1.4.2充要条件教学课件 2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共17张PPT)

(共17张PPT)
1.4充分条件与必要条件
1.4.2
充必要条件
1.充分条件与必要条件的含义分别是什么？
复习与回顾
一般地，若命题“若p，则q”为真命题，即
则称p是q的充分条件，q是p的必要条件
则称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
一般地，若命题“若p，则q”为假命题，即
一般来说，数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件。
一般来说，数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件。
2.判定定理和性质定理与命题的条件有何关系？
问题1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题和它逆命题(若q，则p)都是真命题？
（1）若两个三角形的两角及其中一角的对边分别相等，则这两个三角形全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若一二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,，则ac<0；
（4）若A∪B是空集
，则A与B是空集。
探究新知（一）
(都是真命题)
(都是真命题)
(本身是假命题，但其逆命题是真命题)
(本身是真命题，但其逆命题是假命题)
思考1：在以上的各个命题中，p是q的什么条件？q又是p的什么条件？
在(1)中，
p是q的充分条件，q是p的必要条件，
同时，p也是q的必要条件，q也是p的充分条件。
在(2)中，
p是q的充分条件，q是p的必要条件。
在(3)中，
p是q的必要条件，q是p的充分条件。
在(4)中，
p是q的充分条件，q是p的必要条件，
同时，p也是q的必要条件，q也是p的充分条件。
问题1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题和它逆命题都是真命题？
（1）若两个三角形的两角及其中一角的对边分别相等，则这两个三角形全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若一二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,，则ac<0；
（4）若A∪B是空集
，则A与B是空集。
(都是真命题)
(都是真命题)
(本身是假命题，但其逆命题是真命题)
(本身是真命题，但其逆命题是假命题)
思考1：在以上的各个命题中，p是q的什么条件？q又是p的什么条件？
思考2：在以上命题中，哪一些p既是q的充分条件，又是q的必要条件？
在(1)(3)中，p既是q的充分条件，又是q的必要条件
这时我们说p是q的充要条件.
一般地，“若p，则q”和它的逆命题“都是真命题，
则称p既是q的充分条件，又是q的必要条件（简称充要条件）
充要条件
注：充要条件是相互的，此时也说p,q是等价的
思考3：充要条件是相互的吗？如何判断p是q的充要条件？
判断p是否为q的充要条件，就是判断命题“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”是否都为真命题。
例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充要条件？
(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形的三边成比例；
(3)p：xy>0,q：x>0,y>0；
(4)p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,
q：a+b+c=0。
例析
解：
(1)
(2)
∴p是q的充要条件。
(3)
∴p是q的充要条件。
∴p不是q的充要条件。
(4)
∴p不是q的充要条件。
（p是q的充分不必要条件）
（p是q的充要条件）
（p是q的必要不充分条件）
（p是q的充要条件）
(1)若
，且
，则p是q的充分不必要条件；
(2)若
，且
，则p是q的必要不充分条件；
命题条件的分类
(3)若
，且
，则p是q的充要条件；
(4)若
，且
，则p是q的既不充分也
不必要条件.
命题的条件分为四类：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件以及既不充分也不必要条件。即：
小结
思考4：根据以上的知识想一想，一个命题的条件可分为哪几类？
(2)你还能能给出“四边形是平行四边形”其它充要条件吗？
探究新知(二)
四边形的两组对角分别相等；
“两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
(1)平行四边形的定义是怎样的？
你能用这些条件来给平行四边形另外下一个定义吗？
四边形的两组对边分别相等;
四边形的一组对边平行且相等；
四边形的两条对角线互相平分.
两组对角分别相等的四边形叫做平行四边形
两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
两条对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（3)如何给一个概念下定义？
利用概念的充要条件可以给一个概念下定义，而且这些定义之间是相互等价的。
例2.已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l
的距离为d.求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件.
O
l
P
Q
分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切
充要条件的证明一般分两步：
证充分性，即证p→q，
证必要性，即证q
→p
且一定要使题目与证明中的叙述一致。
证明：(1)充分性(p→q)：
作OP⊥l
于点P，则OP=d
若d=r，则点P在⊙O上
在直线l
上任取一点Q(异于点P)，连接OQ。
在Rt?OPQ中，OQ>OP=r
∴除P点外，直线l
上的点都
在⊙O的外部
即直线l
与⊙O的只有一相公共点P
∴直线l
与⊙O相切
(2)必要性(q→p)：
若直线l
与⊙O相切
设切点为P，则OP⊥l
∴d=OP=r
由(1)(2)得，d=r是是直线l与⊙O相切的充要条件。
例析
探究新知(三)
已知A={x|x满足条件P}，B={x|x满足条件q}，下列各种情形下，p各是q的什么条件，你能举例说明吗？
(1)设A={x|0p:
”0(2)设A={x|x是矩形}，B={x|x是正方形}
p:
”x是矩形”是q:
”x是正方形”的必要条件；
(3)设A={x|x是到线段AB两端距离相等的点}，
B={x|x是线段AB垂直平分线上的点}
p:
”x是到线段AB两端距离相等的点”是q:
”x是到线段AB垂直平分线上的点”的充要条件；
(4)由(1)知，p是q的充分不必要条件；
(5)由(2)知，P是q的必要不充分条件；
(6)设A={x|0p:
”0Q
P
1
)
Q
P
3
)
P
（
Q）
2
)
集合的包含关系与命题的条件
p是q的充分不必要条件，
q是p的必要不充分条件
p，q互为充要条件
p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
设p、q对应的集合分别为P、Q，则
p是q的充分条件，q是p的必要条件
小结
例3.（1）已知p：|x|<2，q：x2＜x+2,则p是q的（　）
A.充分不必要条件；B.必要不充分条件　
C.充要条件；D.既非充分又非必要条件
B
由|x|<2得
-2∴P=(-2,2)
由x2＜x+2得
-1∴Q=(-1,2)
∴p是q的必要不充分条件
分析：
（2）设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M∪N”是“x∈R”的(
)
A.充要条件；
　　
B
.必要不充分条件
C
.充分不必要条件；D
.不充分不必要条件
P=M∪N
∴P=Q
分析：
=R
p是q的充要条件
A
例析
练习
1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(2)p：☉O内两条弦相等，q：☉O内两条弦所对圆周角相等；
(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集。
2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件。
(1)
(3)中的p是q的充要条件；
(2)中的p是q的必要不充分条件，不是q的充要条件。
“两个三角形全等”的充要条件有：
这两个三角的三边分别相等；这两个三角的两边及它们夹角分别相等；这两个三角的两个角及它们的夹边分别相等；这两个三角的两个角及其中一个角的对边分别相等。
“两个三角形相似”的充要条件有：
这两个三角的三边对应成比例；这两个三角的两边对应成比例且它们夹角相等；这两个三角的两个角分别相等。
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD。
证明：
1）充分性:
由AC=BD推导梯形ABCD为等腰梯形
分别过A和D作BC的垂线，垂足分别为E和F。
在Rt?ACE和Rt?DBF中，
AE=BF,
AC=BD
∴?ACE
≌
?DBF
即∠ACB=∠DBC
又在?ACB和?DBC中，
AC=BD，BC=CB
∴?ACB
≌
Rt?DBC
AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形
E
F
2）必要性:由梯形ABCD为等腰梯形推出AC=BD
∵
梯形ABCD为等腰梯形
∴AB
=
DC
在Rt?ABE和Rt?DCF中，
AB=DC,
AE=DF
∴?ABE
≌
?DCF
即∠ABE=∠DCF
又在?ACB和?DBC中，
AB=DC,∠ABE=∠DCF，
BC=CB
∴?ACB
≌
?DBC
即AC=BD
课堂小结
1.还记得什么是充分条件，必要条件和充要条件？一个命题的条件可分成哪几类？
（1）从概念的角度
（2）从集合的角度
先求出p对应的集合为P，q对应的集合为Q
再根据集合之间的关系作出结论
。
先由p试推q，q试推p,
再根据试推情况作出结论
2.判断命题的实质就是判定命题及其逆命题的真假条件的判断方法有哪些？：
数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件;
数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件.
3.说说数学中定义、判定定理、性质定理与命题条件有什么关系？
一般来说，
数学中的每一个定义都给出了相应数学概念的充要条件;
4.请用结构框图表示本节的知识？
充分条件和必要条件
充分条件
必要条件
充要条件
判定
判定定理
性质定理
定义
命题的真假
作业
教材P22习题1.4
第2，3，5题