3.1.2 椭圆的几何性质
第一课时 椭圆的几何性质
课标要求
素养要求
1.掌握椭圆的简单几何性质.2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
通过研究椭圆的几何性质，提升数学抽象与数学运算素养.
自主梳理
1.椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点
(±，0)
(0，±)
焦距
|F1F2|＝2
对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率
e＝∈(0，1)(其中c＝)
2.离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率.
(2)范围：e＝∈(0，1).
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(×)
提示 椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是2a.
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(×)
提示 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁.
(3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1.(×)
提示 因椭圆的焦点位置不确定，因而椭圆的方程不唯一.
(4)设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则MF的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).(√)
2.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.5，3，
B.10，6，
C.5，3，
D.10，6，
答案 B
解析 将椭圆方程化为标准方程为＋＝1，∴焦点在y轴上，a＝5，b＝3，c＝＝4，∴长轴长10，短轴长6，e＝.
3.若一个椭圆的长轴长与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去).
4.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________.
答案
解析 ∵焦点在y轴上，∴0
∴a＝，b＝，∴c＝，又e＝＝，
∴＝，解得m＝.
题型一 椭圆的简单几何性质
【例1】 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.
解 把已知方程化成标准方程为＋x2＝1，
则a＝5，b＝1.所以c＝＝2，
因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，
两个焦点分别是F1(0，－2)，F2(0，2)，
椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0，5)，B1(－1，0)，B2(1，0).
思维升华 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.
【训练1】 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.
解 (1)由椭圆C1：＋＝1，可知a＝10，b＝8，c＝＝6，故其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.
题型二 由椭圆的几何性质求方程
【例2】 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
(2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8.
解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，
∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)由e＝＝得c＝a，
又2b＝8，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
思维升华 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.
【训练2】 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0，13)，(－10，0)，则焦点坐标为( )
A.(±13，0)
B.(0，±10)
C.(0，±13)
D.(0，±)
(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________.
答案 (1)D (2)＋＝1
解析 (1)由题意知，椭圆的焦点在y轴上，
且a＝13，b＝10，则c＝＝，故选D.
(2)由已知，得焦点在x轴上，且
∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
题型三 求椭圆的离心率
角度1 求离心率
【例3】 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为F1F2，求椭圆C的离心率.
解 由题意知A(a，0)，B(0，b)，从而直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，又F1F2＝2c，
∴＝c.(
)
∵b2＝a2－c2，∴(
)式可化简为3a4－7a2c2＋2c4＝0，
解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝.
角度2 求离心率的取值范围
【例4】 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围.
解 依题意得F1(－c，0)，直线l：y＝k(x＋c)，
则C(0，kc).
因为点B为CF1的中点，所以B.
因为点B在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.所以＋＝1.
所以k2＝.由|k|≤，得k2≤，
即≤，所以2e4－17e2＋8≤0.
解得≤e2≤8.因为0＜e＜1，所以≤e＜1.
故离心率e的取值范围为.
思维升华 求椭圆离心率的方法
①直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝
求解.
②若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.
【训练3】 已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，求它的离心率e的最大值.
解 ∵椭圆＋＝1的焦点在x轴上，
∴5a>4a2＋1，
∴∴椭圆的离心率e＝＝≤
＝，
∴椭圆的离心率的最大值为.
1.牢记椭圆的7个性质
2.掌握研究椭圆的几何性质的2种方法
(1)“先定型，再定量”求出椭圆方程再研究几何性质.
(2)求离心率的常用方法.
3.注意1个易错点
忽略对焦点在哪条坐标轴上的讨论致误.
一、选择题
1.椭圆＋＝1的长轴长为( )
A.2
B.4
C.3
D.6
答案 D
解析 由椭圆方程知焦点在y轴上，故长轴长为2a＝6.故选D.
2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵x－2y＋2＝0，∴y＝x＋1，从而＝，
即
＝，∴＝，e＝＝.
3.(多选题)已知点(3，2)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，则( )
A.点(－3，－2)不在椭圆上
B.点(3，－2)在椭圆上
C.点(－3，2)在椭圆上
D.无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上
答案 BC
解析 由椭圆的对称性知点(－3，－2)，(－3，2)，
(3，－2)均在椭圆上.
4.若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 A
解析 依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.
5.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( )
A.
B.
C.
D.－
答案 C
解析 椭圆方程可化为＋＝1，
由题意，知m>0，∴<，∴a＝，
∴椭圆的长轴长为2a＝.
二、填空题
6.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2，0)，则此椭圆的方程是________.
答案 ＋y2＝1或＋＝1
解析 若焦点在x轴上，则a＝2.
又e＝＝，∴c＝.
∴b2＝a2－c2＝1，
∴方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝＝，∴＝1－＝，
∴a2＝4b2＝16，
∴方程为＋＝1.
综上，椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
7.若椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2的值为________.
答案
解析 由＋y2＝1知F1，F2的坐标分别为(－，0)，(，0)，即点P的横坐标为xP＝－，代入椭圆方程得|yP|＝，∴PF1＝.
∵PF1＋PF2＝4，
∴PF2＝4－PF1＝4－＝.
8.若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP2＋PF2的最小值为________.
答案 2
解析 设P(x0，y0)(x0∈[－，])，而F(－1，0)，
∴OP2＋PF2＝x＋y＋(x0＋1)2＋y.
又y＝1－eq
\f(x,2)，
∴OP2＋PF2＝x＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2(当且仅当x0＝－1时等号成立).
∴OP2＋PF2的最小值为2.
三、解答题
9.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)离心率是，长轴长是6；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解 (1)由已知得2a＝6，e＝＝，∴a＝3，c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1
(a>b>0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，过点E的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，F1A＝2F2B，求椭圆的离心率.
解 由F1A∥F2B，F1A＝2F2B，
得＝＝，
从而＝，整理得a2＝3c2.
故离心率e＝＝.
11.设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( )
A.(0，3)
B.
C.(0，3)∪
D.(0，2)
答案 C
解析 当0即<<1?1<4－k<4，
即0当k>4时，e＝＝∈，
即<<1?<<1?<1－<1?0<.
综上，实数k的取值范围为(0，3)∪.
12.如图，底面直径为12
cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为________.
答案 8
cm 12
cm
解析 由题图知短轴长为底面直径12
cm，长轴长为＝8(cm)，则c2＝(4)2－62＝12，
∴c＝2，
∴离心率e＝＝.
13.已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.
解 (1)由题意可得c＝1，a＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)(x0∈(－2，2))，则eq
\f(x,4)＋eq
\f(y,3)＝1.①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②
由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2∴实数t的取值范围为(－2，－1).
14.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，若直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是__________.
答案 ＋＝1
解析 ∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，
∴椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.
设P，则kOP＝.∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0，2).∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.(共49张PPT)
3.1.2
椭圆的几何性质
第一课时
椭圆的几何性质
1.掌握椭圆的简单几何性质.
2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
课标要求
素养要求
通过研究椭圆的几何性质，提升数学抽象与数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.椭圆的简单几何性质
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
2a
2b
x轴、y轴
原点
(0，1)
2.离心率
(0，1)
1.思考辨析，判断正误
×
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(
)
提示 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁.
×
×
提示 因椭圆的焦点位置不确定，因而椭圆的方程不唯一.
√
2.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
B
3.若一个椭圆的长轴长与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
解析 由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，
B
解析 ∵焦点在y轴上，∴0课堂互动
题型剖析
2
题型一 椭圆的简单几何性质
【例1】 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.
因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，
椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0，5)，B1(－1，0)，B2(1，0).
解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.
思维升华
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
【例2】 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
题型二 由椭圆的几何性质求方程
∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.
思维升华
【训练2】 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0，13)，(－10，0)，则焦点坐标为( )
D
解析 由题意知，椭圆的焦点在y轴上，
角度1 求离心率
题型三 求椭圆的离心率
即bx＋ay－ab＝0，又F1F2＝2c，
∵b2＝a2－c2，
∴(
)式可化简为3a4－7a2c2＋2c4＝0，
角度2 求离心率的取值范围
解 依题意得F1(－c，0)，直线l：y＝k(x＋c)，则C(0，kc).
因为点B为CF1的中点，
思维升华
1.牢记2个知识1.牢记椭圆的7个性质
2.掌握研究椭圆的几何性质的2种方法
(1)“先定型，再定量”求出椭圆方程再研究几何性质.
(2)求离心率的常用方法.
3.注意1个易错点
忽略对焦点在哪条坐标轴上的讨论致误.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
A.2
B.4
C.3
D.6
D
解析 由椭圆方程知焦点在y轴上，故长轴长为2a＝6.故选D.
D
BC
A.点(－3，－2)不在椭圆上
B.点(3，－2)在椭圆上
C.点(－3，2)在椭圆上
D.无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上
解析 由椭圆的对称性知点(－3，－2)，(－3，2)，(3，－2)均在椭圆上.
A
5.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( )
C
解析 若焦点在x轴上，则a＝2.
∴b2＝a2－c2＝1，
若焦点在y轴上，则b＝2.
∴a2＝4b2＝16，
2
C
12.如图，底面直径为12
cm的圆柱被与底面成30°的平
面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴
长为________，短轴长为________，离心率为________.
13.已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0).
(1)求椭圆E的标准方程；
解 由题意可得c＝1，a＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.
∵－2∴实数t的取值范围为(－2，－1).
解析 ∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，
∴椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.
本节内容结束(共53张PPT)
第二课时 椭圆的方程与性质的应用
1.巩固椭圆的简单几何性质.
2.会判断直线与椭圆的位置关系.
3.能利用弦长公式解决相关问题.
课标要求
素养要求
通过运用椭圆的几何性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.点与椭圆的位置关系
＝
<
>
2.直线与椭圆的位置关系
两
>
一
＝
<
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
__解
Δ___0
相切
___解
Δ__0
相离
无解
Δ__0
＝________________________，
＝_________________________________.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.
1.思考辨析，判断正误
√
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.(
)
×
√
提示 因椭圆中a>b>0，所以点P(b，0)在椭圆的内部，故无法作椭圆的切线.
D
A.(－2，0)
B.(0，1)
C.(2，0)
D.(0，1)或(0，－1)
解析 由椭圆的定义得PF1＋PF2＝2a＝4，
当且仅当PF1＝PF2＝2，即P点坐标为(0，－1)或(0，1)时，取“＝”.故选D.
A.(1，＋∞)
B.(1，3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞)
D.(0，3)∪(3，＋∞)
B
∴Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，
解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，
∴m>1且m≠3.
1
所以c2＝3，
故AB＝1.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 直线与椭圆位置关系的判断
【例1】 当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件：
(1)有且仅有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？
整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14
400.
(1)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点；
(2)当Δ>0时，得－5(3)当Δ<0时，得m<－5或m>5，此时直线l与椭圆无公共点.
思维升华 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围.
思维升华
题型二 直线与椭圆的相交弦问题
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
解
由题意易知l的斜率存在.设l的斜率为k，
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
即x＋2y－8＝0.
研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.
思维升华
【训练2】 在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2，1)且被这一点平分的弦所在直线的方程.
解 法一 如果弦所在直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M(2，1)显然不可能为这条弦的中点.
故可设弦所在直线的方程为y＝k(x－2)＋1，
代入椭圆方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，
即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，
∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0.
∴弦所在直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二 设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∵点M(2，1)是PQ的中点，故x1≠x2，
即x＋2y－4＝0(经检验符合题意).
题型三 直线与椭圆的综合
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左顶点是A，直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.
解 由x－my－t＝0得x＝my＋t，
把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因为以MN为直径的圆过点A，
所以AM⊥AN，
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2
因为M，N与A均不重合，所以t≠－2，
由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，
求定点问题，需要注意两个方面：
一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向.
二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式.若直线的方程为y＝kx＋b，则直线y＝kx＋b恒过点(0，b)，若直线方程为y＝k(x－a)，则直线恒过点(a，0).
思维升华
【训练3】 已知椭圆C：4x2＋y2＝1.
(1)P(m，n)是椭圆C上一点，求m2＋n2的取值范围；
解 m2＋n2表示原点O到椭圆C上点P的距离的平方，
又∵P(m，n)是椭圆C上的一点，
(2)设直线y＝x＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.
将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，
课堂小结
1.牢记3个知识点
(1)点与椭圆的位置关系.
(2)直线与椭圆的位置关系.
(3)弦长公式.
2.掌握2种方法
(1)设而不求法.
(2)公式法求弦长.
3.注意1个易错点
直线与椭圆相交时，不要忽略消元后的方程Δ>0，避免所求值无意义.
分层训练
素养提升
3
A
C
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
解析 把y＝－x＋3代入椭圆方程，得5x2－24x＋32＝0，
其Δ＝(－24)2－4×5×32<0，故直线与椭圆相离.
3.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A
即3x2－2x－3＝0，
4.(多选题)若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以是( )
AD
所以b＝1或－1.
AD
解析 已知椭圆的右焦点为(1，0)，
2
解析 因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，
即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又F1(－1，0)，
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点.若直线AF2与BF2的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.
(1)解 由题意可得c＝1，即a2－b2＝1，
由直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝b2相切，
(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线y＝kx＋m(m≠0)代入椭圆x2＋2y2＝2，
可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
即有Δ＝16k2m2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，
即有2kx1x2－2m＋(m－k)(x1＋x2)＝0，
由根与系数的关系，
化简得m＝－2k，
则直线的方程为y＝kx－2k，即y＝k(x－2)，
故直线l恒过定点(2，0).
A
6
解析 由题意，得F(－1，0)，设点P(x0，y0)，
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
14.有一椭圆形溜冰场，长轴长是100
m，短轴长是60
m.现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置.这时矩形的周长是多少？
解 分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴、y轴，以长轴的中点为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.
易知矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴对称.
已知椭圆的长轴长2a＝100
m，短轴长2b＝60
m，
则a＝50
m，b＝30
m，
本节内容结束第二课时 椭圆的方程与性质的应用
课标要求
素养要求
1.巩固椭圆的简单几何性质.2.会判断直线与椭圆的位置关系.3.能利用弦长公式解决相关问题.
通过运用椭圆的几何性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.
自主梳理
1.点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
(1)点P在椭圆上?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)＝1；
(2)点P在椭圆内部?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)<1；
(3)点P在椭圆外部?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)>1.
2.直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立
消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
3.弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB＝，
所以AB＝
＝
＝，
或AB＝
＝
＝__.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.(√)
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线.(×)
提示 因椭圆中a>b>0，所以点P(b，0)在椭圆的内部，故无法作椭圆的切线.
(3)直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交.(√)
2.已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使PF1·PF2取最大值的点P为( )
A.(－2，0)
B.(0，1)
C.(2，0)
D.(0，1)或(0，－1)
答案 D
解析 由椭圆的定义得PF1＋PF2＝2a＝4，
所以PF1·PF2≤＝4，
当且仅当PF1＝PF2＝2，即P点坐标为(0，－1)或(0，1)时，取“＝”.故选D.
3.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1(m>0且m≠3)有两个公共点，则m的取值范围是( )
A.(1，＋∞)
B.(1，3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞)
D.(0，3)∪(3，＋∞)
答案 B
解析 由消y可得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
∴Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，
解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，
∴m>1且m≠3.
4.过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则AB＝________.
答案 1
解析 因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，
所以c2＝3，
所以右焦点坐标为(，0)，
将x＝代入＋y2＝1得y＝±，
故AB＝1.
题型一 直线与椭圆位置关系的判断
【例1】 当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件：
(1)有且仅有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？
解 由消去y得9x2＋16(x＋m)2＝144，
整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14
400.
(1)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点；
(2)当Δ>0时，得－5(3)当Δ<0时，得m<－5或m>5，此时直线l与椭圆无公共点.
思维升华 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围.
【训练1】 若直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1有两个公共点，求m的取值范围.
解 把直线方程y＝x＋m与椭圆方程＋y2＝1联立，消去y，得到关于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0，由Δ>0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)>0，解得－题型二 直线与椭圆的相交弦问题
【例2】 已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
解 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是AB＝
＝
＝＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)由题意易知l的斜率存在.设l的斜率为k，
则其方程为y－2＝k(x－4).由
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
思维升华 研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.
【训练2】 在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2，1)且被这一点平分的弦所在直线的方程.
解 法一 如果弦所在直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M(2，1)显然不可能为这条弦的中点.
故可设弦所在直线的方程为y＝k(x－2)＋1，
代入椭圆方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，
即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，
∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0.
设弦的两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝＝4，解得k＝－，满足Δ>0.
∴弦所在直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二 设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，
故有x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∵点M(2，1)是PQ的中点，故x1≠x2，
两边同除以(x1－x2)得(x1＋x2)＋4(y1＋y2)＝0，即4＋8k＝0，∴k＝－.
∴弦所在直线的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0(经检验符合题意).
题型三 直线与椭圆的综合
【例3】 设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，且过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左顶点是A，直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.
解 (1)由e2＝＝＝，可得a2＝2b2，
椭圆方程为＋＝1，
代入点可得b2＝2，a2＝4，
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由x－my－t＝0得x＝my＋t，
把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，
x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)
＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.
因为以MN为直径的圆过点A，
所以AM⊥AN，
所以·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2
＝＋2×＋4＋
＝＝＝0.
因为M，N与A均不重合，所以t≠－2，
所以t＝－，直线l的方程是x＝my－，直线l过定点T，
由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，
所以直线l过定点T.
思维升华 求定点问题，需要注意两个方面：
一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向.
二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式.若直线的方程为y＝kx＋b，则直线y＝kx＋b恒过点(0，b)，若直线方程为y＝k(x－a)，则直线恒过点(a，0).
【训练3】 已知椭圆C：4x2＋y2＝1.
(1)P(m，n)是椭圆C上一点，求m2＋n2的取值范围；
(2)设直线y＝x＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.
解 (1)m2＋n2表示原点O到椭圆C上点P的距离的平方，
又∵P(m，n)是椭圆C上的一点，
∴＋n2＝1，
∴m2＋n2＝m2＋1－＝1－3m2，
又∵－≤m≤，
∴0≤m2≤，
∴≤1－3m2≤1，
则m2＋n2∈.
(2)可求得O到AB的距离d＝，
将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
AB＝·
＝·＝，
Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，
所以－所以S△AOB＝AB·d
＝×·
＝
≤·＝.
当且仅当－m2＝m2时，上式取“＝”.
此时m＝±∈.
所以△AOB面积的最大值为，
面积最大时直线方程为x－y±＝0.
1.牢记3个知识点
(1)点与椭圆的位置关系.
(2)直线与椭圆的位置关系.
(3)弦长公式.
2.掌握2种方法
(1)设而不求法.
(2)公式法求弦长.
3.注意1个易错点
直线与椭圆相交时，不要忽略消元后的方程Δ>0，避免所求值无意义.
一、选择题
1.点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A.(－，)
B.(－∞，－)∪(，＋∞)
C.(－2，2)
D.(－1，1)
答案 A
解析 由题意得＋<1，即a2<2，解得－2.已知直线l：x＋y－3＝0与椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
答案 C
解析 把y＝－x＋3代入椭圆方程，得5x2－24x＋32＝0，其Δ＝(－24)2－4×5×32<0，故直线与椭圆相离.
3.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由消y得2x2＋(x－1)2＝4，
即3x2－2x－3＝0，
∴弦的中点的横坐标是x＝×＝，
代入直线方程y＝x－1，得y＝－，
∴弦的中点坐标是.故选A.
4.(多选题)若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以是( )
A.－1
B.－
C.
D.1
答案 AD
解析 易知椭圆x2＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，所以b＝1或－1.
5.(多选题)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值可以为( )
A.－
B.－
C.
D.
答案 AD
解析 根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.
二、填空题
6.椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是________.
答案
解析 已知椭圆的右焦点为(1，0)，它到直线x－y＝0的距离为＝.
7.若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________.
答案 2
解析 因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，所以>2，所以m2＋n2<4，
即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点.
8.已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么F1A＋F1B的值为________.
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消y得3x2－4x＝0，
可知A(0，－1)，B，
又F1(－1，0)，
∴F1A＋F1B＝＋＝.
三、解答题
9.在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)写出C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时⊥？此时AB的值是多少？
解 (1)由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆.它的短半轴长b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y，并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，显然Δ>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∵⊥，
∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝.
又x1x2＋y1y2＝0，
∴k＝±.
当k＝±时，x1＋x2＝?，x1x2＝－.
∴AB＝
＝
＝
＝.
10.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线3x－4y＋5＝0相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点.若直线AF2与BF2的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.
(1)解 由题意可得c＝1，即a2－b2＝1，
由直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝b2相切，
可得b＝＝1，解得a＝，
即椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线y＝kx＋m(m≠0)代入椭圆x2＋2y2＝2，
可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
即有Δ＝16k2m2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
由k1＋k2＝＋＝＋＝0，
即有2kx1x2－2m＋(m－k)(x1＋x2)＝0，
由根与系数的关系，
可得2k·－2m＋(m－k)·＝0，
化简得m＝－2k，
则直线的方程为y＝kx－2k，即y＝k(x－2)，
故直线l恒过定点(2，0).
11.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 易知△ABF2的内切圆的半径r＝，根据椭圆的性质结合△ABF2的特点，可得△ABF2的面积S＝lr＝×2c·|y1－y2|，其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，代入数据解得|y1－y2|＝.
12.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________.
答案 6
解析 由题意，得F(－1，0)，设点P(x0，y0)，
则y＝3eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,4)))(－2≤x0≤2)，
因为＝(x0，y0)，＝(x0＋1，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y
＝x＋x0＋3eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,4)))＝(x0＋2)2＋2，
所以当x0＝2时，·取得最大值6.
13.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过A(2，0)，B(0，1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
(1)解 由题意得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
又c＝＝，
所以离心率e＝＝.
(2)证明 设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，
则x＋4y＝4.
又A(2，0)，B(0，1)，
所以直线PA的方程为y＝(x－2).
令x＝0，得yM＝－，
从而BM＝1－yM＝1＋.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
从而AN＝2－xN＝2＋.
所以四边形ABNM的面积S＝AN·BM
＝
＝eq
\f(x＋4y＋4x0y0－4x0－8y0＋4,2（x0y0－x0－2y0＋2）)
＝＝2.
从而四边形ABNM的面积为定值.
14.有一椭圆形溜冰场，长轴长是100
m，短轴长是60
m.现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置.这时矩形的周长是多少？
解 分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴、y轴，以长轴的中点为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.
易知矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴对称.
已知椭圆的长轴长2a＝100
m，短轴长2b＝60
m，则a＝50
m，b＝30
m，所以椭圆的方程为＋＝1.
设点A的坐标为(x0，y0)，x0>0，y0>0，
则eq
\f(x,502)＋eq
\f(y,302)＝1，
即y＝(502－x).根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S＝4x0y0.
∵xy＝x·(502－x)
＝eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(502,2)))\s\up12(2)＋\f(504,4)))，
∴当x＝时，xy取得最大值，此时S也取得最大值.
这时x0＝25，y0＝15.
矩形ABCD的周长为4(x0＋y0)＝4×(25＋15)＝160(m).
因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25
m的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点，这个矩形的周长为160
m.