴＝＝2，∴b＝a，
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，
∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，
∴p＝8.
∴所求的抛物线方程为x2＝16y.
(2)不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，如图所示，AB是抛物线的通径，
∴AB＝2p，又OF＝p，
∴S△OAB＝·AB·OF＝·2p·p＝p2＝4，故p＝2.
∴所求抛物线方程为y2＝4x.
思维升华 利用抛物线几何性质可以解决的问题
1.对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
2.焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
3.范围：解决与抛物线有关的最值问题.
4.焦点：解决焦点弦问题.
【训练2】 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________.
答案 x2＝12y或x2＝－12y
解析 椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在y轴上，
∴抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得＝3，
∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.
题型三 与抛物线有关的最值问题
【例3】 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.
解 法一 设P(t，－t2)为抛物线上的点，它到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝
＝
＝
＝＋.
∴当t＝时，d有最小值.
法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0
平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，
∴m＝－.
∴最小距离为＝＝.
思维升华 抛物线中最值的求解策略
1.可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围.
2.当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化.
【训练3】 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.
答案 2
解析 因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标F(1，0)，准线方程为x＝－1，所以设P到准线的距离为PB，则PB＝PF，P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为PA，所以PA＋PB＝PA＋PF≥FD，其中FD为焦点到直线4x－3y＋6＝0的距离，所以FD＝＝＝2，所以距离之和的最小值是2.
1.牢记抛物线的7个性质
2.掌握2种方法
(1)利用抛物线的标准方程，讨论抛物线的几何性质.
(2)利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
3.注意1个易错点
若P(x，y)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，应注意x≥0，容易因忽略x≥0而导致错误.
一、选择题
1.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则PQ＝( )
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
答案 A
解析 因为PQ过焦点，所以PQ＝x1＋x2＋p＝4p.
2.若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为( )
A.－2
B.2
C.－4
D.4
答案 D
解析 由抛物线方程y2＝2mx可知其焦点为，
将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2，0)，根据题意可得＝2，
所以m＝4.故选D.
3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，且AB＝8，那么抛物线方程为( )
A.y2＝2x
B.y2＝4x
C.y2＝8x
D.y2＝6x
答案 B
解析 因为直线AB过焦点F，
所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋p＝8，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
4.(多选题)抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若PF＝5，则点P的坐标可以为( )
A.(3，2)
B.(3，－2)
C.(－3，2)
D.(－3，－2)
答案 AB
解析 设点P的坐标为(x，y)，
∵PF＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，
∴y＝±2.∴点P的坐标为(3，±2).
5.抛物线
C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
答案 D
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
∵圆的面积为36π，
∴圆的半径为6.
又圆心在OF的垂直平分线上，OF＝，
∴＋＝6，∴p＝8.
二、填空题
6.已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m＋PC的最小值为________.
答案
解析 由圆C的方程知圆心C(－3，－4)，
由抛物线的定义知，m＋PC最小值为圆心与抛物线焦点(2，0)间的距离，
即＝.
7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为________.
答案 －
解析 ∵点A(－2，3)在抛物线C的准线上，
∴＝2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x，
则焦点F的坐标为(2，0).
又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.
8.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则p＝________，B到该抛物线准线的距离为________.
答案
解析 由已知得B，把点B坐标代入y2＝2px得1＝2p·，
∴p2＝2，∴p＝，
∴B，故d＝＋＝.
三、解答题
9.如图所示，过抛物线y2＝2px
(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，求此抛物线的方程.
解 如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，则BF＝BD，
又2BF＝BC，∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又AF＝3，∴AA′＝3，
∴AC＝6，FC＝3.
∴F到准线距离p＝FC＝.
∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AF＋BF＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程.
解 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则其准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AF＋BF＝8，
∴x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6，0)在线段AB的中垂线上，
∴QA＝QB，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
11.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上一点，若PF＝4，则△POF的面积为________.
答案 2
解析 由y2＝4x知焦点F(，0)，准线x＝－.
设P点坐标为(x0，y0)，
则x0＋＝4，∴x0＝3，
∴y＝4×3＝24，
∴|y0|＝2，
∴S△POF＝××2＝2.
12.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B，且△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________；如果曲线C1与C2在第一象限内有且只有一个公共点，且a＝，那么C2的方程为________.
答案 x2＝4y
解析 由题意，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
与抛物线C2：x2＝2py(p>0)联立，可得x＝0或
x＝±.
不妨取A，设△OAB的垂心H，则kAH＝＝.
因为△OAB的垂心为C2的焦点，所以·＝－1，整理得5a2＝4b2，
即5a2＝4(c2－a2)，即9a2＝4c2，所以e＝＝.
由a＝，得b2＝，
所以双曲线C1：－＝1，
与抛物线C2：x2＝2py联立，可得－＝1，即4y2－10py＋25＝0.
因为曲线C1与C2在第一象限内有且只有一个公共点，
所以Δ＝(－10p)2－4×4×25＝0，解得p＝2(负值舍去)，所以C2：x2＝4y.
13.已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点.
(1)解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有kOA＝，kOB＝.
∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，
∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y＝2px1，y＝2px2，∴eq
\f(y,2p)·eq
\f(y,2p)＋y1y2＝0.
∵y1≠0，y2≠0，
∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)证明 ∵y＝2px1，y＝2px2，
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
∴＝，∴kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
∴y＝＋y1－，
即y＝＋eq
\f(y－2px1＋y1y2,y1＋y2).
∵y＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝＋，
∴y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p，0).
14.(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，MF＝5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·＝0，则p的值可以为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
答案 AD
解析 由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)，
设点M(x，y)，由抛物线定义知MF＝x＋＝5，可得x＝5－.
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝，
由已知可知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即点M，代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.故选AD.(共54张PPT)
第二课时 抛物线的方程与性质的应用
1.了解抛物线的简单应用.
2.运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题.
课标要求
素养要求
通过本节课进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
1.直线与抛物线的位置关系
(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点，此时直线与抛物线______；若Δ＝0，则直线与抛物线有___个公共点，此时直线与抛物线____；若Δ<0，则直线与抛物线____公共点，此时直线与抛物线____.
(2)当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有____个公共点，此时直线与抛物线______.
相交
一
相切
没有
相离
平行或重合
1
相交
2.有关弦长问题
x1＋x2＋p
1.思考辨析，判断正误
×
(1)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.(
)
提示 结合图象可知当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，此时不相切.
(2)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.(
)
(3)由抛物线y2＝2px(p>0)的图象可知，其上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.(
)
√
√
2.已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
解析 因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，
所以直线过点(1，0).
又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部.
所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0，直线与抛物线有两个公共点.故选C.
C
3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为( )
A.16
B.14
C.12
D.10
解析 设抛物线的焦点为F(1，0)，
则AB＝AF＋BF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.
C
2
4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
易知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
即(2p)2－4·(－p2)＝32.
又p>0，∴p＝2.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 抛物线的焦点弦问题
(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.
思维升华
【训练1】 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
∴AB＝5＋3＝8.
(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
【例2】 过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.
题型二 与抛物线弦的中点有关的问题
解 法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2).
∵P是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30.
法二 由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0.
设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，
∴所求直线AB的方程为4x－y－15＝0.
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30，
涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
思维升华
【训练2】 (1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
A
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l过焦点F，
(2)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0).直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________.
y2＝4x
x－y＝0
解
由题意知抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.
题型三 直线与抛物线的综合问题
(1)求抛物线G的方程；
解 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意知直线l的方程为x＝2y－4.
∴y2＝4y1. ③
由①，②，③及p＞0，
得：y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线G的方程为x2＝4y.
解
由题意设l：y＝k(x＋4)(k≠0)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围.
y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为
由Δ＝16k2＋64k＞0得：k＞0或k＜－4.
∴b∈(2，＋∞).
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2.
对于方程④，
1.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
2.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
思维升华
证明 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∴直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
【训练3】 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角
互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：
直线BC的斜率是定值.
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
课堂小结
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.设AB为过抛物线y2＝2px
(p>0)的焦点的弦，则AB的最小值为( )
A.
B.p
C.2p
D.无法确定
解析 当AB垂直于对称轴时，AB取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.
C
2.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A
解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，
由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.
∴点P到直线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，
3.已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )
A
解析 法一 设抛物线上点的坐标为(x，4x2)，
其中x∈R，由点到直线的距离公式得
法二 设与y＝4x－5平行的抛物线y＝4x2的切线方程为y＝4x＋m，
4.(多选题)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
BC
解析 由题意知准线为x＝－2，则Q(－2，0).
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，得x＝0，即交点为(0，0)，
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1.
综上，k的取值范围是[－1，1].故选BC.
5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A.8p2
B.4p2
C.2p2
D.p2
B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°，直线OA的方程为y＝x.
二、填空题
6.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
0或1
解析 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；
当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.综上，k＝0或k＝1.
7.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________.
(3，2)
解析 设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
将y＝x－1代入y2＝4x，
整理得x2－6x＋1＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，
∴所求点的坐标为(3，2).
8.已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则AB的最小值为________.
解析 设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
10.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛
物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交
于点M，N.
解 依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
证明 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，
代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，
所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
11.(多选题)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(点A在第一象限)，则下列结论中正确的是( )
AC
所以AB＝x1＋x2＋p＝8p，故D错误；
过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，作BE⊥AM，垂足为E，
设AF＝m，BF＝n，则由抛物线的定义得
AM＝AF＝m，BN＝BF＝n，AB＝m＋n，AE＝m－n，
因为∠EAB＝60°，
综上，正确的有AC.
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，
∴k2＝1，∴k＝±1.
14.已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.
本节内容结束(共48张PPT)
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程.
2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程.
3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值.
课标要求
素养要求
借助抛物线标准方程的推导，培养数学运算素养.
2.借助最值问题，提升直观想象与逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的__________的点的轨迹叫作________.定点F叫作抛物线的______，定直线l叫作抛物线的______.
距离相等
抛物线
焦点
准线
2.抛物线的标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
1.思考辨析，判断正误
(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(
)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(
)
(3)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(
)
提示 由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线.
(4)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.(
)
√
√
×
√
C
A.y2＝8x
B.y2＝4x
C.y2＝2x
D.y2＝±8x
D
即为(－2，0)或(2，0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
4
课堂互动
题型剖析
2
题型一 求抛物线的标准方程
【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(－2，0)；
∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
(2)准线为y＝－1；
∴p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)过点A(2，3)；
解
由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
求抛物线的标准方程：
求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程.
1.定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程.
2.待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值.
(1)对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，
根据题设中的条件设出其标准方程：y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，或x2＝2py(p>0)，或x2＝－2py(p>0)进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程.
思维升华
(2)对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：
当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为y2＝ax(a≠0)；
当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为x2＝ay(a≠0)，
再根据条件求a.
思维升华
【训练1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(3，－4)；
解 法一 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2px
(p>0)或x2＝－2p1y
(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
法二 抛物线的方程可设为y2＝ax
(a≠0)或x2＝by
(b≠0).
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解
令x＝0得y＝－5；
令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
【例2】 (1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，求点P到点B(－1，－1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
题型二 抛物线的标准方程及定义的应用
解 ∵抛物线的顶点为O(0，0)，p＝2，
∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1，0)，
∴点P到点B(－1，－1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之
和等于PB＋PF.
如图，PB＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时取得最小值，
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求PA＋PF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标.
解
将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，
∴A在抛物线内部.
由定义知PA＋PF＝PA＋d.
抛物线定义在求最值中的应用：
1.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.
2.数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一.
思维升华
【训练2】 已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值.
解 如图，设点F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点分
别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线
MN，C，D，N为垂足，
由抛物线的定义，知AC＝AF，BD＝BF，
【例3】 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高0.75
m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
题型三 抛物线的实际应用问题
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，
建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，
又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2
m时，小船开始不能通航.
(1)解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.
(2)以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线解决问题主要体现在：①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；②利用已求方程求点的坐标.
思维升华
(3)求解抛物线实际应用题的步骤：
思维升华
【训练3】 如图所示，一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断
面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，
若拱口宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值.
解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵点B在抛物线上，
∴抛物线方程为x2＝－ay.
1.牢记2个知识点
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程.
2.掌握2种解决问题的方法
(1)求标准方程的方法.
(2)运用定义解决有关距离的最值问题.
3.注意1个易错点
忽视标准方程的特征而致误.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A.(2，0)
B.(－2，0)
C.(4，0)
D.(－4，0)
B
解析 ∵y2＝－8x，∴p＝4，
∴焦点坐标为(－2，0).
2.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.直线
D
解析 法一 设动点P的坐标为(x，y).
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线.
法二 显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，
则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
3.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A.x2＝±3y
B.y2＝±6x
C.x2＝±12y
D.x2＝±6y
C
解析 ∵顶点与焦点的距离等于3，
∴2p＝12，
又∵对称轴是y轴，
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
4.(多选题)对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等
于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
BD
解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，
此时满足条件的直线存在，所以④满足.故选BD.
5.已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是
(8，7)，则PA＋PQ的最小值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
C
解析 由抛物线方程，知抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1.连接PF，并延长PQ交准线于点M，根据抛物线的定义知，PF＝PM＝PQ＋1.
当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，
则PA＋PQ的最小值为9.故选C.
二、填空题
6.抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________.
8.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________.
y2＝12x
解析 设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则MA＝MN，
即动点M到定点A(3，0)和定直线l：x＝－3的距离相等，且点A不在直线l上，
所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，
所以可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，
由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，
10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条
边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部
(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).
解 (1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
如图所示，因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h米，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
11.已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
D
解析 抛物线焦点为F(1，0)，过P作PA与准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，
则d1＋d2＝PA＋PB－1＝PF＋PB－1，
显然当P，F，B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，
ABC
A.p＝2
B.F为AD的中点
C.BD＝2BF
D.BF＝2
解析 如图所示，作AH⊥准线于点H，AM⊥x轴于点M，
BE⊥准线于点E.
设准线与x轴的交点为N.
∵p＝2，∴NF＝FM＝2，故△AMF≌△DNF，
∴F为AD的中点，故B正确.
∴BD＝2BE＝2BF，故C正确.
∵BD＝2BF，BD＋BF＝DF＝AF＝4，
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式.
所以p＝1，2p＝2.
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).
A.4
B.8
C.16
D.32
B
解析 如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N.
本节内容结束3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
课标要求
素养要求
1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程.2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程.3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值.
借助抛物线标准方程的推导，培养数学运算素养.2.借助最值问题，提升直观想象与逻辑推理素养.
自主梳理
1.抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(√)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(√)
(3)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(×)
提示 由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线.
(4)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.(√)
2.抛物线y＝－x2的准线方程是( )
A.x＝
B.x＝
C.y＝2
D.y＝4
答案 C
解析 将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2.
3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方程为( )
A.y2＝8x
B.y2＝4x
C.y2＝2x
D.y2＝±8x
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2，0)或(2，0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
4.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________.
答案 4
解析 椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，所以抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(2，0)，则p＝4.
题型一 求抛物线的标准方程
【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(－2，0)；
(2)准线为y＝－1；
(3)过点A(2，3)；
(4)焦点到准线的距离为.
解 (1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，
∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，
∴p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，
∴m＝或n＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.
(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
思维升华 求抛物线的标准方程：
求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程.
1.定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程.
2.待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值.
(1)对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，
根据题设中的条件设出其标准方程：y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，或x2＝2py(p>0)，或x2＝－2py(p>0)进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程.
(2)对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：
当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为y2＝ax(a≠0)；
当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为x2＝ay(a≠0)，
再根据条件求a.
【训练1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解 (1)法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px
(p>0)或x2＝－2p1y
(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
法二 抛物线的方程可设为y2＝ax
(a≠0)或x2＝by
(b≠0).
把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
题型二 抛物线的标准方程及定义的应用
【例2】 (1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，求点P到点B(－1，－1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求PA＋PF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标.
解 (1)∵抛物线的顶点为O(0，0)，p＝2，
∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1，0)，
∴点P到点B(－1，－1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于PB＋PF.
如图，PB＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时BF＝＝.
(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，
∴A在抛物线内部.
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当AP⊥l时，PA＋d最小，最小值为，即PA＋PF的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴点P的坐标为(2，2).
思维升华 抛物线定义在求最值中的应用：
1.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.
2.数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一.
【训练2】 已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值.
解 如图，设点F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点分别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，则MN＝(AC＋BD).
由抛物线的定义，知AC＝AF，BD＝BF，
∴MN＝(AF＋BF)≥AB＝.
设点M的横坐标为x，
MN＝x＋，则x≥－＝.
当线段AB过焦点F时，等号成立，此时点M到y轴的最短距离为.
题型三 抛物线的实际应用问题
【例3】 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高0.75
m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2
m时，小船开始不能通航.
思维升华 (1)解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.
(2)以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线解决问题主要体现在：①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；②利用已求方程求点的坐标.
(3)求解抛物线实际应用题的步骤：
【训练3】 如图所示，一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值.
解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
则点B的坐标为.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵点B在抛物线上，
∴＝－2p·，解得p＝，
∴抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
∴点E到拱底AB的距离为
－|y|＝－>3.
当a＝12时，－<3；当a＝13时，－>3，且－随a的增大而增大，∴a的最小整数值为13.
1.牢记2个知识点
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程.
2.掌握2种解决问题的方法
(1)求标准方程的方法.
(2)运用定义解决有关距离的最值问题.
3.注意1个易错点
忽视标准方程的特征而致误.
一、选择题
1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A.(2，0)
B.(－2，0)
C.(4，0)
D.(－4，0)
答案 B
解析 ∵y2＝－8x，∴p＝4，
∴焦点坐标为(－2，0).
2.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.直线
答案 D
解析 法一 设动点P的坐标为(x，y).
则＝.
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线.
法二 显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
3.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A.x2＝±3y
B.y2＝±6x
C.x2＝±12y
D.x2＝±6y
答案 C
解析 ∵顶点与焦点的距离等于3，∴＝3，
∴2p＝12，
又∵对称轴是y轴，
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
4.(多选题)对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
答案 BD
解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则MF＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；
由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时满足条件的直线存在，所以④满足.故选BD.
5.已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则PA＋PQ的最小值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
答案 C
解析 由抛物线方程，知抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1.连接PF，并延长PQ交准线于点M，根据抛物线的定义知，PF＝PM＝PQ＋1.
∴PA＋PQ＝PA＋PM－1＝PA＋PF－1≥AF－1＝－1＝10－1＝9，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则PA＋PQ的最小值为9.故选C.
二、填空题
6.抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________.
答案
解析 抛物线方程化为y2＝－x，所以抛物线开口向左，2p＝，＝，故焦点坐标为.
7.以椭圆＋y2＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______________.
答案 y2＝4x
解析 由＋y2＝1得，右焦点为(，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
8.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________.
答案 y2＝12x
解析 设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则MA＝MN，
即动点M到定点A(3，0)和定直线l：x＝－3的距离相等，且点A不在直线l上，
所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6.
∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
三、解答题
9.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，而且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程.
解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，
所以可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
将点代入方程求得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，
由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，点到两焦点距离之差的绝对值为2a＝1，
所以a＝，b2＝c2－a2＝，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).
解 (1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，如图所示，因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以52＝－2p·(－5)，解得p＝，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h米，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
11.已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
A.
B.＋1
C.－2
D.－1
答案 D
解析 抛物线焦点为F(1，0)，过P作PA与准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，
则d1＋d2＝PA＋PB－1＝PF＋PB－1，
显然当P，F，B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，d1＋d2取到最小值，最小值为FB－1＝－1.
12.(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于D.若AF＝4，则以下结论正确的是( )
A.p＝2
B.F为AD的中点
C.BD＝2BF
D.BF＝2
答案 ABC
解析 如图所示，作AH⊥准线于点H，AM⊥x轴于点M，BE⊥准线于点E.
直线l的斜率为，故tan∠AFM＝，
∴∠AFM＝.
又AF＝4，故MF＝2，AM＝2.
∴A，将点A的坐标代入抛物线的方程得p＝2(负值舍去)，故A正确.
设准线与x轴的交点为N.
∵p＝2，∴NF＝FM＝2，故△AMF≌△DNF，
∴F为AD的中点，故B正确.
∵∠BDE＝，
∴BD＝2BE＝2BF，故C正确.
∵BD＝2BF，BD＋BF＝DF＝AF＝4，
∴BF＝，故D错误.故选ABC.
13.已知位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程.
解 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等.
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式.
又因为＝，
所以p＝1，2p＝2.
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).
14.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且PM＝PF，则△PMF的面积为( )
A.4
B.8
C.16
D.32
答案 B
解析 如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N.
∵PM＝PF，PF＝PN，
∴PM＝PN.
∴MN＝PN.
设P，则|t|＝＋2，
解得t＝±4，
∴△PMF的面积为·|t|·MF＝×4×4＝8.第二课时 抛物线的方程与性质的应用
课标要求
素养要求
1.了解抛物线的简单应用.2.运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题.
通过本节课进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
自主梳理
1.直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数.
(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点，此时直线与抛物线相交；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点，此时直线与抛物线相切；若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点，此时直线与抛物线相离.
(2)当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点，此时直线与抛物线相交.
2.有关弦长问题
(1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝|x1－x2|＝·或AB＝|y1－y2|＝(k≠0).
(2)焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
AB＝x1＋x2＋p，AF＝x1＋.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.(×)
提示 结合图象可知当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，此时不相切.
(2)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.(√)
(3)由抛物线y2＝2px(p>0)的图象可知，其上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.(√)
2.已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
答案 C
解析 因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，
所以直线过点(1，0).
又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部.
所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0，直线与抛物线有两个公共点.故选C.
3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为( )
A.16
B.14
C.12
D.10
答案 C
解析 设抛物线的焦点为F(1，0)，则AB＝AF＋BF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.
4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
答案 2
解析 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
易知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为45°的直线的方程为y＝x－，
把x＝y＋代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.
∵AB＝8，∴·|y1－y2|＝8，|y1－y2|＝4，
∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，
即(2p)2－4·(－p2)＝32.
又p>0，∴p＝2.
题型一 抛物线的焦点弦问题
【例1】 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB＝p，求AB所在直线的方程.
解 由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则AB＝2p
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由消去y，
整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋.
所以AB＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝2p＋
＝p，解得k＝±2.
所以AB所在直线的方程为y＝2或y＝－2，即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
思维升华 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.
【训练1】 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；
(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan
60°＝，
又F.
所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，∴AB＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以中点M到准线的距离等于3＋＝.
题型二 与抛物线弦的中点有关的问题
【例2】 过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.
解 法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有y＝8x1，y＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2).
∵P是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
则k＝＝＝4，
∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
由消x整理得y2－2y－30＝0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30.
由弦长公式得AB＝|y1－y2|＝·＝.
法二 由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0.
设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，
由消x整理得ky2－8y－32k＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，
∵P是AB的中点，∴＝1，∴＝2，∴k＝4.
∴所求直线AB的方程为4x－y－15＝0.
由消y整理得y2－2y－30＝0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30，
由弦长公式得AB＝|y1－y2|＝·＝.
思维升华 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练2】 (1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
A.
B.
C.
D.25
(2)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0).直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________.
答案 (1)A (2)y2＝4x x－y＝0
解析 (1)由题意知，抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l过焦点F，所以kl＝＝，所以直线l的方程为y＝(x－2).
由得B点的坐标为.
所以AB＝AF＋BF＝2＋8＋2＋＝.
所以AB的中点到准线的距离为.
(2)由题意知抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1，,y＝4x2，))且x1≠x2，
两式相减得，y－y＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2，2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，
所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.
题型三 直线与抛物线的综合问题
【例3】 已知过点A(－4，0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C两点.当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围.
解 (1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意知直线l的方程为x＝2y－4.
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴
又∵＝4，∴(x2＋4，y2)＝4(x1＋4，y1)，
∴y2＝4y1. ③
由①，②，③及p＞0，
得：y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)由题意设l：y＝k(x＋4)(k≠0)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由得x2－4kx－16k＝0,
④
∴x0＝＝2k，
y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为
y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为
b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2.
对于方程④，
由Δ＝16k2＋64k＞0得：k＞0或k＜－4.
∴b∈(2，＋∞).
思维升华 1.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
2.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
【训练3】 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.
证明 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∴直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
∴4·xB＝，即xB＝.
以－k代换xB中的k，
得xC＝，
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
所以直线BC的斜率为定值.
1.牢记1个知识点
直线与抛物线的相交弦问题.
2.掌握3种方法
(1)过焦点的弦长的求法
AB＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角).
(2)弦长的求法
AB＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
(3)求定值问题常见的方法.
3.注意2个易错点
(1)涉及弦长时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件致错.
(2)忽略斜率不存在或二次项系数为0的情况致错.
一、选择题
1.设AB为过抛物线y2＝2px
(p>0)的焦点的弦，则AB的最小值为( )
A.
B.p
C.2p
D.无法确定
答案 C
解析 当AB垂直于对称轴时，AB取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.
2.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A.2
B.
C.
D.3
答案 A
解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.
∴点P到直线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.故选A.
3.已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )
A.
B.(0，0)
C.(1，2)
D.(1，4)
答案 A
解析 法一 设抛物线上点的坐标为(x，4x2)，
其中x∈R，由点到直线的距离公式得
d＝＝.
当x＝时，d最小，这时点的坐标为.
法二 设与y＝4x－5平行的抛物线y＝4x2的切线方程为y＝4x＋m，
由得4x2－4x－m＝0.
再由Δ＝16－4×4·(－m)＝0，得m＝－1.
这时切点为，切点到y＝4x－5的距离最小.
4.(多选题)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
答案 BC
解析 由题意知准线为x＝－2，则Q(－2，0).
设l：y＝k(x＋2)，由
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，得x＝0，即交点为(0，0)，
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1.
综上，k的取值范围是[－1，1].故选BC.
5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A.8p2
B.4p2
C.2p2
D.p2
答案 B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°，直线OA的方程为y＝x.
由方程组
得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p).
所以AB＝4p，所以S△AOB＝×4p·2p＝4p2.
二、填空题
6.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
答案 0或1
解析 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；
当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.综上，k＝0或k＝1.
7.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________.
答案 (3，2)
解析 设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
将y＝x－1代入y2＝4x，
整理得x2－6x＋1＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2，
∴所求点的坐标为(3，2).
8.已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则AB的最小值为________.
答案
解析 设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以AB＝＝＝＝.
所以当x＝时，AB取得最小值，且ABmin＝.
三、解答题
9.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为，求抛物线的方程.
解 设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，
由消去y，得4x2－(2a－4)x＋1＝0.
设直线y＝2x＋1与抛物线交于A，B两点，其坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2
＝，x1x2＝.
AB＝|x1－x2|＝
＝
＝.
则
＝，a2－4a－12＝0，
解得a＝－2或a＝6(经检验均满足Δ＝(2a－4)2－4×4>0).
∴抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.
10.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.
(1)求y1y2的值；
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值.
(1)解 依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)证明 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则＝·＝eq
\f(y3－y4,\f(y,4)－\f(y,4))·eq
\f(\f(y,4)－\f(y,4),y1－y2)＝.
设直线AM的方程为x＝ny＋1，
代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，
所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
所以＝＝＝.
由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值.
11.(多选题)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(点A在第一象限)，则下列结论中正确的是( )
A.x1x2＝
B.＋＝
C.若直线l的倾斜角为，则＝3
D.若直线l的倾斜角为，则AB＝4p
答案 AC
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为x＝－，
当斜率不存在时，则过焦点的直线的方程为x＝，
则A，B，
此时x1x2＝，＋＝＋＝.故B错误；
当斜率存在时，设过焦点的直线方程为y＝k，联立直线与抛物线方程得，
消去y得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
由根与系数的关系可得x1x2＝，x1＋x2＝，故A正确；
若直线l的倾斜角为，则k＝，所以x1＋x2＝＝7p，所以AB＝x1＋x2＋p＝8p，故D错误；
过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，作BE⊥AM，垂足为E，设AF＝m，BF＝n，则由抛物线的定义得AM＝AF＝m，BN＝BF＝n，AB＝m＋n，AE＝m－n，
因为∠EAB＝60°，
于是＝，解得m＝3n，则＝＝3，故C正确.
综上，正确的有AC.
12.已知抛物线y＝x2与双曲线－x2＝1(a＞0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则·的最小值为________，此时点P的坐标为________.
答案 3－2 (0，)
解析 抛物线y＝x2，即x2＝8y的焦点为F(0，2).
所以a2＝22－12＝3，故双曲线的方程为－x2＝1.
设P(x，y)，因为点P在x轴上方且在双曲线上，故由双曲线的性质可得y≥.
＝(x，y)，＝(x，y－2)，
·＝x2＋y(y－2)＝x2＋y2－2y
＝＋y2－2y－1＝y2－2y－1＝－1
＝－.
因为y＝＜，
故函数t＝－在[，＋∞)上单调递增，当y＝时，取得最小值，最小值为×()2－2×－1＝3－2.
所以·的最小值为3－2.
点P的横坐标为0，所以此时P为(0，).
13.设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且AB＝2，求实数k的值.
解 (1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则PN＝y，由题意知PM－PN＝，
∴＝y＋，化简得x2＝2y.
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵AB＝·
＝·＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，
∴k2＝1，∴k＝±1.
14.已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.
解 由解得或
不妨设A(4，4)，B(1，－2)，则AB＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d＝
＝eq
\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)－y0－4))＝|(y0－1)2－9|.
∵－2∴(y0－1)2－9<0.
∴d＝[9－(y0－1)2].
从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.
因此，当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.