(共48张PPT)
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程.
2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程.
3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值.
课标要求
素养要求
借助抛物线标准方程的推导，培养数学运算素养.
2.借助最值问题，提升直观想象与逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的__________的点的轨迹叫作________.定点F叫作抛物线的______，定直线l叫作抛物线的______.
距离相等
抛物线
焦点
准线
2.抛物线的标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
1.思考辨析，判断正误
(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(
)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(
)
(3)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(
)
提示 由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线.
(4)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.(
)
√
√
×
√
C
A.y2＝8x
B.y2＝4x
C.y2＝2x
D.y2＝±8x
D
即为(－2，0)或(2，0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
4
课堂互动
题型剖析
2
题型一 求抛物线的标准方程
【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(－2，0)；
∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
(2)准线为y＝－1；
∴p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)过点A(2，3)；
解
由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
求抛物线的标准方程：
求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程.
1.定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程.
2.待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值.
(1)对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，
根据题设中的条件设出其标准方程：y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，或x2＝2py(p>0)，或x2＝－2py(p>0)进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程.
思维升华
(2)对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：
当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为y2＝ax(a≠0)；
当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为x2＝ay(a≠0)，
再根据条件求a.
思维升华
【训练1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(3，－4)；
解 法一 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2px
(p>0)或x2＝－2p1y
(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
法二 抛物线的方程可设为y2＝ax
(a≠0)或x2＝by
(b≠0).
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解
令x＝0得y＝－5；
令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
【例2】 (1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，求点P到点B(－1，－1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
题型二 抛物线的标准方程及定义的应用
解 ∵抛物线的顶点为O(0，0)，p＝2，
∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1，0)，
∴点P到点B(－1，－1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之
和等于PB＋PF.
如图，PB＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时取得最小值，
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求PA＋PF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标.
解
将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，
∴A在抛物线内部.
由定义知PA＋PF＝PA＋d.
抛物线定义在求最值中的应用：
1.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.
2.数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一.
思维升华
【训练2】 已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值.
解 如图，设点F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点分
别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线
MN，C，D，N为垂足，
由抛物线的定义，知AC＝AF，BD＝BF，
【例3】 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高0.75
m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
题型三 抛物线的实际应用问题
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，
建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，
又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2
m时，小船开始不能通航.
(1)解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.
(2)以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线解决问题主要体现在：①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；②利用已求方程求点的坐标.
思维升华
(3)求解抛物线实际应用题的步骤：
思维升华
【训练3】 如图所示，一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断
面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，
若拱口宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值.
解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵点B在抛物线上，
∴抛物线方程为x2＝－ay.
1.牢记2个知识点
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程.
2.掌握2种解决问题的方法
(1)求标准方程的方法.
(2)运用定义解决有关距离的最值问题.
3.注意1个易错点
忽视标准方程的特征而致误.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A.(2，0)
B.(－2，0)
C.(4，0)
D.(－4，0)
B
解析 ∵y2＝－8x，∴p＝4，
∴焦点坐标为(－2，0).
2.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.直线
D
解析 法一 设动点P的坐标为(x，y).
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线.
法二 显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，
则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
3.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A.x2＝±3y
B.y2＝±6x
C.x2＝±12y
D.x2＝±6y
C
解析 ∵顶点与焦点的距离等于3，
∴2p＝12，
又∵对称轴是y轴，
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
4.(多选题)对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等
于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
BD
解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，
此时满足条件的直线存在，所以④满足.故选BD.
5.已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是
(8，7)，则PA＋PQ的最小值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
C
解析 由抛物线方程，知抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1.连接PF，并延长PQ交准线于点M，根据抛物线的定义知，PF＝PM＝PQ＋1.
当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，
则PA＋PQ的最小值为9.故选C.
二、填空题
6.抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________.
8.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________.
y2＝12x
解析 设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则MA＝MN，
即动点M到定点A(3，0)和定直线l：x＝－3的距离相等，且点A不在直线l上，
所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，
所以可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，
由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，
10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条
边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部
(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).
解 (1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
如图所示，因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h米，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
11.已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
D
解析 抛物线焦点为F(1，0)，过P作PA与准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，
则d1＋d2＝PA＋PB－1＝PF＋PB－1，
显然当P，F，B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，
ABC
A.p＝2
B.F为AD的中点
C.BD＝2BF
D.BF＝2
解析 如图所示，作AH⊥准线于点H，AM⊥x轴于点M，
BE⊥准线于点E.
设准线与x轴的交点为N.
∵p＝2，∴NF＝FM＝2，故△AMF≌△DNF，
∴F为AD的中点，故B正确.
∴BD＝2BE＝2BF，故C正确.
∵BD＝2BF，BD＋BF＝DF＝AF＝4，
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式.
所以p＝1，2p＝2.
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).
A.4
B.8
C.16
D.32
B
解析 如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N.
本节内容结束3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
课标要求
素养要求
1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程.2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程.3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值.
借助抛物线标准方程的推导，培养数学运算素养.2.借助最值问题，提升直观想象与逻辑推理素养.
自主梳理
1.抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(√)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(√)
(3)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(×)
提示 由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线.
(4)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.(√)
2.抛物线y＝－x2的准线方程是( )
A.x＝
B.x＝
C.y＝2
D.y＝4
答案 C
解析 将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2.
3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方程为( )
A.y2＝8x
B.y2＝4x
C.y2＝2x
D.y2＝±8x
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2，0)或(2，0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
4.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________.
答案 4
解析 椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，所以抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(2，0)，则p＝4.
题型一 求抛物线的标准方程
【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(－2，0)；
(2)准线为y＝－1；
(3)过点A(2，3)；
(4)焦点到准线的距离为.
解 (1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，
∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，
∴p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，
∴m＝或n＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.
(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
思维升华 求抛物线的标准方程：
求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程.
1.定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程.
2.待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值.
(1)对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，
根据题设中的条件设出其标准方程：y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，或x2＝2py(p>0)，或x2＝－2py(p>0)进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程.
(2)对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：
当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为y2＝ax(a≠0)；
当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为x2＝ay(a≠0)，
再根据条件求a.
【训练1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解 (1)法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px
(p>0)或x2＝－2p1y
(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
法二 抛物线的方程可设为y2＝ax
(a≠0)或x2＝by
(b≠0).
把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
题型二 抛物线的标准方程及定义的应用
【例2】 (1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，求点P到点B(－1，－1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求PA＋PF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标.
解 (1)∵抛物线的顶点为O(0，0)，p＝2，
∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1，0)，
∴点P到点B(－1，－1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于PB＋PF.
如图，PB＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时BF＝＝.
(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，
∴A在抛物线内部.
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当AP⊥l时，PA＋d最小，最小值为，即PA＋PF的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴点P的坐标为(2，2).
思维升华 抛物线定义在求最值中的应用：
1.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.
2.数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一.
【训练2】 已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值.
解 如图，设点F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点分别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，则MN＝(AC＋BD).
由抛物线的定义，知AC＝AF，BD＝BF，
∴MN＝(AF＋BF)≥AB＝.
设点M的横坐标为x，
MN＝x＋，则x≥－＝.
当线段AB过焦点F时，等号成立，此时点M到y轴的最短距离为.
题型三 抛物线的实际应用问题
【例3】 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高0.75
m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2
m时，小船开始不能通航.
思维升华 (1)解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.
(2)以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线解决问题主要体现在：①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的标准方程；②利用已求方程求点的坐标.
(3)求解抛物线实际应用题的步骤：
【训练3】 如图所示，一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值.
解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
则点B的坐标为.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵点B在抛物线上，
∴＝－2p·，解得p＝，
∴抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
∴点E到拱底AB的距离为
－|y|＝－>3.
当a＝12时，－<3；当a＝13时，－>3，且－随a的增大而增大，∴a的最小整数值为13.
1.牢记2个知识点
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程.
2.掌握2种解决问题的方法
(1)求标准方程的方法.
(2)运用定义解决有关距离的最值问题.
3.注意1个易错点
忽视标准方程的特征而致误.
一、选择题
1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A.(2，0)
B.(－2，0)
C.(4，0)
D.(－4，0)
答案 B
解析 ∵y2＝－8x，∴p＝4，
∴焦点坐标为(－2，0).
2.若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.直线
答案 D
解析 法一 设动点P的坐标为(x，y).
则＝.
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线.
法二 显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
3.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A.x2＝±3y
B.y2＝±6x
C.x2＝±12y
D.x2＝±6y
答案 C
解析 ∵顶点与焦点的距离等于3，∴＝3，
∴2p＝12，
又∵对称轴是y轴，
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
4.(多选题)对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
答案 BD
解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则MF＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；
由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时满足条件的直线存在，所以④满足.故选BD.
5.已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则PA＋PQ的最小值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
答案 C
解析 由抛物线方程，知抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1.连接PF，并延长PQ交准线于点M，根据抛物线的定义知，PF＝PM＝PQ＋1.
∴PA＋PQ＝PA＋PM－1＝PA＋PF－1≥AF－1＝－1＝10－1＝9，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则PA＋PQ的最小值为9.故选C.
二、填空题
6.抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________.
答案
解析 抛物线方程化为y2＝－x，所以抛物线开口向左，2p＝，＝，故焦点坐标为.
7.以椭圆＋y2＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______________.
答案 y2＝4x
解析 由＋y2＝1得，右焦点为(，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
8.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________.
答案 y2＝12x
解析 设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则MA＝MN，
即动点M到定点A(3，0)和定直线l：x＝－3的距离相等，且点A不在直线l上，
所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6.
∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
三、解答题
9.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，而且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程.
解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，
所以可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
将点代入方程求得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，
由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，点到两焦点距离之差的绝对值为2a＝1，
所以a＝，b2＝c2－a2＝，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).
解 (1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，如图所示，因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以52＝－2p·(－5)，解得p＝，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h米，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
11.已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
A.
B.＋1
C.－2
D.－1
答案 D
解析 抛物线焦点为F(1，0)，过P作PA与准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，
则d1＋d2＝PA＋PB－1＝PF＋PB－1，
显然当P，F，B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，d1＋d2取到最小值，最小值为FB－1＝－1.
12.(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于D.若AF＝4，则以下结论正确的是( )
A.p＝2
B.F为AD的中点
C.BD＝2BF
D.BF＝2
答案 ABC
解析 如图所示，作AH⊥准线于点H，AM⊥x轴于点M，BE⊥准线于点E.
直线l的斜率为，故tan∠AFM＝，
∴∠AFM＝.
又AF＝4，故MF＝2，AM＝2.
∴A，将点A的坐标代入抛物线的方程得p＝2(负值舍去)，故A正确.
设准线与x轴的交点为N.
∵p＝2，∴NF＝FM＝2，故△AMF≌△DNF，
∴F为AD的中点，故B正确.
∵∠BDE＝，
∴BD＝2BE＝2BF，故C正确.
∵BD＝2BF，BD＋BF＝DF＝AF＝4，
∴BF＝，故D错误.故选ABC.
13.已知位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程.
解 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等.
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式.
又因为＝，
所以p＝1，2p＝2.
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).
14.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且PM＝PF，则△PMF的面积为( )
A.4
B.8
C.16
D.32
答案 B
解析 如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N.
∵PM＝PF，PF＝PN，
∴PM＝PN.
∴MN＝PN.
设P，则|t|＝＋2，
解得t＝±4，
∴△PMF的面积为·|t|·MF＝×4×4＝8.
