1.4.1充分条件和必要条件教学 课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共20张PPT)

(共20张PPT)
1.4充分条件与必要条件
1.4.1
充分条件和必要条件
逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具。学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理推证数学结论、准确表达数学内容。逻辑用语也是日常交往、学习和工作中必不可少的工具。
接下来我们将通过逻辑用语的学习，理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法，体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用。
复习与引入
问题1：
在初中，我们已经对命题的有了一些初步的认识，你还能否想起下列知识：
(1)什么是命题？这个概念的核心是什么？什么是真命题？什么是假命题？
一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
命题定义的核心是能判断真假。在判断标准确定的情况下，判断的结果可真可假。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
假命题也是命题
(2)命题表达形式一般是怎样的？
若p，则q。
其中P叫命题的条件，q叫命题的结论
下面我们就来进一步研究这种形式中p和q之间的关系？
(3)你能将下列命题改写成”若p，则q“的形式吗？它们是真命题还是假命题？
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
②两条对角线相等的四边形是平行四边形；
③对顶角相等；
④空集是任意集合的子集。
若一个四边形的两组对边分别相等(p)，则这个四边形是平行四边形(q).
真命题
若一个四边形的两条对角线相等(p)，则这个四边形是平行四边形(q).
假命题
若两个角是对顶角(p)，则这两个角相等(q).
假命题
若一个集合是空集(p)，则这个集合是任意集合的子集(q).
真命题
问题2：下列”若p，则q“形式的命题中，哪些是真命题，哪些是假命题，你是如何判定的？
（1）若平行四边形的对角线相互垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若x2-4x+3=0,，则x=1；
（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l
，则a//b。
思考1：在(1)(4)中，由条件p通过推理可以推出结论p，因此它们是真命题。请问，对于一般的”若p，则q“的命题，如果能由p推出q，那它是否一定是真命题?反之成立吗？
探究新知(一)
真命题
真命题
假命题
假命题
由p可以推出q，
由p不能推出q，
由p不能推出q，
一般地，由p通过推理可以推出结论q，则“若p，则q”是真命题，反过来也成立。
由p可以推出q，
思考2：在(2)(3)中，由条件p通过推理不能推出结论p，因此它们是假命题。同样，对于一般的”若p，则q“的命题，如果能由不能推出q，那它是否一定是假命题？反之成立吗？
一般地，如果由p通过推理不能推出结论q，则“若p，则q”是假命题，反过来也成立。
思考3：在”若p，则q“形式的命题中，”命题的真假”与”由p推出q”之间的关系是怎样的？
一般地，
如果“若p，则q”为真命题，则由p可以推出q。
并且称p是q的充分条件，q是p的必要条件
如果“若p，则q”是假命题，则由p不能推出q。
并且说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
记作
记作
充分条件，必要条件
(1)“p是q的充分条件”意味着：
只要p成立就足以推出q成立；
(2)“q是p的必要条件”意味着：
若p要成立则q必须成立
；
(3)
对同一个真命题“若p，则q”而言：
“p是q的充分条件”就意味着
”q是p的必要条件”，
反之，“q是p的必要条件就意味着”p是q的充分条件”
思考4：当p是q的充分条件时，若q不成立，则p一定不成立，对不对？举例说明。
如p(两个角是对顶角)是
q(这两个角相等）的充分条件
但若q不成立，即这两个角不相等，则这两个角不可能是对顶角，因此p一定不成立。
又如p(A∪B=Φ)是
q(A、B同为空集）的充分条件
但若q不成立，即A、B不同为空集，则A∪B≠Φ，因此p一定不成立。
思考5：根据以上，说说如何理解充分条件和必要条件？
对。若q不成立，则p一定不成立
例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线相互垂直；
(4)若x2=1，则x=1；
(5)若a=b，则ac=bc；
(6)若x、y为无理数，则xy为无理数。
例析
解：
(1)这是平行四边形的一个判定定理，
∴p是q的充分条件。
(2)这是相似三角形的一个判定定理，
∴p是q的充分条件。
(3)这是菱形的一个性质定理，
∴p是q的充分条件。
例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线相互垂直；
(4)若x2=1，则x=1；
(5)若a=b，则ac=bc；
(6)若x、y为无理数，则xy为无理数。
解：
(4)x2=1时，则x可以为-1
p不是q的充分条件。
(5)这是等式的一个性质，
∴p是q的充分条件。
p不是q的充分条件。
要说明一个命题是假命题，一般采用举反例的方法。
例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
...
...
思考1：在(1)中给出“四边形是平行四边形”的一个充分条件：“四边形的两组对角分别相等”，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，你能再给出几个不同的充分条件吗？
①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形;
②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形;
③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.
这些都是平行四边形的判定定理。
每一个判定定理都给出“四边形是平行四边形”的一个充分条件
思考2：你能说说以上四个命题（例1中的(1)和①②③）都是初中学过的平行四边形的什么定理吗？“
探究新知(二)
思考3：事实上，
每一个判定定理都都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
你能举例说明吗？比如三角形全等的判定？
结论：
一般来说，数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件。
①若两个三角形的三条边对应相等，则这两个三角形全等；(SSS)
②若两个三角形有两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等；(SAS)
③若两个三角形有两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等；(ASA)
④若两个三角形有两个角及其一角的对边对应相等，则这两个三角形全等.(AAS)
这四个判定定理都给出了“三角形全等”的充分条件。
例2.下列若p，则q形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
(2)若两个三角相似形，则这两个三角形的三边成比例；
(3)若四边形的对角线相互垂直，则这个四边形是菱形；
(4)若x=1，则x2=1；
(5)若ac=bc，则a=b；
(6)若xy为无理数，则x、y为无理数。
例析
解：
(1)这是平行四边形的一个性质定理，
∴q是p的必要条件。
(2)这是相似三角形的一个性质定理，
∴q是p的必要条件。
(3)如图，
∴q不是p的必要条件。
B
D
A
C
四边形ABCD中，AC⊥BD，但ABCD不是平行四边形
思考：怎样判定q是不是P的必要条件
？
例2.下列若p，则q形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
(2)若两个三角相似形，则这两个三角形的三边成比例；
(3)若四边形的对角线相互垂直，则这个四边形是菱形；
(4)若x=1，则x2=1；
(5)若ac=bc，则a=b；
(6)若xy为无理数，则x、y为无理数。
解：
(4)显然成立，
∴q是p的必要条件。
(5)若取c=0，a=1，b=-1，
q不是p的必要条件。
∴q不是p的必要条件。
则ac=bc，但a≠b
例2.下列若p，则q形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
...
...
思考1：在(1)中给出“四边形是平行四边形”的一个必要条件：“四边形的两组对角分别相等”，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能再给出几个不同的必要条件吗？
①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等;
②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等;
③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.
探究新知(三)
思考2：你能说说以上四个命题（例2中的(1)和①②③）都是初中学过的平行四边形的什么定理吗？“
这些都是平行四边形的性质定理。
每一个判定定理都给出“四边形是平行四边形”的一个必要条件
结论：一般来说，数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件。
思考3：事实上，
每一个性质定理都都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
你能举例说明吗？比如相似三角形的性质？
①若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例全等；
②若两个三角形相似，则这两个三角形的对应角相等。
这两个性质定理都给出了“三角形相似”的必要条件。
练习
1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB；
(2)若两个三角形的两边及一边的对角分别相等，则这两个三角形全等；
(3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长的平方比。
解：(1)由“点P在线段AB的垂直平分线上”可以推出“PA=PB”，
(2)由“两个三角形的两边及一边的对角分别相等”不能推出“这两个三角形全等”，
(3)由“两个三角形相似”可得得到周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，
∴p是q的充分条件。
∴p不是q的充分条件。
∴p是q的充分条件。
3.直线a与b被直线l
所截，分别得到了∠1，∠2，∠3，∠4，请根据这些信息，写出几个a//b的充分条件和必要条件？
2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若直线l
与☉O有且仅有一个交点，则l
是☉O的一条切线；
(2)若x是无理数，则x2也是无理数。
解：(1)由“直线l
与☉O有且仅有一个交点”可以推出“l
是☉O的一条切线”，
(2)由“x是无理数”不能推出“x2是无理数”，
∴p是q的充分条件。
∴p不是q的充分条件。
a//b的充分条件有：
∠1=∠4；
∠1=∠2；
∠1+∠3=180O
a//b的必要条件有：
∠1=∠4；
∠1=∠2；
∠1+∠3=180O
解：
探究新知(四)
Q
P
1.概念：
一般地，若命题“若p，则q”为真命题，即
则称p是q的充分条件，q是p的必要条件
2.对命题条件的理解：
（1）“p是q的充分条件”意味着：
只要p成立就足以推出q成立
（2）“q是p的必要条件”意味着：
若p要成立则q必不可少
（3）对同一个真命题“若p，则q”而言
“p是q的充分条件”就意味着
“q是p的必要条件”，
反之，“q是p的必要条件”就意味着“p是q的充分条件”
课堂小结
则称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
一般地，若命题“若p，则q”为假命题，即
一般来说，数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件。
一般来说，数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件。
3.数学定理中蕴含的条件：
作业
1.分别写出”x>0”的一个充分条件和必要条件。
2.设ABCD为平行四边形，试写出ABCD为矩形的两个充分条件。
3.设CD是圆O的弦，一直线过圆心O且与圆交于A、B两点，并与AB交于点M。试写出”AB⊥CD”的两个必要条件。
4.已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|-1≤x≤4}，若x∈B是x∈A的必要条件。求实数a的取值范围。