北师大版九年级数学上册：2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习（Word版，附答案解析）

2.5
一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题
1.设方程x2-3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为
(　　)
A.3
B.-
C.
D.-2
2.已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是
(　　)
A.x1≠x2
B.x1+x2>0
C.x1·x2>0
D.x1<0,x2<0
3.已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程可以是
(　　)
A.x2-7x+12=0
B.x2+7x+12=0
C.x2+7x-12=0
D.x2-7x-12=0
4.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,则k的值为
(　　)
A.0或2
B.-2或2
C.-2
D.2
二、填空题
5.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为1,则这个一元二次方程的另一个根为　　　　.?
6.若关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负,则实数m的取值范围是　　　　.?
7.若x1,x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根,则代数式-2x1+2x2的值等于　　　　.?
三、解答题
8.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:
(1)x2-3x-11=0;　　(2)3x2-1=2x2-5x.
9.已知方程3x2-x-1=0的两根分别为α,β,求下列各式的值:
(1)α2+β2;　　　　(2)+.
10.已知关于x的一元二次方程x2-(t-1)x+t-2=0.
(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)当t为何值时,方程的两个根互为相反数?请说明理由.
11.
已知一直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0的两个不相等的实数根,如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长.
详解详析
1.A　[解析]
由x2-3x+2=0可知,其二次项系数a=1,一次项系数b=-3,
由根与系数的关系,得x1+x2=-=-=3.
故选A.
2.A　[解析]
A项,∵Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,∴x1≠x2,A项正确.
B项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1+x2=a.
∵a的正负不确定,
∴B项不一定正确.
C项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1·x2=-2<0,C项错误.
D项,∵x1·x2=-2,
∴x1,x2异号,D项错误.
故选A.
3.A
4.D　[解析]
∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,
∴x1+x2=k-1,x1x2=-k+2.
∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,即(x1+x2)2-2x1x2-4=-3,
∴(k-1)2+2k-4-4=-3,解得k=±2.
当k=2时,原方程为x2-x=0,
∴Δ=(-1)2-4×1×0=1>0,
∴该方程有两个不相等的实数根,
∴k=2符合题意;
当k=-2时,原方程为x2+3x+4=0,
∴Δ=32-4×1×4=-7<0,
∴该方程无解,
∴k=-2不合题意,舍去.
故k=2.
故选D.
5.-2　[解析]
∵a=1,b=-k,c=-2,
∴x1·x2==-2.
∵关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为1,
∴另一个根为-2÷1=-2.
故答案为-2.
6.
m>　[解析]
设x1,x2为关于x的方程x2+2x-2m+1=0的两个实数根.由题意,得
即
解得m>.
故答案为m>.
7.2028　[解析]
∵x1,x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根,
∴x1+x2=4,-4x1-2020=0,
即-4x1=2020,
则原式=-4x1+2x1+2x2=-4x1+2(x1+x2)=2020+2×4=2020+8=2028.
故答案为2028.
8.解:(1)a=1,b=-3,c=-11,
Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-11)=53>0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个根为x1,x2,
根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=-11.
(2)原方程可变形为x2+5x-1=0.
a=1,b=5,c=-1,
Δ=b2-4ac=52-4×1×(-1)=29>0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个根为x1,x2,根据根与系数的关系得x1+x2=-5,x1x2=-1.
9.解:由根与系数的关系,得α+β=,αβ=-.
(1)α2+β2=(α+β)2-2αβ=2-2×-=+=.
(2)+===-1.
10.解:(1)证明:∵在方程x2-(t-1)x+t-2=0中,Δ=[-(t-1)]2-4×1×(t-2)=t2-6t+9=(t-3)2≥0,
∴对于任意实数t,方程都有实数根.
(2)当t=1时,方程的两个根互为相反数.
理由:设方程的两个根分别为m,n.
∵方程的两个根互为相反数,
∴m+n=t-1=0,解得t=1.
∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.
11.[解析]
首先根据根的判别式求出k的取值范围,再根据根与系数的关系得到x1+x2=1-2k;x1x2=k2+3,再根据勾股定理得到+=52,接着利用完全平方公式变形得到(x1+x2)2-2x1x2=25,则(1-2k)2-2(k2+3)=25,求出k的值,进而求出两条直角边长.
解:∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,
即(2k-1)2-4(k2+3)>0,
∴-4k-11>0,∴k<-.
令方程的两根分别为x1,x2,
则x1+x2=1-2k,x1x2=k2+3.
∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边长,且此直角三角形的斜边长为5,
∴+=52,
∴(x1+x2)2-2x1x2=25,
即(1-2k)2-2(k2+3)=25,
∴k2-2k-15=0,解得k1=5,k2=-3.
∵k<-,∴k=-3.
把k=-3代入原方程,得x2-7x+12=0,
解得x1=3,x2=4,
∴直角三角形的两条直角边长分别为3和4.