2.2 命题与证明
第3课时
【教学目标】
知识与技能
1.了解证明的含义.
2.体验、理解证明的必要性.会按规定格式证明简单命题.
3.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.
过程性目标
通过学生的独立思考、交流合作,让学生经历问题解决的过程,体验解决问题策略的多样性.
情感态度目标
培养学生用反证法简单推理的技能,从而发展学生的思维能力.
【重点难点】
重点:证明的含义和表述格式.
难点:理解反证法的推理依据及方法.
【教学过程】
一、创设情景
中国古代有一个成语故事——自相矛盾,哪一位同学能讲述这个故事呢?这个故事蕴含什么道理?
这个故事告诉我们要实事求是,不要夸大其辞.虽然这个故事是贬义的,但在数学中,我们常常借鉴这种“以子之矛,攻子之盾”的做法来证明数学命题.
二、探究归纳
活动一、简单几何命题的证明
引导学生分组完成教材做一做、动脑筋、例2.
讨论交流证明命题的一般步骤.
总结:1.首先分清命题的条件和结论.
2.根据题意,画出图形.
3.结合图形,写出已知、求证.
4.写出证明的过程.
活动二、反证法
出示问题:A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎,为什么?(分析:假设C没有撒谎,则C话为真.那么A话为假且B话为假,由A话为假,知B话为真.这与B话为假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.)
让学生感受到了反证法处处可在,也从例子中更加熟悉反证法的步骤.
接着给出问题:通过以上几个练习,大家已经初步体会到反证法的作用,你能不能总结一下应用反证法的步骤?
经过小组讨论学生不难总结其步骤,教师对其不完整的地方给以补充.
总结:反证法的基本步骤:
1.反设——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真.
2.归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果.
3.存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.
三、交流反思
1.通过本节课的学习,探索出一般证明和反证法的步骤.
2.通过本节课探索出命题的一般证明方法和反证法.
四、检测反馈
1.如图,有三个论断①∠1=∠2;②∠B=∠D;③∠A=∠C,请从中任选两个作为条件,另一个作为结论构成一个命题,并证明该命题的正确性.
2.(用反证法证明)已知直线a∥c,b∥c,求证:a∥b.
(1)__________________.?
(2)__________________.?
(3)__________________.?
五、布置作业:P58T1-3
六、板书设计
2.2命题与证明(第3课时)
证明与图形有关命题的一般步骤
1.分清条件和结论.2.画出图形.3.写已知、求证.4.证明
反证法及步骤
1.否定结论.2.推出矛盾.3.肯定结论
七、教学反思
观察、操作、实验、猜测、证明是认识事物的重要手段.在研究反证法时从实例出发,结合学生的认知规律和生活经验,改造和充实所教的内容,尤其是故事的引入,体现了学数学、用数学的思想,注重对学生的情感态度和价值观的教育.努力使课堂教学充满趣味性、挑战性,让学生感知数学来源于生活,同时又服务于生活.
优点:本节课师生围绕情景——问题——解决的思路,步步深入地经历了问题解决的过程.课堂气氛自始至终和谐、生动、自然,既有学生的独立思考,更有师生间的相互交流、激烈的讨论.把学习的主动权交给学生,让学生学会参与、学会发现、学会应用、学会创新.
缺点:本节课教学设计注重开发学生的思维能力.但个别学生对反证法还存在疑惑,不能很好的假设结论的反面成立,根据命题的条件或有关的基本事实、定理等结论推出矛盾,以后要结合实例,让学生认真体会,真正认识到问题所在,加强训练.
PAGE2.2 命题与证明
第1课时
【教学目标】
知识与技能
1.了解命题、定义的含义.
2.对命题的概念有正确的理解.
3.会区分命题的条件和结论.
过程性目标
在学生操作、观察、思考和交流的过程中,丰富学生的生活,激发学生进一步探索知识的热情.
情感态度目标
初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.
【重点难点】
重点:找出命题的条件(题设)和结论.
难点:命题概念的理解.
【教学过程】
一、创设情景
电视里正在播放精彩的乒乓球比赛,奶奶边看比赛边说:“打得好!打得好!可惜播音员不识数……”
孙子听了不解地问:“人家怎么不识数?”
奶奶说:“明明是两个人打球,他却说是单打,明明是四个人打球,他却说是双打,你说他识数不识数?”
在日常生活中,为了交流方便,我们要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给它们下定义.这样就不会说播音员不识数了,对吧?
二、探究归纳
活动一:定义.
引导学生总结定义的含义,体会感受定义的必要性,并设置擂台赛比较哪位同学说出的数学定义多.
活动二:命题及命题的组成.
出示语句,让学生判断哪些是对事情作出了判断.
总结:命题是对某一事情作出判断的语句,是由条件和结论两部分组成的.
引导学生找出命题的条件和结论,并试着改写成“如果……,那么……”的形式.小组合作交流探索命题的条件和结论不明显的命题.
活动三:互逆命题.
教师出示互逆命题,引导学生分析互逆命题的条件和结论,交流二者的条件和结论间的关系.
归纳总结:互逆命题的含义,并强调二者的条件和结论互换,每个命题都有逆命题.
三、交流反思
1.通过本节课的学习,体会合作学习的重要性.
2.通过本节课熟悉定义、命题的概念及组成和互逆命题的含义.
四、检测反馈
1.写出下列名称的定义.
(1)三角形. (2)分式.
2.下列命题的条件是什么?结论是什么?
(1)两直线平行,同位角相等.
(2)若∠A=∠B,∠B=∠C,则∠A=∠C.
(3)不等式的两边同乘一个负数,不等号方向改变.
3.把下列命题写成“如果……,那么……”的形式,并说出它们的条件和结论.
(1)对顶角相等.
(2)a>b,b>c,a>c.
(3)菱形的四条边都相等.
(4)全等三角形的面积相等.
五、布置作业:P52T1-3
六、板书设计
2.2命题与证明(第1课时)
定义
了解定义、命题、互逆命题的含义
命题的概念及组成
会判断命题的条件和结论
互逆命题
条件与结论的互换
七、教学反思
根据大纲的要求和本节课的目标定位,以及知识的重难点分布,考虑到学生的可接受范围,本节课教学处理好“四个关系”.
一、定义与命题的关系
定义和命题之间存在一定的逻辑关系,考虑到学生的理解、接受能力,教学上我们进行了适当的处理.
从定义和命题所共有的判断功能,切入命题的教学,自然在命题的定义的生成过程中,让学生尝试自主定义,强化命题的特征,体现了定义的价值.使定义和命题的学习相辅相成.
二、条件与结论的关系
本节课在条件和结论的学习之前,教学上进行了铺垫,即对命题的相应位置进行置换,使学生初步感受到命题是有“固定结构”的,形成命题是由“条件”“结论”两部分构成的“心理印象”.有了这样的铺垫,对于某些命题的改写,让学生从命题的结构特征方面来思考,能有效地帮助突破命题的改写难点.
优点:本节课是一节概念课,从内容分析,学生不易领悟.在课堂教学组织上,更多的注意到了老师和学生的心理距离问题和情感基础问题.通过老师的情感投入、积极的鼓励、激情的调动.激励学生主动地参与,在学生为主体的讨论和学习中,使学生能轻松学习,愉快交流,并在此情感基础上提高课堂教学的有效性.
缺点:在教学中要抓住定义的必要性、命题的形成过程以及它们的推理价值,来突出和强化这种关系.在整个教学过程中,要给学生留出充足的探索空间,让学生自主地进行探索与交流,从而掌握本节课的知识.
PAGE2.2 命题与证明
第2课时
【教学目标】
知识与技能
1.理解真命题和假命题的含义.
2.会判断一个命题的真假,会举反例判断一个命题是假命题.
3.了解基本事实和定理的概念,并理解互逆定理.
过程性目标
学生在真假命题的判断,定理的认识过程中了解类比、归纳、分类讨论等思想方法.
情感态度目标
学生经历观察、推理等活动,类比、归纳得出真假命题的判断方法,并在这一过程中获得一些探索教学知识的基本经验和方法,形成基本的教学素养,从而提高对数学学习的积极性.
【重点难点】
重点:真、假命题的概念及判断方法.
难点:会举反例说明命题是假命题.
【教学过程】
一、创设情景
判断下面命题是否正确:
1.同角的余角相等.
2.异号两数相加得零.
3.在三角形中,两边之和小于第三边.
4.鸦片战争是中国近代史的开端.
5.平行于同一条直线的两直线平行.
通过已经学习的知识我们知道命题1,4,5正确,命题2,3错误.
二、探究归纳
可以得到:正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.
让学生阅读教材并完成以下问题:
1.什么是证明?
2.什么是“举反例”?
3.什么是公理(基本事实)?
4.什么是定理、推论、逆定理和互逆定理?
5.说出判定真命题的依据?如何判定命题为假命题?
学生分组讨论交流存在的问题,类比归纳:要判断一个命题是真命题,可以用逻辑推理的方法加以论证;而要判断一个命题是假命题,只要举出一个例子,说明该命题不成立,即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了,在数学中,这种方法称为“举反例”.
三、交流反思
1.通过这节课的学习体验自主、合作学习的重要性.
2.通过本节课熟悉公理、定理、推论、互逆定理等概念,并能正确判断命题的真假.
四、检测反馈
1.请找出下列命题是正确的命题.
(1)若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互为余角.
(2)若∠A+∠B=180°,则∠A与∠B互为邻补角.
(3)同角的补角相等.
(4)由两条射线组成的图形叫做角.
(5)120°的角和60°的角都是补角.
2.判断下列命题的真假,若是假命题,举出反例.
(1)若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
(2)若a+b=0,则ab=0.
(3)若ab=0,则a+b=0.
五、布置作业:P55练习T1-3
六、板书设计
2.2命题与证明(第2课时)
真、假命题
理解真、假命题的概念
基本事实
公认的真命题
证明与举反例
举例符合命题的条件、但不符合命题的结论
互逆定理
并不是任何一个定理都有逆定理
七、教学反思
自主、合作、交流是本节的主要学习方法.本节课先让学生根据已学知识对命题的正确与否作出判断,归纳出真、假命题,进而自己阅读教材,小组合作交流归纳总结基本事实与定理等相关概念.
优点:先将课文内容分段自学,找出每一部分的关键的知识点,对概念加以理解.然后学生进行深度的理解和学习,这样,学生就能够深刻地掌握所学知识,并将它纳入自己的知识体系.在整节课的过程中,学生们的学习态度积极,热情较高,也能够配合老师积极回答问题,自觉主动地进行交流和讨论,对于自己不理解的问题能够大胆地提出质疑.充分发挥了学生的主动性,真正的体现学生是学习的主人.
缺点:学生对于课本的理解,仅仅局限在抽象的概念上,对于一些具体的问题,不能灵活解决.
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