3.4 实际问题与一元一次方程
第4课时
【教学目标】
知识技能目标
1.体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用,能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费问题”进行整体分析,从而得出整体选择方案.
2.进一步深化对数学建模方法的体验,增强应用方程模型解决问题的意识和能力.
过程性目标
经历由实际问题抽象为方程模型的过程,进一步体会模型化的思想.
情感态度目标
通过探究实际问题与一元一次方程的关系,感受数学的应用价值,提高分析问题,解决问题的能力.
【重点难点】
重点:能够理解题目信息,建立方程模型解决电话计费问题.
难点:关键点的选择,整体方案的确定.
【教学过程】
一、创设情境
有四位同学到营业厅办理电话计费业务,营业员向他们出示了如下表两种移动电话计费方式:
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/(元/min)
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
如果他们四人的平均每月通话时间为80
min、200
min、280
min和360
min.他们如何选择计费方式才更合适?你是如何思考的?请你通过计算帮他们选择合适的计费方式.
二、探究归纳
探究点:电话计费问题
针对情景中的问题,完成以下问题:
(一)直观计算观察
你觉得哪种计费方式更省钱?填填下面的表格,你有什么发现?
主叫时间(分)
100
150
250
300
350
450
方式一计费(元)
方式二计费(元)
(二)阅读教材第105页,根据理解的意思,用自己的话回答下面的问题.
1.方式一中“月使用费58元”的意思是:_______________________.?
2.方式一中“主叫限定时间150
min”是指:____________________min.?
3.方式一中“主叫超时费,每分钟0.25元”是指_______________.?
(三)选择更省钱的计费方式与哪个量有直接关系?应该如何将t的取值进行分类?
【展示点评】(1)设一个月内用移动电话主叫为t
min(t为正整数),列表说明:
当在不同的时间范围内取值时,按方式一和方式二如何计算:
主叫时间t/min
方式一计费/元
方式二计费/元
t<150
t=150
150t=350
t>350
(2)观察你的列表,你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗?通过计算验证你的看法.
①当t≤150时,按方式一的计费少.
②当t从150增加到350时,按方式一的计费由________元增加到________元,而按方式二的计费一直是________元.因此,当150min且小于270
min,按________;如果主叫时间大于270
min且小于350
min,按________.?
③当t=350时,________.?
④当t>350时,可以看出,按方式一的计费为108元加上超过350
min部分的超时费:________;按方式二的计费为88元加上超过350
min部分的超时费:________;按方式二计费________.?
综上所述,当________时,选择方式一省钱;?
当________时,选择两种方式一样.?
当________时,选择方式二省钱.?
【反思小结】回顾以上探究过程,我们发现解决此问题要先找出关键性的主叫时间,并由此进行分类,列出不同区间的计费方法,从而确定最省钱的方式.
要点归纳:
【典例评析】
例1:观察下列两种移动电话计费方式表:
全球通
神州行
月租费
50元/月
0
本地通话费
0.40元/分
0.60元/分
设计以下问题:
1.你能从表中获得哪些信息,试用自己的话说说.
2.猜一猜,使用哪一种计费方式合算?
3.一个月内在本地通话200分和300分,按两种计费方式各需交费多少元?
4.对于某个本地通话时间,会出现两种计费方式的收费一样的情况吗?
解:1.用“全球通”每月收月租费50元,此外根据累计通话时间按0.40元/分加收通话费;用“神州行”不收月租费,根据累计通话时间按0.60元/分收通话费.
2.不一定,具体由当月累计通话时间决定.
3.
全球通
神州行
200分
130元
120元
300分
170元
180元
4.设累计通话t分,则用“全球通”要收费(50+0.4t)元,用“神州行”要收费0.6t元,如果两种计费方式的收费一样,则
0.6t=50+0.4t
移项得0.6t-0.4t=50
合并,得0.2t=50
系数化为1,得t=250
答:如果一个月内通话250分,那么两种计费方式的收费相同.
例2:一个周末,王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游,旅费为300元/人.联系了标价相同的两家旅游公司,经洽谈,甲公司给出的优惠条件是:教师全部付费,学生按七五折付费;乙公司给的优惠条件是:全部师生按八折付费,请你参谋参谋,选择哪家公司较省钱?
学生独立思考后,进行讨论:
1.本题如何设未知数?
2.甲公司的旅费该怎样表示?
3.乙公司的旅费该怎样表示?
4.两公司的旅费可能相等吗?
5.若甲公司的旅费比乙公司的旅费多,该怎样表示?
6.同理,若乙公司的旅费比甲公司的旅费多,该怎样表示?
三、检测反馈
A组
1.“全球通”移动电话的计费方法:月租费50元/月,本地通话费0.40元/分.一个月内,若通话200分钟,需交费________元;若通话x分钟,需交费________元.?
2.5位教师和一群学生一起去公园,教师买全票,票价是每张7元,学生只收半价.若设学生共有x人,则买门票共需花费________元.如果买门票共花费了206.50元,那么学生有________人.?
3.国庆节前几天,两家商场的同一种彩电的价格相同.国庆节两家商场都有降价促销活动.甲商场的这种彩电降价500元,乙商场的这种彩电打9折.
(1)若原价是2000元/台,则降价后甲商场的彩电价格为________元,乙商场的彩电价格为________元.因此,到________商场买便宜?
(2)若原价是20
000元/台,则降价后甲商场的彩电价格为________元,乙商场的彩电价格为________元.因此,到________商场买便宜?
(3)若设原价为x元,则降价后,甲商场的价格为________元,乙商场的价格为________元.?
(4)当原价是________时,降价后两商场彩电的价格仍然相等.?
B组
1.某公司到果园基地购买某种优质水果,果园基地对购买3
000
kg以上(含3
000
kg)的顾客有两种销售方案,甲方案:每千克9元,由基地送货上门;乙方案:每千克8元,由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运费为5
000元,问选择哪种购买方案付款较少?并说明理由.
2.某学校组织学生春游,如果租用若干辆45座的客车,则有15个人没有座位,如果租用相同数量60座的客车,则多出1辆,其余车恰好坐满,已知租用45座的客车日租金为每辆车250元,60座的客车日租金为300元,问若租60座的车,要多少辆能使所有的学生刚好坐满?你认为租用哪种客车更合算?
3.某工厂餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅,现在从甲乙两商场了解到:同一型号的餐桌报价每张均为200元,餐椅报价每把均为50元,甲商场称,每购买一把餐桌赠送一把餐椅,乙商场规定:所有桌椅均按报价的八五折销售,若该工厂计划购买餐椅x把,则:
(1)用含x的代数式表示到甲乙两商场购买所需要的费用.
(2)当购买多少把餐椅时,到甲乙两商场购买所需的费用相同?
四、本课小结
1.解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省钱”与“主叫时间”有关.
2.此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点,然后建立方程模型分类讨论,
从而得出整体选择方案.
五、布置作业
P106练习T2
六、板书设计
七、教学反思
课程改革的目的之一是促进学习方式的转变,加强学习的主动性和探究性,本章内容涉及大量的实际问题,丰富多彩的问题情境和解决实际问题的快乐更容易激起学生对数学的兴趣,在本节中,引导学生从身边的移动电话收费,旅游费用等问题展开探究,使学生在现实、富有挑战性的问题情境中经历多角度认识问题,多种策略思考问题,尝试解释答案的合理性的活动,培养探索精神和创新意识.
在前面几节学习中,已经对利用一元一次方程解决问题的基本过程进行多次渗透,逐步细化,本节要求学生用框图概括,使学生对“应用一元一次方程解决实际问题”有较理性的认识,进一步体会模型化的思想.
PAGE3.4 实际问题与一元一次方程
第1课时
【教学目标】
知识技能目标
1.会通过列方程解决“配套问题”和“工程问题”.
2.掌握列方程解决实际问题的一般步骤.
3.通过列方程解决实际问题的过程,体会建模思想.
过程性目标
发现生活中的实际应用问题,经历动手操作和自主探究的过程,进一步体会数学源于生活而又服务于生活的理念.
情感态度目标
保持学习兴趣,养成积极探索的精神和合作意识,感受数学的价值.
【重点难点】
重点:掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
难点:能够准确找出实际问题中的等量关系,并建立模型解决问题.
【教学过程】
一、创设情境
师:1.同学们,之前我们通过列方程解应用问题的过程中,大致包含哪些步骤?
生:1.审:审题,分析题目中的数量关系.
2.设:设适当的未知数,并表示未知量.
3.列:根据题目中的数量关系列方程.
4.解:解这个方程.
5.答:检验并作答.
今天这节课,我们来进一步认识一元一次方程在实际生活中的应用.
二、探究归纳
探究点1:产品配套问题
【典例评析】
例1:某车间有22名工人,每人每天可以生产1
200个螺钉或2
000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名?
方法总结:生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系,建立方程.解决配套问题的思路:
1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据.
2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
探究点2:工程问题
填一填
一件工作,甲独做需要6天完成,乙独做需要5天完成.
(1)若把工作总量设为1,则甲的工作效率(甲一天完成的工作量)是________,乙的工作效率是________.?
(2)甲做x天完成的工作量是________,乙做x天完成的工作量是________,甲乙合做x天完成的工作量是________.?
议一议
工程问题中,涉及哪些量?它们之间有什么数量关系?
(1)工程问题中,涉及的量有工作量、____________.?
(2)请写出这些量之间存在的数量关系:
?____________________________________________________________
?____________________________________________________________
例2:整理一批图书,由一个人做要40
h完成.现计划由一部分人先做4
h,然后增加2人与他们一起做8
h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应该安排多少人工作?
要点归纳:
解决工程问题的基本思路:
1.三个基本量:工作量、工作效率、工作时间.它们之间的关系是:
工作量=工作效率×工作时间;合作的工作效率=工作效率之和.
2.相等关系:
工作总量=各部分工作量之和=合作的工作效率×工作时间.
3.通常在没有具体数值的情况下,把工作总量看作1.
三、检测反馈
1.某人一天能加工甲种零件50个或加工乙种零件20个,1个甲种零件与2个乙种零件配成一套,30天制作最多的成套产品,若设x天制作甲种零件,则可列方程为__________________.?
2.一项工作,甲独做需18天,乙独做需24天,如果两人合做8天后,余下的工作再由甲独做x天完成,那么所列方程为____________________.?
3.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成.用1
m3钢材可以做40个A部件或240个B部件.现要用6
m3钢材制作这种仪器,应用多少钢材做A部件,多少钢材做B部件,恰好配成这种仪器多少套?
4.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需6小时,乙独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作?
四、本课小结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下:
五、布置作业
P106
T2、3、4、5
六、板书设计
七、教学反思
在教学过程中,教师在情感态度价值观方面渗透了爱国主义教育,教育学生要自立自强,为祖国和中华民族做贡献.讲新课之前教师通过例子让学生理解“刚好配套”的含义,注重训练学生解决应用问题的能力,拓展学生的思维,着重从问题中存在的等量关系上加以分析指导.注重学生创新能力的培养,活跃了学生的思维广度,方法上也注重指导,强化了寻找问题中存在的等量关系的方法,以及常用的等量关系的归纳,并加以补充练习,使学生对知识的掌握和应用得到了强化.不足之处:讲例1时应先让学生尝试独立列方程,让学生真正理解“1个螺钉配2个螺母”的含义,教师巡视检查学生完成情况后,让学生打开教材,把自己的解法和教材上的相比较,看一看过程中有什么不同之处,修改后让学生思考下面问题:你的解法与教材上是否相同?如果相同,你能否换一种设未知数的方法解决这个问题?如果不同,请你与其他同学交流讨论比较两种方法的异同点.这样进行比较,让学生在做题过程中发现问题、改正问题,能较好的培养学生的能力.
PAGE3.4 实际问题与一元一次方程
第3课时
【教学目标】
知识技能目标
1.通过对实际问题的探究,认识到生活中数据信息传递形式的多样性.
2.会阅读、理解表格,并从表格中提取关键信息.
过程性目标
掌握解决“球赛积分表问题”的一般思路,并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断.
情感态度目标
感受方程与生活的密切联系,增强应用意识.
【重点难点】
重点:能够阅读和理解表格中的信息.
难点:能够通过自主分析,从表格中提取关键信息进行解题,并掌握解决“球赛积分表问题”的一般思路.
【教学过程】
一、创设情境
我们都喜欢打篮球,你们知道篮球比赛胜一场积多少分,负一场积多少分吗?我们今天就来讨论与球赛积分有关的问题.
出示教材P103探究2,教师引导学生思考其中的两个问题,进而引出本节课.
二、探究归纳
探究点:球赛积分表问题
某次篮球联赛积分榜
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
维鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
问题1:你能从表格中了解到哪些信息?
问题2:你能从表格中看出负一场积多少分吗?
问题3:你能进一步算出胜一场积多少分吗?
提示:设胜一场积x分,根据表中其他任何一行可以列方程求解.
问题4:怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系?
问题5:某队胜场总积分能等于它负场总积分吗?
【展示点评】观察积分榜,从最下面一行数据可以看出:负一场积1分.设胜一场积x分,从表中其他任意一行可以列方程,由第一行得10x+4=24,求出x=2.
(1)如果一个队胜m场,则负(14-m)场,胜场积分为2m,负场积分为(14-m).
总积分为:2m+(14-m)=m+14
(2)假设2m=14-m,则m=.
想一想:m是什么量?它可以是分数吗?由此得到什么结论?
因为比赛场次不能为分数,所以胜场总积分不可能等于负场总积分.
【小组讨论】解决球赛积分问题,常用的等量关系有哪些?
要点归纳:(1)比赛总场数=胜场数+平场数+负场数.(2)比赛总得分=胜场得分+平场得分+负场得分(或减去负场扣分).
【典例评析】
例:某次篮球联赛共有十支队伍参赛,部分积分表如下:
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
18
14
4
32
B
18
11
7
29
C
18
9
9
27
根据表格提供的信息,你能求出胜一场、负一场各积多少分吗?
【提示:先观察C队的得分,可知胜场得分+负场得分=________,然后再设未知数列方程求解】?
想一想:某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
三、检测反馈
1.郑逸是学校的篮球明星,在一场篮球比赛中,他一人得了23分,如果他投进的2分球比3分球多4个,那么他一共投进了________个2分球.?
2.暑假里,《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛,比赛规定,胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分,勇士队参加了12场比赛,共得22分,已知这个队只输了2场,那么此队胜几场?平几场?
3.某次知识竞赛共20道题,每答对一题得8分,答错或不答要扣3分.某选手在这次竞赛中共得116分,那么他答对几道题?
四、交流反思
1.两个等量关系:比赛总场数=胜场+平场+负场;胜场得分+平场得分+负场得分=总积分(或各分量之和=总量).
2.解决有关图表信息问题.
3.解方程检验的意义.
五、布置作业
P106练习T3
六、板书设计
七、教学反思
1.在本节课的教学中,我始终把分析问题、寻找等量关系作为重点来进行教学,不断地对学生加以引导、启发,努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.我们在上课的过程中不能由于太注重启发引导,却忽视了学生的活动和交流,没有放手让学生自己去探究、去发现,使他们没有机会进行自主探索.而是一味地引导、启发,虽然在我的启发下学生也能自己解决问题,但如果让他们自己分析,相互探讨,哪怕是错了再进行纠正,学生对知识的掌握会更牢固.
2.在本节课的教学中要以师生共同探究为主线进行教学,课堂上大部分学生积极参与,表现出学习的欲望和热情,但还有一部分同学学习的积极性不高,可能是课堂对他缺乏吸引力,这是值得我们深思的,通过本节课,对怎样激发学生的学习兴趣,让学生的思维动起来有了更深刻的体会.在今后的教学中,要努力给学生充分的思考交流的时间,鼓励学生提出有价值的问题,抓住他们思维的闪光点.
PAGE3.4 实际问题与一元一次方程
第2课时
【教学目标】
知识技能目标
(1)知道了打折、利润的含义,了解了利润、售价、成本价之间的关系,学会了利润率的计算方法.
(2)对于一些实际问题,可以选设未知数,并表示其他未知量,利用一般等量关系(如公式等)构建一元一次方程求解.
(3)用方程模型可以帮助我们解决商品营销中的打折问题,数学来源于生活,服务于生活.
过程性目标
使学生进一步了解列出一元一次方程解应用题这种代数方法;培养学生的分析问题和解决问题能力.
情感态度目标
提高学生学习兴趣,使学生养成积极探索的精神和合作意识,感受数学的价值.
【重点难点】
重点:掌握商品销售中成本(进价)、售价(卖价)、标价(原价)、利润、利润率、折扣等量之间的数量关系,知道销售中的盈亏取决于售价与成本之差.
难点:能够通过自主分析,建立一元一次方程模型解决同类型问题,并掌握解此类问题的一般思路.
【教学过程】
一、创设情境
1.复习提问:应用一元一次方程分析和解决实际问题的一般流程是什么?
2.导入新课:研读教材P102探究1,教师提出:本节课主要研究商品买卖有关的问题
二、探究归纳
探究点:销售中的盈亏问题
合作探究:
连一连:正确理解销售问题中的几个重要概念
进价 也称成交价,是商店销售商品时的销售价格.
标价
商店销售商品时所赚的钱.
售价
商店购进商品时的价格.
利润
商店销售商品时标出的价格,也称定价.
填一填
1.500元的9折价是________元,x折是________元.?
2.某商品的每件销售利润是72元,进价是120元,则售价是________元.?
3.某商品利润率是13%,进价为50元,则利润是________元.?
4.某种品牌的彩电降价20%以后,每台售价为a元,则该品牌彩电每台原价应为________元.?
5.某商品按定价的八折出售,售价是12.8元,则原定售价是________元.?
想一想:以上问题中有哪些量?你能说出它们之间的关系吗?
要点归纳:
销售问题中的常用数量关系:
●售价、进价、利润的关系:商品利润=商品售价-商品进价;
●进价、利润、利润率的关系:利润率=×100%;
●标价、折扣数、商品售价的关系:商品售价=标价×;
●商品售价、进价、利润率的关系:商品售价=商品进价×(1+利润率).
议一议:
销售中存在盈亏,说一说销售盈亏中存在哪几种可能情况,并分别说明在该种情况下,售价与进价的大小.
(1)盈利:售价________进价(填“>”、“小于”或“=”),此时,利润________0(填“>”、“小于”或“=”);?
(2)亏损:售价________进价(填“>”、“小于”或“=”),此时,利润________0(填“>”、“小于”或“=”);?
(3)不盈不亏:售价________进价(填“>”、“小于”或“=”),此时,利润________0(填“>”、“小于”或“=”)?
【典例评析】
例1:解决教材P102探究1
解:设盈利25%的衣服的进价为a元(a<60)
则这件衣服赚25%a元,
即利润为25%a
设亏损25%的衣服的进价为b元
(因为是亏损,所以b>60),
则这件衣服亏25%b
元,
即利润为-25%b
因为25%a<25%b(即亏的钱多于赚的钱)
25%a+(-25%b)<0
所以两件衣服总的是亏损.
例2:一天,小明的妈妈从个体服装店买回一件衣服,回家后高兴的对小明说:“今天我捡了个大便宜,碰上服装八折优惠酬宾,平时要花400元的衣服我只花了320元就买回来了.”
一般情况下,个体服装店只要高出进价的20%
销售(公平买卖)便可盈利,但经销商们常常以高出进价的60%～100%标价,然后进行打折销售,或者与顾客讨价还价.
(2)在第(1)小题的前提下,小明的妈妈真的捡便宜了吗?若没有,请你帮她计算一下,她比在公平买卖(加价20%)时多付出______元钱.?
方法归纳:利用一元一次方程解决销售问题时,熟练、准确地运用销售问题中常用的等量关系是解题关键.
三、检测反馈
基础:
1.一件商品的进价为45元,利润为10元,则售价应为________元.?
2.一件衣服的售价为130元,进价为80元,则利润为________元.?
3.一件商品的标价为50元,现以八折销售,售价为________元;如果进价为32元,则它的利润为________元,利润率是________.?
综合:
4.某种商品的进货价为每件a元,零售价为每件90元,若商品按八五折出售,仍可获利10%,则下列方程正确的是
( )
A.85%a=10%×90
B.90×85%×10%=a
C.85%(90-a)=10%
D.(1+10%)a=90×85%
5.两件商品都卖120元,其中一件赢利25%,另一件亏本20%,则两件商品卖出
后
( )
A.赢利16元
B.亏本16元
C.赢利6元
D.亏本6元
6.某种商品因换季准备打折出售,如果按原定价的七五折出售,将赔25元,而按原定价的九折出售,将赚20元,则这种商品的原价是
( )
A.500元
B.400元
C.300元
D.200元
拓展:
7.某商场将某种商品按原价的8折出售,此时商品的利润率是10%.已知这种商品的进价为1
800元,那么这种商品的原价是多少?
四、本课小结
五、布置作业
P107T11
六、板书设计
七、教学反思
这堂课在学生进行商场调查,有一定感性认识的基础上,从最简单的问题着手,让学生理解打折销售中常见的名称及相互关系,为后续的学习打下坚实的基础.通过适当改变实际背景让学生从多方面体会打折销售中的各种数量关系,逐步领悟运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤,教学效果较好.
教学过程中学生通过体验商业活动、提出数学问题、解决实际问题,感受到数学来源于生活、数学服务于生活,数学与社会生活的密切联系.教学过程各环节环环相扣、层层递进,每一个教学环节都是下一个环节的有力铺垫.
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