北师大版九年级数学上册：2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用(一) 同步练习（Word版，附答案解析）

2.6.1
一元二次方程在实际问题中的应用(一)
一、选择题
1.一个矩形的长比宽多2,面积是99,则矩形的两边长分别为
(　　)
A.9和7
B.11和9
C.1+,-1+
D.1+3,-1+3
2.如图K-17-1,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2
m,另一边减少了3
m,剩余一块面积为20
m2的矩形空地,则原正方形空地的边长是
(　　)
　图K-17-1
A.7
m
B.8
m
C.9
m
D.10
m
3.如图K-17-2,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8
cm,BC=6
cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1
cm/s,点Q的速度为2
cm/s,点Q移动到点C后停止移动,点P也随之停止移动.下列运动时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15
cm2的是
(　　)
图K-17-2
A.2
s
B.3
s
C.4
s
D.5
s
二、填空题
4.如图K-17-3,某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地,计划在该空地上修筑两条宽均为2
m且互相垂直的小路,余下的四块小矩形空地铺成草坪,如果四块草坪的面积之和为312
m2,请求出原来大矩形空地的长和宽.
图K-17-3
(1)请找出上述问题中的等量关系:　　　　　　　　　　　　　　　　;?
(2)若设大矩形空地的宽为x
m,可列出方程为　　　　　　　　,方程的解为　　　　　　　,故原来大矩形空地的长和宽分别为　　　　　.?
5.[2020·山西]
如图K-17-4是一张长12
cm,宽10
cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24
cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为　　　　cm.?
图K-17-4
三、解答题
6.如图K-17-5,某海关缉私艇在点O处发现在正北方向相距45海里的点A处有一艘可疑船只,测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行,随即调整方向,以75海里/时的速度准备将其在点B处拦截,求需要经过多长时间,才能将其拦截.
图K-17-5
7.如图K-17-6,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车处的一面靠墙(墙长22
m,靠墙一边开一道2
m宽的门),另外三面用90
m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700
m2,求这个长方形存车处的长和宽.
图K-17-6
8.如图K-17-7,在矩形ABCD中,AB=6
cm,BC=8
cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1
cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的?
图K-17-7
9.如图K-17-8,一根木棍OE垂直平分柱子AB,AB=200
cm,OE=260
cm,一只老鼠C由柱子底端点A以2
cm/s的速度向顶端点B爬行,同时,另一只老鼠D由点O以3
cm/s的速度沿木棍OE爬行,当老鼠C在线段OA上时,是否存在某一时刻,使两只老鼠与点O组成的三角形的面积为1800
cm2?若存在,求出它们爬行的时间;若不存在,请说明理由.
图K-17-8
10.如图K-17-9,在矩形ABCD中,AB=6
cm,BC=12
cm,点P从点A沿边AB向点B以1
cm/s的速度移动;同时,点Q从点B沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动,当一点到达终点时,另一点也随之停止移动.求:
(1)几秒时△PBQ的面积等于8
cm2;
(2)几秒时△PDQ的面积等于28
cm2;
(3)几秒时PQ⊥DQ.
图K-17-9
详解详析
1.B　[解析]
设矩形的长为x,则宽为(x-2),则x(x-2)=99,解得x1=11,x2=-9(舍去).
则x-2=9.故选B.
2.A　[解析]
设原正方形空地的边长为x
m.依题意有(x-3)(x-2)=20,解得x1=7,x2=-2(不合题意,舍去),故原正方形空地的边长为7
m.
3.B　[解析]
设动点P,Q移动t
s后,能使△PBQ的面积为15
cm2,
则BP=(8-t)cm,BQ=2t
cm.
由三角形的面积计算公式列方程得
×(8-t)×2t=15,
解得t1=3,t2=5(当t=5时,BQ=10,不合题意,舍去).
∴动点P,Q移动3
s时,能使△PBQ的面积为15
cm2.
故选B.
4.(1)原矩形空地的面积-小路的面积=草坪的面积
(2)x·2x-(x·2+2x·2-2×2)=312　x1=14,x2=-11(不合题意,舍去)
28
m,14
m
5.2　[解析]
设剪去的正方形的边长为x
cm,则长方体铁盒的底面长为(10-2x)
cm,宽为(6-x)
cm.根据题意,得(10-2x)(6-x)=24,
整理得x2-11x+18=0,
解得x=2或x=9(舍去).
故剪去的正方形的边长为2
cm.
故答案为2.
6.解:设需要经过x小时,则AB=60x海里,OB=75x海里.
由题意,得(75x)2=(60x)2+452,
解得x1=1,x2=-1(舍去).
答:需要经过1小时.
7.解:设长方形平行于墙的一边的长为x
m.
依题意,得x·=700,
解得x1=70(不合题意,舍去),x2=20.
当x=20时,==35.
所以,这个长方形存车处的长和宽分别是35
m和20
m.
8.解:设x
s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的.
∵点P从点B出发沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1
cm/s的速度移动,
∴CP=BC-BP=(8-2x)
cm,CQ=x
cm,
∴S△PCQ=CP·CQ=(8-2x)·x,
∴五边形ABPQD的面积=6×8-(8-2x)·x.
由题意可得6×8-(8-2x)·x=(8-2x)·x×11,
解得x1=x2=2,
∴2
s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的.
9.解:存在.
因为OE垂直平分AB,AB=200
cm,
所以OA=100
cm.
当老鼠C在OA上运动时,设两只老鼠同时爬行x
s时,两只老鼠与点O组成的△COD的面积为1800
cm2,
则AC=2x
cm,OC=(100-2x)cm,OD=3x
cm.
由S△COD=OC·OD,
得(100-2x)·3x=1800.
整理,得x2-50x+600=0.
解得x1=20,x2=30.
当x=20时,2x=40<100;
当x=30时,2x=60<100.
所以x=20和x=30均符合题意.
所以当两只老鼠同时爬行20
s或30
s时,它们与点O组成的三角形的面积为1800
cm2.
10.解:(1)设x
s时△PBQ的面积等于8
cm2,
则AP=x
cm,QB=2x
cm,
∴PB=(6-x)
cm,
∴×(6-x)×2x=8,解得x1=2,x2=4.
答:2
s或4
s时△PBQ的面积等于8
cm2.
(2)设出发y
s时△PDQ的面积等于28
cm2.
∵S矩形ABCD-S△APD-S△BPQ-S△CDQ=S△PDQ,
∴12×6-×12y-×2y(6-y)-×6×(12-2y)=28,
整理得y2-6y+8=0,解得y1=2,y2=4.
答:2
s或4
s时△PDQ的面积等于28
cm2.
(3)设t
s时PQ⊥DQ,此时∠DQP为直角,
则AP=t
cm,QB=2t
cm,PB=(6-t)cm,CQ=(12-2t)cm,
PD2=PQ2+DQ2,
即122+t2=(6-t)2+(2t)2+62+(12-2t)2,
∴2t2-15t+18=0,
解得t1=,t2=6,
答:
s或6
s时PQ⊥DQ.