2.2 整式的加减
第3课时
【教学目标】
知识技能目标
会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理,让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性.
过程性目标
经历探索的整式加减运算的法则的过程,进一步培养学生观察、归纳、类比、概括等能力.
情感态度目标
通过整式加减的运算,体验化繁为简的数学思想;认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
【重点难点】
重点:熟练进行整式的加减运算.
难点:列式表示问题中的数量关系,去掉括号前是负因数的括号.灵活准确的运用整式的加减的步骤进行运算.
【教学过程】
一、创设情境
(一)复习回顾
1.计算
(1)4x-x=________;?
(2)-6ab+ab+8ab=________.?
2.化简下列各式:
(1)125x+x=________;?
(2)3x-x=________.?
3.化简:
(1)6y-(3x+2y);
(2)3a2-(3a2+2a).
(二)情景导入
李亮和张莹到希望小学去看望小同学,李亮买了10支钢笔和5本字典作为礼物;张莹买了6支钢笔、4本字典和2个文具盒作为礼物品.钢笔的售价为每支a元,字典的售价为每本b元,文具盒的售价为每个c元.
请你计算:(1)李亮花了________元;张莹花了________元;李亮和张莹共花________元.?
(2)李亮比张莹多花________元.?
想一想:如何进行整式的加减运算?
二、探究归纳
探究点1:整式的加减
【典例评析】
例1:探究一(教材P67例6):
(1)(2x-3y)+(5x+4y);
(2)(8a-7b)-(4a-5b).
这是课本例题的处理,学生对如何去括号已经能够很好地掌握,学生完全可以利用以前所学习的知识进行问题的解决,稍有难度的点是合并同类项,因为有多个同类项如何处理需要教师进行点拨指导.教师可以类比有理数的加减运算,进行处理(见课本例题详解);也可以使用添括号方式进行处理,解答过程如下:
(1)解:原式=2x-3y+5x+4y=(2x+5x)+(-3y+4y)=7x+y;
(2)解:原式=8a-7b-4a+5b=(8a-4a)+(-7b+5b)=4a-2b
教师可以对两种情况进行对比,让学生择优选择.
探究二:化简
(x+3y)-2(x-3y)-(x+3y)+(x-3y)
=x+3y-2x+6y-x-y+x-3y
=x-2x-x+x+3y+6y-y-3y
=-x+y
要点归纳:整式的加减运算归结为_______、________,运算结果仍是_______.?
运算结果,常将多项式的某个字母(如x)降幂(升幂)排列.
探究点2:整式的加减的应用
例2:一种笔记本的单价是x元,圆珠笔的单价是y元.李红买这种笔记本3个,买圆珠笔2支;李明买这种笔记本4个,买圆珠笔3支.买这种笔记本和圆珠笔,李红和李明一共花费多少钱?
解法一:李红买笔记本和圆珠笔共花费(3x+2y)元,李明买笔记本和圆珠笔共花费(4x+3y)元.
李红和李明一共花费(3x+2y)+(4x+3y)=7x+5y(元).
解法二:李红和李明买笔记本共花费(3x+4x)元,买圆珠笔共花费(2y+3y)元.
李红和李明一共花费(3x+4x)+(2y+3y)=7x+5y(元)
例3:做大小两个长方体纸盒,尺寸如下(单位:cm2)
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
1.5a
2b
2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米?
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米?
解:小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ca)cm2
大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ca)cm2
(1)做这两个纸盒共用料(2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca)
=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca
=8ab+10bc+8ca(cm2)
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料
(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca)
=6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca
=4ab+6bc+4ca(cm2).
例4:求x-2+的值,其中x=-2,y=.
解:原式=x-2x+y2-x+y2
=-3x+y2.
当x=-2,y=时,
原式=(-3)×(-2)+=6+=6.
师生活动:可以选择学生板演,其他同学独立完成.师生共同订正板演过程,教师详细讲解,并板书示范过程.教师引导学生类比有理数的运算.
要点归纳:整式加减的运算法则:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.
三、检测反馈
1.已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1,则这个多项式是
( )
A.-5x-1
B.5x+1
C.-13x-1
D.13x+1
2.长方形的一边长等于3a+2b,另一边比它大a-b,那么这个长方形的周长是
( )
A.14a+6b
B.7a+3b
C.10a+10b
D.12a+8b
3.若A是一个二次二项式,B是一个五次五项式,则B-A一定是
( )
A.二次多项式
B.三次多项式
C.五次三项式
D.五次多项式
4.多项式2x3-8x2+x-1与多项式3x3+2mx2-5x+3的和不含二次项,则m为
( )
A.2
B.-2
C.4
D.-4
5.已知A=3a2-2a+1,B=5a2-3a+2,则2A-3B=________________.?
6.若mn=m+3,则2mn+3m-5mn+10=________.?
7.计算:
(1)-ab3+2a3b-a2b-ab3-a2b-a3b;
(2)(7m2-4mn-n2)-(2m2-mn+2n2);
(3)-3(3x+2y)-0.3(6y-5x);
(4)-.
8.某公司计划砌一个形状如下图(1)的喷水池,后有人建议改为如下图(2)的形状,且外圆直径不变,只是担心原来备好的材料不够,请你比较两种方案,哪一种需用的材料多(即比较两个图形的周长)?若将三个小圆改为n个小圆,又会得到什么结论?
四、本课小结
1.知识小结
(1)整式加减运算的法则.
(2)数学思想——由特殊到一般.
2.方法、技巧与规律小结
本课时先通过对具体问题的解决总结出整式加减运算的基本方法,然后解决单纯去括号、合并同类项即可完成的整式加减的运算.在求整式的和或差时,应根据题意列出算式再计算,列式时注意要把每个多项式看作整体用括号括起来,以防出错.去括号时,一定严格按照去括号法则进行,准确判断括号内的各项是变号还是不变号.合并同类项是最后一步,要做到找对同类项,结果没有同类项可以合并.
五、布置作业
基础:课本第69页,练习第1-3题
综合:课本第70页,习题2.2,第4题
六、板书设计
七、教学反思
本课旨在通过探索整式加减运算的法则的过程,进一步培养学生观察、归纳、类比、概括等能力,提高有条理的思考及语言表达能力.让学生在探索整式加减运算法则的活动中通过相互间的合作与交流,进一步挖掘学生合作交流的能力和数学表达能力.在解决问题的过程中了解数学的价值,增强“用数学”的信心.
教材提供的素材、问题不仅仅是为了帮助教师传授知识,更重要的的是给学生创造思维的空间,数学课堂知识的传授应该在学生各种思维活动进行的过程中自然的完成,教师的教学设计也应以怎样创设合适的思维情境,更好的激发学生的思维热情,发展学生的思维能力,培养学生良好的思维品质为核心目的展开.
PAGE2.2 整式的加减
第2课时
【教学目标】
知识技能目标
能运用运算律探究去括号法则,并且利用去括号法则将整式化简.
过程性目标
经历类比带有括号的有理数的运算,发现去括号时的符号变化的规律,归纳出去括号法则,培养学生观察、分析、归纳能力.
情感态度目标
经历探索去括号法则的产出过程,体验数学活动的探索性和创造性,感受数学的严谨性和数学结论的确定性,体会数学的简洁美.
【重点难点】
重点:去括号法则,准确应用法则将整式化简.
难点:括号前面是负号去括号时,括号内各项变号容易产生错误.
【教学过程】
一、创设情境
复习回顾
1.你记得有理数乘法法则吗?
2.你还记得乘法分配律吗?用字母怎样表示?
3.化简
-(+5)= -(-7)=
+(+5)= +(-7)=
学生说出理由,并明晰规律.
二、探究归纳
探究点1:去括号法则
1.填一填
a
b
c
a+(-b+c)
a-b+c
a-(-b+c)
a+b-c
5
2
-1
-6
-4
3
2.通过上表你发现a+(-b+c)与a-b+c,a-(-b+c)与a+b-c有何关系,用式子表示出来.
3.应用乘法分配律计算:
①+(-a+c);②-(-a-c).
利用分配律可以进行化简.
①+(-a+c)=1×(-a)+1×c=-a+c.
②-(-a-c)=(-1)×(-a)+(-1)×(-c)=a+c.
探究点2:你能把下面的括号去掉吗?
①+2(-a+c);②-3(-a-c).
要点归纳:
1.如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
2.如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
【典例评析】
例1:化简下列各式:
(1)8a+2b+(5a-b).
(2)(5a-3b)-3(a2-2b).(教科书中已有解答过程)
(3)(2x2+x)-[4x2-(3x2-x)].
【方法技巧】
1.当括号前面有数字因数时,可应用乘法分配律将这个数字因数乘以括号内的每一项,切勿漏乘.
2.当含有多重括号时,可以由内向外逐层去括号,也可以由外向内逐层去括号.每去掉一层括号,若有同类项可随时合并,这样可使下一步运算简化,减少差错.
探究点3:去括号化简的应用
例2:两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的速度都是50千米/时,水流速度是a千米/时.
(1)2小时后两船相距多远?
(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米?
三、检测反馈
1.下列去括号中,正确的是
( )
A.a2-(2a-1)=a2-2a-1
B.a2+(-2a-3)=a2-2a+3
C.3a-[5b-(2c-1)]=3a-5b+2c-1
D.-(a+b)+(c-d)=-a-b-c+d
2.不改变代数式a-(b-3c)的值,把代数式括号前的“-”号变成“+”号,结果应是
( )
A.a+(b-3c)
B.a+(-b-3c)
C.a+(b+3c)
D.a+(-b+3c)
3.已知a-b=-3,c+d=2,则(b+c)-(a-d)的值为
( )
A.1
B.5
C.-5
D.-1
4.化简下列各式:
(1)8m+2n+(5m-n);
(2)(5p-3q)-3(p2-2q).
5.先化简,再求值:2(a+8a2+1-3a3)-3(-a+7a2-2a3),其中a=-2.
四、本课小结
你对你自己说,你有什么收获?
1.去括号时要将括号前的符号和括号一起去掉.
2.如果括号前是负号,则去掉括号后原括号内每项都要变号.
3.当括号前带有数字因数时,这个数字因数要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项.
4.括号内原有几项,去掉括号后仍有几项,不能丢项.
五、布置作业
基础:课本67页 练习 第1、2题
综合:课本70页 习题2.2 第2、3题
六、板书设计
七、教学反思
本课的重难点为去括号,根据原有的教学经验,学生对括号外面是负因数的情况理解比正因数的情况要难,所以本节课在设计上从学生已有的知识出发,根据学生已有的知识,一步一个层次给予提升,逐步形成新的知识.
要持续地激发和保持学生的思维热情,除了教师的课前准备以外,教师应注意适当的使用激励、讨论、合作交流等手段,要以提高学生的思维能力和品质为目的来综合使用这些手段,帮助学生形成积极主动的求知态度,不要肤浅的流于形式为了讨论而讨论和不分对错言过其实的表扬,要用适当的方式帮助其暴露思维过程中的问题,促进其思维能力的提高.
在教学内容上,既尊重学生已有的知识和技能,又着眼于学生的最近发展区,为学生提供带有难度的内容,调动学生的积极性,充分发挥其潜能.
去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“-”号时,括号连同括号前面的“-”号去掉,括号里的各项都改变符号.去括号规律可以简单记为“-”变“+”不变,要变全都变.当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项.
PAGE2.2 整式的加减
第1课时
【教学目标】
知识技能目标
了解同类项、合并同类项的概念,掌握合并同类项法则,能正确合并同类项.先合并同类项化简,后求值.
过程性目标
通过类比数的运算探究合并同类项的法则,探究合并同类项法则,从中体会数式通性和类比的数学思想.
情感态度目标
经历了用字母表示数量关系的过程,培养从特殊到一般的数学思想,发展符号感,养成良好的学习习惯.
【重点难点】
重点:会判断同类项并能合并同类项.
难点:同类项的定义,合并同类项法则的形成过程及应用.
【教学过程】
一、创设情境
问题1:假设你请同学小张、小王、小李去吃“肯德基”,小张说他要两个“鸡腿汉堡”和一杯“可乐”;小王说他要一个“鸡腿汉堡“、一包“薯条”和一杯“可乐”;小李说他要一对“炸鸡翅”、一包“薯条”和一杯“可乐”;你自己想要两对“炸鸡翅”和一杯“可乐”,你如何跟售货员说呢?如果用a表示“鸡腿汉堡”,b表示一对“炸鸡翅”,c表示“薯条”,d表示“可乐”,如何列式呢?
问题2:(1)你会计算下面的问题吗?
100×2+252×2=_____________________________________,?
100×(-2)+252×(-2)=_____________________________.?
(2)根据上面的方法完成下面的运算,并说明其中的道理.
100t+252t=____________________________________.?
二、探究归纳
探究点1:同类项的辨别
下列每组中的两项有什么共同的特点?你可以给这些具有共同特征的项取个名字吗?
(1)a3b和-a3b
(2)4xy和-21xy
(3)5a2和-a2
(4)5mn2b3和-7n2mb3
要点归纳:判定几个单项式是同类项需注意:
(1)同类项只与字母及其指数有关,与系数无关,与字母在单项式中的排列顺序无关;
(2)抓住“两个相同”:一是所含的字母要完全相同,二是相同字母的指数要相同,这两个条件缺一不可.并且不要忘记几个常数项也是同类项.
探究点2:合并同类项及应用
探究一:
(1)100t-252t=( )t
(2)3x2+2x2=( )x2
(3)3ab2-4ab2=( )
教师设疑:
1.思考:上面三个问题你能计算吗?你打算如何计算?
2.推测:你为什么要这样计算?
教师引导学生这样思考:上面三个等式左边的多项式有哪些单项式组成?每个多项式中的单项式有什么共同特点?
探究二:
(1)50m-25n=( )
(2)3x2+2y2=( )
出示问题:探究一和探究二的问题有什么区别?引导学生发现异同.
要点归纳:“合并同类项”的方法:
一找,找出多项式中的同类项,不同类的同类项用不同的标记标出;
二移,利用加法的交换律,将不同类的同类项集中到不同的括号内;
三合,将同一括号内的同类项相加即可.
【典例评析】教材P64例1～例3
【技巧点拨】合并方法:
(1)系数:系数相加;
(2)字母:字母和字母的指数不变.
注意事项:(1)只有同类项才能合并,移项时应连同符号.
(2)多项式中含有两种以上的同类项时,为防止漏项或混淆,可先在各项的下边用不同的记号标出各种同类项,然后进行合并.
(3)合并后的结果通常按某个字母降幂或升幂排列.
三、检测反馈
1.下列各组中的两项,不是同类项的是
( )
A.a2b与-6ab2
B.-x3y与2yx3
C.2πR与π2R
D.35与53
2.下列计算正确的是
( )
A.3a2-2a2=1
B.5-2x3=3x3
C.3x2+2x3=5x5
D.a3+a3=2a3
3.多项式-3x2y-10x3+3x3+6x3y+3x2y-6x3y+7x3的值是
( )
A.与x,y都无关
B.只与x有关
C.只与y有关
D.与x,y都有关
4.合并同类项:
(1)-a-a-2a=________;?
(2)-xy-5xy+6yx=________;?
(3)0.8ab2-a2b+0.2ab2=________;?
(4)3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7________.?
5.三角形三边长分别为5x,12x,13x,则这个三角形的周长为________;当x=2
cm时,周长为________cm.?
6.合并下列各式的同类项:
(1)-0.8a2b-6ab-3.2a2b+5ab+a2b;
(2)5(a-b)2-3(a-b)2-7(a-b)-(a-b)2+7(a-b).
7.求下列各式的值:
(1)3x2-8x+2x3-13x2+2x-2x3+3,其中x=-1.
(2)a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b,其中a=0.1,b=0.01.
四、本课小结
2.合并同类项——“一加二不变”
五、布置作业
基础:课本第65页,第1-3题
综合:课本第70页,习题2.2第5、6题
六、板书设计
七、教学反思
在教学理念上,本节课设计坚持了“以生为本”的理念,以学生的认知规律为出发点.教学过程中注意知识起点、思维状态、情感态度,从如何创设有利于学生接纳的情境开始,整个教学设计过程思维联系紧密.
在教学策略上,注重信息技术与数学教学的整合,充分利用多媒体课件,吸引学生注意力,激发学生求知欲,节省了时间,增大了课堂容量.
在教学内容上,既尊重学生已有的知识和技能,又着眼于学生的最近发展区,为学生提供带有难度的内容,调动学生的积极性,充分发挥其潜能.
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