北师大版九年级数学上册：2.3.1 公式法求解一元二次方程同步练习（Word版，附答案解析）

2.3.1
公式法
一、选择题
1.用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是(　　)
A.a=3,b=2,c=3
B.a=-3,b=2,c=3
C.a=3,b=2,c=-3
D.a=3,b=-2,c=3
2.用公式法解方程x2-4x=2,其中b2-4ac的值是
(　　)
A.16
B.24
C.8
D.4
3.一元二次方程2x2-x-1=0的根的情况是
(　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
4.[2020·黔西南州]
已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是(　　)
A.m<2
B.m≤2
C.m<2且m≠1
D.m≤2且m≠1
5.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是
(　　)
A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x=-1
D.有两个相等的实数根
二、填空题
6.已知一元二次方程x2-3x-a=0,当a=-6时,方程的根的情况为　　　　　　　;若方程有两个相等的实数根,则a=　　　　.?
7.一元二次方程3x2=4-2x的解是　　　　　　.?
8.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是,且b2-4ac=0,则此方程的另一个根是　　　　.?
9.(1)关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是　　　　;?
(2)若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0无实数根,则k的取值范围是　　　　.?
10.在实数范围内定义一种运算“
”,使a
b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)
5=0的解为　.?
三、解答题
11.不解方程,判断下列方程的根的情况:
(1)2x2-3x-=0;
(2)16x2-24x+9=0;
(3)x2-4x+9=0;
(4)3x2+10=2x2+8x.
12.用公式法解下列方程:
(1)x2-5x+4=0;　　(2)x2+3x=0;
(3)2x2-3x+=0;　
(4)2x2-3x+3=0;
(5)0.3y2+y=0.8;
(6)6x2-11x+4=2x-2;
(7)(3x+2)(x+3)=x+14.
13.已知关于x的一元二次方程mx2-(m-2)x-2=0(m≠0).
(1)求证:方程一定有实数根;
(2)若此方程有两个不相等的整数根,求整数m的值.
14.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC的三边长.
(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
15.[分类讨论题]
已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+2k=0.
(1)试说明无论k取何值,这个方程一定有实数根;
(2)已知等腰三角形ABC的一边a为1,若另两边b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
详解详析
1.D
2.B　[解析]
方程x2-4x=2可化为x2-4x-2=0.
∵a=1,b=-4,c=-2,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=16+8=24.
故选B.
3.A　[解析]
∵b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9>0,∴该一元二次方程有两个不相等的实数根.故选A.
4.D　[解析]
∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,
∴
解得m≤2且m≠1.故选D.
5.A　[解析]
∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,
∴(-1)2-4+c=0,
解得c=3,
故原方程中c=5,
则b2-4ac=16-4×1×5=-4<0,
所以原方程的根的情况是没有实数根.
故选A.
6.无实数根　-
7.x1=,x2=
[解析]
3x2=4-2x,3x2+2x-4=0,
则b2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0,
故x=,
则x1=,x2=.
故答案为x1=,x2=.
8.　[解析]
∵b2-4ac=0,∴一元二次方程有两个相等的实数根,∴此方程的另一个根为.
9.(1)0　(2)k<-1
[解析]
(1)一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=4+4m>0,∴m>-1.故答案为0.
(2)由题意可知Δ=4+4k<0,∴k<-1.故答案为k<-1.
10.x1=,x2=
11.解:(1)2x2-3x-=0,
∵Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×-=21>0,∴方程有两个不相等的实数根.
(2)16x2-24x+9=0,
∵Δ=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=0,
∴方程有两个相等的实数根.
(3)x2-4x+9=0,
∵Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×9=-4<0,
∴方程没有实数根.
(4)3x2+10=2x2+8x,即x2-8x+10=0,
∵Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
12.解:(1)∵a=1,b=-5,c=4,
∴Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×4=9>0,
∴x==,∴x1=1,x2=4.
(2)∵a=1,b=3,c=0,
∴Δ=b2-4ac=32-4×1×0=9>0,
∴x=,∴x1=0,x2=-3.
(3)∵a=2,b=-3,c=,
∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×=9-9=0,
∴x=,∴x1=x2=.
(4)∵a=2,b=-3,c=3,
∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×3=3>0,
∴x==,
∴x1=,x2=.
(5)移项,得0.3y2+y-0.8=0.
∵a=0.3,b=1,c=-0.8,
∴Δ=b2-4ac=12-4×0.3×(-0.8)=1.96>0,
∴y==,
∴y1=,y2=-4.
(6)原方程可化为6x2-13x+6=0.
∵a=6,b=-13,c=6,
∴Δ=b2-4ac=(-13)2-4×6×6=25>0,
∴x==,
∴x1=,x2=.
(7)原方程可化为3x2+10x-8=0,
∵a=3,b=10,c=-8,
∴Δ=b2-4ac=102-4×3×(-8)=196>0,
∴x=,
即x=,∴x1=,x2=-4.
13.解:(1)证明:∵m≠0,
Δ=[-(m-2)]2-4m×(-2)=m2-4m+4+8m=m2+4m+4=(m+2)2≥0,
∴方程一定有实数根.
(2)由(1)易得x=,
∴x1=1,x2=-,
当整数m取±1,±2时,x2为整数.
∵方程有两个不相等的整数根,
∴-≠1,∴m≠-2,∴整数m的值为-1,1,2.
14.解:(1)△ABC是直角三角形.
理由:∵原方程有两个相等的实数根,
∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,
∴4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,
故△ABC是直角三角形.
(2)∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c.
∵(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,
∴2ax2+2ax=0,而a≠0,
∴x2+x=0,解得x1=0,x2=-1.
15.[解析]
(1)整理根的判别式,得到它是非负数即可.
(2)分b=c,b=a两种情况.
解:(1)∵Δ=[-(k+2)]2-8k=(k-2)2≥0,
∴无论k取何值,这个方程一定有实数根.
(2)①若b=c,则Δ=0,
即(k-2)2=0,∴k=2,
∴方程可化为x2-4x+4=0,
∴x1=x2=2,则b=c=2,
∴△ABC的周长为5;
②若b=a=1(或c=a=1),
则1是方程x2-(k+2)x+2k=0的一个根.
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0,
得1-(k+2)+2k=0,
解得k=1,
∴原方程可化为x2-3x+2=0,
解得x1=1,x2=2,
∴a=b=1,c=2(或a=c=1,b=2),
此时不满足三角形的三边关系,舍去.
综上所述,△ABC的周长为5.