4.2 直线、射线、线段
第1课时
【教学目标】
知识技能目标
1.掌握“两点确定一条直线”的基本事实,了解点和直线的位置关系.
2.进一步认识直线、射线、线段,会用正确的方法表示直线、射线、线段.
3.理解直线、射线、线段的区别与联系.
过程性目标
1.能在现实情境中,进行抽象的数学思考,提高抽象概括能力.
2.经历画图的数学活动过程,提高学生的动手操作与实践能力.
情感态度目标
体验通过实验获得数学猜想,得到直线性质的过程.
【重点难点】
重点:理解并掌握直线的性质,会用字母表示图形和根据语言描述画出图形.
难点:理解直线、射线、线段的区别与联系,掌握“符号语言、文字语言、图形语言”之间的转化.
【教学过程】
一、创设情境
同学们,你们注意过吗,建筑工人在砌墙时经常会在墙的两头分别固定两根木桩,然后在木桩之间拉一条细绳,沿着细绳砌砖.这样做有什么道理呢?
学完本节知识后,请同学们作答.
二、探究归纳
探究点1:直线及其性质:
1.想一想:
(1)经过一点O可以画几条直线?
(2)经过两点A,B可以画直线吗?可以画几条?
师:如果你想将一根小木条固定在木板上,至少需要几个钉子?
如果将细木条抽象成直线,将钉子抽象为点,你可以得出什么结论?
要点归纳:直线的性质
经过两点有一条直线,并且只有一条直线.
简称:两点确定一条直线.
2.试一试:用不同的方法表示下图中的直线
要点归纳:表示直线的方法:①用一个小写字母表示,如直线m;②用两个大写字母表示,如直线CE,注:这两个大写字母可交换顺序.
3.画一画:
(1)在纸上画一条直线和一个点,想一想点和直线有哪些位置关系?
如图:点A在直线l上,点B在直线l外.
或者说:直线
l
经过点
A,点B不在直线l上
(直线l不经过点B
).
(2)在纸上画两条直线,它们之间有哪些位置关系?
如图,直线a和b相交于点O.
要点归纳:
当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的________.?
探究点2:射线、线段
思考:如何表示射线和线段?
4.议一议:
(1)试一试,如何由线段得到直线、射线,如何由射线得到直线?三者之间有什么联系?
要点归纳:
直线、射线、线段三者的联系:
a.将线段向一个方向无限延长就形成了射线.
b.将线段向两个方向无限延长就形成了直线.
c.线段和射线都是直线的一部分.
(2)观察自己的画的直线、射线和线段,想一想它们有什么区别?填写下表:
类型
端点个数
延伸性
能否度量
线段
射线
直线
【典例评析】例1
观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字:
猜想:
(1)5条直线相交最多有几个交点?
(2)6条直线相交最多有几个交点?
(3)n条直线相交最多有几个交点?
【解析】先观察图形,找出交点的个数与直线的条数之间的关系,然后进行计算即可.
(1)5条直线相交最多有=10个交点.
(2)6条直线相交最多有=15个交点.
(3)n条直线相交最多有个交点.
方法总结:解题关键是观察图形,找出规律,总结出同一平面内n条直线相交最多有个交点.
例2
如图所示,图中共有线段
( )
A.8条 B.9条 C.10条 D.12条
【解析】选C.可以根据线段的定义写出所有的线段即可得解;也可以先找出端点的个数,然后利用公式进行计算.
方法一:图中线段有:AB,AC,AD,AE;BC,BD,BE;CD,CE;DE;共4+3+2+1=10条;
方法二:共有A,B,C,D,E五个端点,则线段的条数为=10条.
方法总结:找线段时要按照一定的顺序,做到不重不漏,如果记住公式会更加简便准确.
例3
由郑州到北京的某一次往返列车,运行途中停靠的车站依次是:郑州——开封——商丘——菏泽——聊城——任丘——北京,那么要为这次列车制作的火车票有
( )
A.6种 B.12种 C.21种 D.42种
【解析】选D.从郑州出发要经过6个车站,所以要制作6种车票,从开封出发要经过5个车站,所以要制作5种车票,从商丘出发要经过4个车站,所以要制作4种车票,从菏泽出发要经过3个车站,所以要制作3种车票,从聊城出发要经过2个车站,所以要制作2种车票,从任丘出发要经过1个车站,所以要制作1种车票,再考虑是往返列车,起点与终点不同,则车票不同,乘以2即可.即共需制作的车票数为:2×(6+5+4+3+2+1)=2×21=42种.故选D.
方法总结:可以结合线段条数的确定方法,也可以用公式n(n-1),将n=7代入即可.
三、检测反馈
1.
在同一平面内有三个点A,B,C,过其中任意两个点作直线,可以画出的直线的条数是
( )
A.1
B.2
C.1或3
D.无法确定
2.下列表示方法正确的是
( )
A.线段L
B.直线ab
C.直线m
D.射线Oa
3.下列语句准确规范的是
( )
A.延长直线AB
B.直线AB,CD相交于点M
C.延长射线AO到点B
D.直线a,b相交于一点m
4.下列四个图中的线段(或直线、射线)能相交的是
( )
5.如图,A,B,C三点在一条直线上,
(1)
图中有几条直线,怎样表示它们?
(2)
图中有几条线段,怎样表示它们?
(3)
射线AB和射线AC是同一条射线吗?
(4)
图中有几条射线?写出以点B为端点的射线.
6.如图,在平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图:
(1)画直线AB,CD交于E点.
(2)画线段AC,BD交于点F.
(3)连接E,F交BC于点G.
(4)连接AD,并将其反向延长.
(5)作射线BC.
(6)取一点P,使P在直线AB上又在直线CD上.
拓展提升
7.往返于A,B两地的客车,中途停靠三个站,每两站间的票价均不相同,问:
(1)有多少种不同的票价?
(2)要准备多少种车票?
四、本课小结
1.
经过两点有一条直线并且只有一条直线.
2.
不同几何语言
(文字语言、图形语言)
的相互转化.
3.
直线、射线、线段的表示方法.
4.
直线、射线、线段三者的区别与联系.
五、布置作业
课本P129习题4.2 T1、2、3
六、板书设计
直线、射线、线段直线、射线、线段的定义及表示 例1: 例2: 例3 …… …… …… ………… …… …… ………… …… …… ………… …… …… ……
七、教学反思
本节课是学生学习几何图形知识的基础,这堂课需要掌握的知识点多,而且比较抽象.教师在教学时要体现新课程的三维目标,通过观察分析认识直线、射线和线段,掌握它们之间的联系与区别,有效地利用学生已有的旧知来引导学生学习新知,并在此基础上引出射线.接着由射线引入直线,并比较三者之间的关系.为后面学习新知识做好了铺垫.
PAGE4.2 直线、射线、线段
第2课时
【教学目标】
知识技能目标
1.会用尺规画一条线段等于已知线段,会比较两条线段的长短.
2.理解线段等分点的意义.
3.能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
4.体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.
5.了解两点间距离的意义,理解“两点之间,线段最短”的线段性质,并学会运用.
过程性目标
1.能在现实情境中,进行抽象的数学思考,提高抽象概括能力.
2.经历画图的数学活动过程,提高学生的动手操作与实践能力.
情感态度目标
积极参与实验数学活动,体会数学是解决实际问题的重要工具,通过对解决问题过程的反思,懂得知识源于生活并用于生活.
【重点难点】
重点:作一条线段等于已知线段,理解线段的和、差,掌握线段中点的概念,理解“两点之间,线段最短”的线段性质.
难点:利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差,利用线段的和、差、倍、分求线段的长度,“两点之间,线段最短”的实际运用.
【教学过程】
一、创设情境
你们平时是如何比较两个同学的身高的?你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗?讨论后派一位代表上来说说你们的想法.
二、探究归纳
探究点1:线段长短的比较
比较线段AB,CD的长短.
(1)度量法:分别测量线段AB,CD的长度,再进行比较:
AB=________;BC=________,________>________,所以________>________.?
(2)叠合法:将点A与点C重合,再进行比较:
①若点A与点C重合,点B落在C,D之间,那么
AB________CD.?
②若点A与点C重合,点B与点D________,那么
AB
=
CD.?
③若点A与点C重合,点B落在CD的延长线上,那么AB________CD.?
要点归纳:
尺规作图:作一条线段(AB)等于已知线段(a)的作法:
1.画射线AC;2.在射线AC上截取AB=a.
问题: 若要比较两个同学的身高,有哪些办法?你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗?
探究点2:线段的和、差、倍、分
画一画:在直线上画出线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是________与________的和,记作AC=________.如果在AB上画线段BD=b,那么线段AD就是________与________的差,记作AD=________.?
观察与思考:
在一张纸上画一条线段,折叠纸片,使线段的端点重合,折痕与线段的交点处于线段的什么位置?
要点归纳:
1.如图(1),点C落在线段AB的延长线(即以A为端点,方向为A到B的射线)上,设AB=a
,BC=b,
则线段AC就是线段a与线段b的和,记做AC
=a+b;
2.如图(2),线段AD就是线段a与线段b的差,记做AD=a-b
3.如图,点
M
把线段
AB
分成相等的两条线段AM
与
BM,点
M
叫做线段
AB
的中点.
几何语言:因为M是线段AB的中点
所以
AM
=
MB
=________AB,?
或AB=________AM
=________MB?
探究点3:有关线段的基本事实
议一议:
如图:从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从A地到B地的最短路?如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线.
要点归纳:1.两点的所有连线中,线段最短.简称:两点之间,线段最短.
2.连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离.
【典例评析】【类型一】
比较线段的长短
例1 为比较两条线段AB与CD的长短,李明将点A与点C重合,使两条线段在一条直线上,点B在CD的延长线上,则
( )
A.ABB.AB>CD
C.AB=CD
D.以上都有可能
【解析】选B.由点A与点C重合使两条线段在一条直线上,点B在CD的延长线上,得AB>CD.
方法总结:比较线段长短时,叠合法是一种较为常用的方法.
【类型二】根据线段的中点求线段的长
例2 如图,点C是线段AB上一点,点M是AC的中点,点N是BC的中点,如MC比NC长2
cm,AC比BC长
( )
A.2
cm
B.4
cm
C.1
cm
D.6
cm
【解析】选B.点M是AC的中点,点N是BC的中点,所以AC=2MC,BC=2NC,所以AC-BC=(MC-NC)×2=4
cm,即AC比BC长4
cm.
方法总结:根据线段的中点表示出线段的长,再根据线段的和、差求未知线段的长度.
【类型三】已知线段的比求线段的长
例3 如图,B,C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分,点E是线段AD的中点,EC=2
cm,求:
(1)AD的长.
(2)AB∶BE.
【解析】(1)设AB=2x,则BC=3x,CD=4x,
由线段的和差,得AD=AB+BC+CD=9x.
由E为AD的中点,得ED=AD=x.
由线段的和差得
CE=DE-CD=x-4x==2.
解得x=4.所以AD=9x=36(cm).
(2)AB=2x=8(cm),BC=3x=12(cm).
由线段的和差,得BE=BC-CE=12-2=10(cm).
所以AB∶BE=8∶10=4∶5.
方法总结:在遇到线段之间比的问题时,往往设出未知数,列方程解答.
【类型四】当图形不确定时求线段的长
例4 如果线段AB=6,点C在直线AB上,BC=4,D是AC的中点,那么A,D两点间的距离是( )
A.5 B.2.5 C.5或2.5 D.5或1
【解析】选D.本题有两种情形:
(1)当点C在线段AB上时,如图:
AC=AB-BC,又因为AB=6,BC=4,所以AC=6-4=2,D是AC的中点,所以AD=1;
(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图:
AC=AB+BC,又因为AB=6,BC=4,所以AC=6+4=10,D是AC的中点,所以AD=5.故选D.
方法总结:解答本题关键是正确画图,本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性,在今后解决类似的问题时,要防止漏解.
例5 如图,把弯曲的河道改直,能够缩短航程,这样做的根据是
( )
A.两点之间,直线最短
B.两点确定一条线段
C.两点确定一条直线
D.两点之间,线段最短
【解析】选D.把弯曲的河道改直缩短航程的根据是:两点之间,线段最短.
方法总结:本题考查了线段的性质,熟记两点之间线段最短是解题的关键.
三、检测反馈
1.已知点A,B,C都是直线l上的点,且AB=5
cm,BC=3
cm,那么点A与点C之间的距离是
( )
A.8cm
B.2cm
C.8cm或2cm
D.4cm
2.如图所示,线段AB的长为8
cm,点C为线段AB上任意一点,若M为线段AC的中点,N为线段CB的中点,则线段MN的长是________.?
3.下列说法中错误的是
( )
A.A,B两点之间的距离为3
cm
B.A,B两点之间的距离为线段AB的长度
C.线段AB的中点C到A,B两点的距离相等
D.A,B两点之间的距离是线段AB
4.如图,C是线段AB的中点,D是CB上一点,下列说法中错误的是
( )
A.CD=AC-BD
B.CD=BC
C.CD=AB-BD
D.CD=AD-BC
5.如图,李华的家在A处,书店在B处,星期日李华到书店去买书,他想尽快地赶到书店,请你帮助他选择一条最近的路线
( )
A.A→C→D→B
B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B
D.A→C→M→B
6.已知线段AB=10,直线AB上有一点C,且BC=4,M是线段AC的中点,则AM的长为________.?
四、本课小结
1.线段的比较与性质
(1)比较线段:度量法和叠合法.
(2)两点之间线段最短.
2.线段长度的计算
(1)中点:把线段AB分成两条相等线段的点.
(2)两点间的距离:两点间线段的长度.
五、布置作业
课本P128练习;P129～130 T5,6,7,8,9,10
六、板书设计
直线、射线、线段探究点拨 例2: 例4 例题点拨…… …… …… ………… …… …… ………… …… …… ………… …… …… ……
七、教学反思
1.本节课通过比较两个人的高矮这一生活中的实例让学生进行思考,从而引出课题,极大地激发了学生的学习兴趣;并通过动手操作,亲身体验用叠合法比较线段的长短.教师要尝试让学生自主学习,优化课堂教学中的反馈与评价.通过评价,激发学生的求知欲,坚定学生学习的自信心.
2.
通过引导学生主动参与学习过程,探究出等分线段及线段性质,从中培养学生动手和合作交流的能力,解决生活中的数学问题,是为了进一步巩固两点之间的距离的意义,渗透数形结合思想解决线段长度问题,渗透分类讨论思想,训练学生思维严谨性.
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