章末复习提升
要点一 圆锥曲线的定义及应用
圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.
研究与圆锥曲线有关的两点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决问题.
【例1】 (1)已知动点M的坐标(x，y)满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.以上都不对
(2)已知A(－，0)，B(，0)，P为圆x2＋y2＝1上的动点，＝，过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，则点M的横坐标x满足( )
A.|x|≥1
B.|x|>1
C.|x|≥2
D.|x|≥
答案 (1)C (2)A
解析 (1)把方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等.
∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.
(2)①当点P在x轴上时，点M与点P重合，此时|x|＝1.②当点P不在x轴上时，如图，由题意得MB－MA＝QB＝2OP＝2<2＝AB，所以点M的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的左支(不包括与x轴的交点)，且a＝1，所以x满足|x|>1.综上，故选A.
【训练1】 已知抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若2BF＝AF＋CF，则( )
A.2x2＝x1＋x3
B.2y2＝y1＋y3
C.2x3＝x1＋x2
D.2y3＝y1＋y2
答案 A
解析 如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义知
AF＝AA′，BF＝BB′，
CF＝CC′.
∵2BF＝AF＋CF，
∴2BB′＝AA′＋CC′.
又∵AA′＝x1＋，
BB′＝x2＋，CC′＝x3＋，
∴2＝x1＋＋x3＋，∴2x2＝x1＋x3，
故选A.
要点二 圆锥曲线的方程与性质
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等.
【例2】 如果双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，求此双曲线的离心率.
解 当双曲线的焦点在x轴上时，
由已知可得＝，
∵c2＝a2＋b2，∴e2＝＝＝1＋＝，
∴双曲线的离心率e＝；
同理，当焦点在y轴上时，可求得离心率e＝.
故双曲线的离心率为或.
【训练2】 若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
答案 3
解析 由离心率公式，得＝(a>0)，得a＝3.故填3.
要点三 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)公共点的个数问题，应注意数形结合；
(2)弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；
(3)垂直问题，应注意运用斜率关系及根与系数的关系，尽量设而不求，简化运算.
(4)面积问题，应注意面积的计算方法，可以运用定义整体求解.对于三角形如果底和高不便于计算，还可以利用割补法考虑拆分成若干个易于计算的三角形计算.
【例3】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
解 (1)依题意有
解得c＝，∴b＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
①当AB⊥x轴时，由题意可得直线AB的方程为x＝或x＝－，则AB＝.
②当AB∥x轴时，同理可得AB＝.
③当AB与x轴既不垂直也不平行时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠0).
由已知＝，得m2＝(k2＋1).
把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，此时Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴AB2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)
＝＝
＝3＋＝3＋≤3＋＝4，
当且仅当9k2＝，即k＝±时，等号成立.
∴AB≤2.
综上所述，ABmax＝2.
∴当AB最大时，
△AOB面积取得最大值，最大值为×ABmax×＝.
【训练3】 已知椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程.
解 法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，
∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，代入①式可得n＝m.
直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.
又AB＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立mx2＋ny2＝1与x＋y－1＝0可得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
且由已知得x1，x2是方程(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－4·.②
将n＝m代入②式，解得m＝，∴n＝.
∴所求椭圆的方程是＋y2＝1.
法二 由
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
且直线AB的斜率k＝－1，
∴AB＝
＝
＝·.
∵AB＝2，∴＝2，
∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝，
将其代入①式得m＝，n＝.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.(共22张PPT)
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要点一 圆锥曲线的定义及应用
圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.
研究与圆锥曲线有关的两点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决问题.
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.以上都不对
C
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等.
∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.
A
此时|x|＝1.②当点P不在x轴上时，
所以点M的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的左支
(不包括与x轴的交点)，且a＝1，所以x满足|x|>1.综上，故选A.
【训练1】 已知抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若2BF＝AF＋CF，则( )
A.2x2＝x1＋x3
B.2y2＝y1＋y3
C.2x3＝x1＋x2
D.2y3＝y1＋y2
A
解析 如图，过A，B，C分别作准线的垂线，
垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义知
AF＝AA′，BF＝BB′，
CF＝CC′.
∵2BF＝AF＋CF，
∴2BB′＝AA′＋CC′.
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等.
要点二 圆锥曲线的方程与性质
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(1)公共点的个数问题，应注意数形结合；
(2)弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；
(3)垂直问题，应注意运用斜率关系及根与系数的关系，尽量设而不求，简化运算.
(4)面积问题，应注意面积的计算方法，可以运用定义整体求解.对于三角形如果底和高不便于计算，还可以利用割补法考虑拆分成若干个易于计算的三角形计算.
要点三 直线与圆锥曲线的位置关系
解
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
①当AB⊥x轴时，由题意可得直线AB的方程为
把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
此时Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，
∴AB≤2.
综上所述，ABmax＝2.
∴当AB最大时，
△AOB面积取得最大值，
解 法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，
得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，
∴|x2－x1|＝2.
联立mx2＋ny2＝1与x＋y－1＝0可得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
且由已知得x1，x2是方程(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0的两根，
本节内容结束
