北师大版数学九年级上册：第二章 一元二次方程常见的四种解法（Word版，含答案）

第二章
一元二次方程常见的四种解法
?　解法一　直接开平方法
1.用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为
(　　)
A.x2-5=5
B.-3x2=0
C.x2+4=0
D.(x+1)2=0
2.若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为　　　　(写出一个即可).?
3.若(x+y-1)2=4,则x+y=　　　　.?
4.解下列方程:
(1)(x-1)2=4;
(2)(4x+1)2=(2x-5)2.
?　解法二　配方法
5.[2020·泰安]
将一元二次方程x2-8x-5=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式,则a,b的值分别是(　　)
A.-4,21
B.-4,11
C.4,21
D.-8,69
6.用配方法解下列方程:
(1)x2+4x-2=0;
(2)x2-6x+3=0;
(3)(2x+3)(x-6)=16.
?　解法三　公式法
7.用公式法解下列方程:
(1)4x2-3x+1=0;
(2)x2-7x=-5;
(3)y(y-3)=1.
?　解法四　因式分解法
8.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是
(　　)
A.x=-1
B.x=0
C.x1=1,x2=2
D.x1=-1,x2=2
9.用因式分解法解下列方程:
(1)3x(2x+1)=4x+2;
(2)4x2-(3x+1)2=0.
10.用适当的方法解下列方程:
(1)x2-4x-6=0;
(2)x2-5x+2=0;
(3)y(y-8)=-16;
(4)-3x+x2=-2;
(5)4(x+1)2=9(x-2)2;
(6)(2x-1)(x+1)=(3x+1)(x+1).
11.小欢和小樱一起参加社区的文艺会演,在会演前,主持人刘老师让她们自己确定出场顺序,可她们俩谁都想先出场,最后主持人刘老师想了一个主意(如图3-ZT-1所示).
　解方程:3(x-2)2=x-2.
　解:两边同除以(x-2),得
　3(x-2)=1,即3x-6=1.
　所以x=.
图3-ZT-1
12.阅读材料:
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看成一个整体,然后设x2-1=y,则原方程化为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,∴x2=2,∴x=±;当y=4时,x2-1=4,
∴x2=5,∴x=±,∴原方程的根为x1=,x2=-,x3=,x4=-.
在由原方程得到方程①的解题过程中,利用换元法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想,
请利用以上方法解方程:
(1)x4-x2-6=0;
(2)(x2+3)2-9(x2+3)+20=0.
详解详析
1.C　[解析]
A项,方程可化为x2=10.因为10>0,所以该方程有解,故A项不符合题意;B项,方程可化为x2=0,所以该方程有解,故B项不符合题意;C项,方程可化为x2=-4.因为-4<0,所以该方程无解,故C项符合题意;D项,方程(x+1)2=0有解,故D项不符合题意.故选C.
2.5　(答案不唯一,只要c≥0即可)
3.3或-1　[解析]
两边开方得x+y-1=±2,∴x+y=3或x+y=-1.故答案为3或-1.
4.解:(1)(x-1)2=4,x-1=±2,x1=3,x2=-1.
(2)两边同时开平方,得4x+1=2x-5或4x+1=5-2x,解得x1=-3,x2=.
5.A　[解析]
∵x2-8x-5=0,
∴x2-8x=5,
则x2-8x+16=5+16,即(x-4)2=21,
∴a=-4,b=21.
故选A.
6.解:(1)移项,得x2+4x=2.
配方,得x2+4x+4=2+4,
即(x+2)2=6,
∴x+2=±,
∴x1=-2+,x2=-2-.
(2)原方程可化为x2-24x+12=0.
(x-12)2=132.
x-12=±2.
∴x1=2+12,x2=-2+12.
(3)原方程化为一般形式为2x2-9x-34=0,
x2-x=17,
x2-x+=17+,
x-2=,
x-=±,
所以x1=,x2=.
7.解:(1)∵a=4,b=-3,c=1,
∴b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0,
∴原方程无实数根.
(2)原方程可化为x2-7x+5=0,
∴a=1,b=-7,c=5,
b2-4ac=(-7)2-4×1×5=29>0,
∴x==,
∴x1=,x2=.
(3)原方程可化为y2-3y-1=0,
∴a=1,b=-3,c=-1,
b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=13>0,
∴y==,
∴y1=,y2=.
8.D　[解析]
移项,得x(x-2)+x-2=0.
左边分解因式,得(x+1)(x-2)=0.
∴x+1=0或x-2=0,
解得x1=-1,x2=2.故选D.
9.解:(1)原方程可化为3x(2x+1)-2(2x+1)=0,
(2x+1)(3x-2)=0,解得x1=-,x2=.
(2)原方程可化为(2x+3x+1)(2x-3x-1)=0,
5x+1=0或-x-1=0,
∴x1=-,x2=-1.
10.解:(1)移项,得x2-4x=6.
配方,得x2-4x+4=6+4,即(x-2)2=10.
两边开平方,得x-2=±.
∴x1=2+,x2=2-.
(2)∵a=1,b=-5,c=2,
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×2=17.
∴x=.
∴x1=,x2=.
(3)去括号,得y2-8y=-16.
移项,得y2-8y+16=0,
即(y-4)2=0.
∴y1=y2=4.
(4)原方程可化为x2-6x=-4.
配方,得x2-6x+9=-4+9,
即(x-3)2=5.
两边开平方,得x-3=±.
∴x1=3+,x2=3-.
(5)4(x+1)2-9(x-2)2=0.
[2(x+1)+3(x-2)][2(x+1)-3(x-2)]=0.
∴(5x-4)(-x+8)=0.
∴x1=,x2=8.
(6)(x+1)(2x-1-3x-1)=0,
(x+1)(-x-2)=0,
∴x1=-1,x2=-2.
11.解:不正确.正确解法:3(x-2)2=x-2.
3(x-2)2-(x-2)=0.
(x-2)[3(x-2)-1]=0,
即(x-2)(3x-7)=0,解得x1=2,x2=.
12.解:(1)令t=x2,∴t≥0,
∴原方程可化为t2-t-6=0,
即(t-3)(t+2)=0,
∴t=3或t=-2(舍去),
∴x2=3,
∴原方程的根为x1=,x2=-.
(2)令t=x2+3,∴t≥3,
∴原方程可化为t2-9t+20=0,
即(t-4)(t-5)=0,∴t=4或t=5.
当t=4时,x2+3=4,∴x=±1;
当t=5时,x2+3=5,∴x=±.
综上所述,原方程的根为x1=1,x2=-1,x3=,x4=-.