2.5 全等三角形
第4课时
【教学目标】
知识与技能
理解“角角边”判定三角形全等的方法.
过程性目标
经历探索“角角边”判定三角形全等的过程,能运用已学三角形判定法解决实际问题.
情感态度目标
培养良好的几何推理意识,发展思维,感悟全等三角形的应用价值.
【重点难点】
重点:应用“角角边”判定三角形全等.
难点:学会综合法解决几何推理问题.
【教学过程】
一、创设情景
叙述判定两个三角形全等的基本事实:SAS、ASA的内容.
思考:如图,如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否一定全等?
二、探究归纳
可以得到:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等.
探索过程:设置问题:
在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?
思考:(1)∠C与∠F的关系?
(2)利用ASA判定△ABC与△DEF全等.
让学生分组讨论交流,在合作学习中解决问题.
结论:角角边(AAS)定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
三、交流反思
1.通过本节课的学习,掌握观察、合作学习的一般步骤.
2.通过本节课的探索出全等三角形的判定定理:角角边(AAS).
四、检测反馈
1.已知:如图AC,BD相交于点O,∠A=∠D,AB=CD,求证:△AOB≌△DOC.
2.如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,E,F为直线AD上的点,连接BE,CF,
且BE∥CF.求证:DE=DF.
五、布置作业:P82T1
六、板书设计
2.5全等三角形(第4课时)
角角边(AAS)定理
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
应用
七、教学反思
本节教学设计整体化,内容逻辑化.在课题的引入方面,通过复习回顾,问题展示导入新课.既复习了全等三角形的判定方法,又很好地过渡到新问题上来.把知识不知不觉地体现出来,学得自然新鲜.新知学习来源于学生已掌握的知识基础上,学生学得轻松有趣.把课堂充分地让给了学生.尽量不做过多地讲解,通过引导让学生发现问题并通过动手操作、交流讨论来解决问题.本课的难点在于利用隐含的边角关系证明三角形全等,以及利用全等三角形证明线段和角的相等关系,通过适当的例题,较好地突破了这一难点.
但也有几处是值得思考和在以后教学中应该改进的地方:在课堂上优等生急着演示、发言,后进生却成了观众和听众.如何做到面向全体,人人学有所得,也值得我们数学教师来探讨.教学细节需进一步改进,教学时应多关注学生,在学习新知后,虽然大部分的学生都掌握了,但有少数后进生仍然是不理解.
PAGE2.5 全等三角形
第2课时
【教学目标】
知识与技能
使学生掌握SAS的内容,学会运用SAS来识别两个三角形全等.
过程性目标
经历探索“SAS”过程,创造尽量多的机会让学生能与同伴交流看法.
情感态度目标
培养合情推理能力,感悟三角形全等的应用价值.
【重点难点】
重点:三角形全等的识别:SAS.
难点:探索“边角边”定理的过程.
【教学过程】
一、创设情景
有一座锥形小山,如图,要测量锥形小山两端A,B的距离,先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长,就是A,B的距离,你能说说其中的道理吗?
二、探究归纳
问题1 如果已知一个三角形的两边及一角,那么有几种可能的情况呢?
(应该有两种情况:一种是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角.)
每一种情况下得到的三角形都全等吗?
探索过程:做一做
如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,比如三角形两条边分别为3
cm和4
cm,它们的夹角为45°,你能画出这个三角形吗?你画的与同伴画的一定全等吗?
换两条线段和一个角试试,你发现了什么?
同学们各抒己见后总结:发现对于已知的两条线段和一个角,以该角为夹角,所画的三角形都是全等的.
归纳总结:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或简记为(SAS).
问题2 我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么?
教师拿出教具进行示范,让学生直观地感受到问题的本质.
操作教具:把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起,使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合,适当调整好长木棍与射线BC所成的角后,固定住长木棍,把短木棍摆起来,出现一个现象:△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件,但△ABC与△ABD不全等.这说明,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
学生讨论后形成共识“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件.
三、交流反思
1.通过本节课的学习,掌握观察、操作、感知、互动交流的学习方法.
2.通过本节课探索出SAS判定三角形全等.
四、检测反馈
1.如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:△ABC≌△DEC.
2.如图,点E,F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.
五、布置作业:P78T1-3
六、板书设计
2.5全等三角形(第2课时)
边角边(SAS)
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
应用
七、教学反思
观察、操作、感知、互动交流是探索新知的有效途径,在研究SAS判定三角形全等时,通过让学生动手操作、合作交流、感知SAS判定三角形全等的方法.在直观的操作过程中发现问题、获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力.
优点:教学设计整体化,内容生活化.首先应让学生从实际问题测量池溏的宽入手让学生提出解决问题的方案,激起学生的求知欲,让学生感觉到知识来源于生活实际,让其动手剪下他们方案中的两个三角形验证其是否全等,既复习了全等三角形的定义,从而设计一个探究问题:图中的两个三角形全等,你认为至少需哪些条件?激起学生的求知欲,充分让学生自由交流讨论、大胆猜想,在课堂上引导让学生发现问题并通过动手操作、交流讨论来解决问题.
缺点:提前应让学生准备好学具(如纸、剪刀、圆规等),分组时,优差互补,让人人学有所得.教学时应多关注学生,在学习新知识后,虽然大部分学生掌握了,但少数后进生仍然不理解.要时时刻刻注意给学生提供参考的机会,体现学生的主体地位,充分发挥学生的主观能动作用,尽量为学生提供“做中学”的平台,让学生在做的过程中借助自己已有的知识和方法主动探索新知识,扩大自己的知识结构,发展能力,从而使课堂教学真正为学生发展服务.
PAGE2.5 全等三角形
第1课时
【教学目标】
知识与技能
1.说出怎样的两个图形是全等形,并会用符号表示两个三角形全等.
2.知道全等三角形的有关概念,会在两个全等三角形中正确找出对应顶点、对应边、对应角.
3.会说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质.
过程性目标
让学生经历观察、操作、探究、归纳、总结等过程获得全等三角形性质和寻找对应边与对应角的方法.
情感态度目标
通过学习,感受到数学活动的乐趣,培养学生热爱科学勇于探索的精神.
【重点难点】
重点:全等三角形的性质.
难点:找全等三角形的对应边、对应角.
【教学过程】
一、创设情景
1.多媒体演示生活中几组全等图形.
提问:这些画面漂亮吗?这几组图形有什么共同特征?
2.分别出示教具:全等花边图案和全等五边形
提问:这两个图形能够完全重合吗?试试看
学生欣赏后回答:这些图形能够完全重合.动手尝试将图形重合,感受全等
二、探究归纳
(一)全等形
1.揭示定义:能够完全重合的两个图形叫作全等形.
2.出示连线题:把全等图形用线连起来.指名回答
3.引导学生举例并点评
(二)全等三角形
1.全等三角形定义
师出示教具:两张全等三角形纸片
提问:这两个图形是否是全等图形?为什么?
揭示全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
2.对应元素和表示法
(1)用多媒体动画演示两个三角形重合的过程
揭示对应顶点、对应边、对应角的概念.
(2)指导学生规范地写正确地读.
强调:把对应顶点的字母写在对应的位置上.
(3)寻找对应元素
(三)全等三角形的性质
巡视、指导学生完成动手操作,鼓励学生说出结论.
教师在学生归纳的基础上用多媒体演示全等三角形对应边、对应角完全重合的情形,引导归纳全等三角形的性质:对应边相等、对应角相等.
三、交流反思
1.通过本节课的学习,掌握探索的步骤:观察、操作、探究、归纳、总结.
2.通过本节课探索出全等图形的性质.
四、检测反馈
1.如图,在△AEC≌△ADB,点E和点D是对应顶点.写出它们的对应边和对应角.
2.如图,已知△ACE≌△DBF.CE=BF,AE=DF,AD=8,BC=2.
(1)求AC的长度.
(2)试说明CE∥BF.
五、布置作业:P87T1
六、板书设计
2.5全等三角形(第1课时)
全等图形
定义:能够完全重合的两个图形
全等三角形
定义:能完全重合的两个三角形
对应元素:对应顶点、对应角、对应边
性质:对应边相等、对应角相等
七、教学反思
观察、操作、探究、归纳、总结是研究事物的科学方法.本节课在研究全等三角形的性质时,让学生通过动手操作归纳总结出全等三角形的性质.学生有充分的时间来自主安排与交流.这个过程对培养学生正确的思考方法很有价值.
优点:教学设计尽可能调动学生,让学生尽可能地经历合作和交流,感受不同的思维方式、思维过程,通过互动体验熟悉数学和数学思想,培养与他人合作的意识和态度,产生学习数学的爱好和自信心.让学生在互动的过程中学到数学的知识与经验、思想与方法,体现了“方法比知识更重要”这一新的教学价值观.
缺点:通过这节课的学习,学生能找出图形中的全等图形,但是再用符号来标记全等三角形时,还是有极少部分学生没有把对应顶点的字母写到对应的位置上,究其原因可能还是对“对应”两字理解不透,观察图形不够,对这些学生还要多加指导.
PAGE2.5 全等三角形
第5课时
【教学目标】
知识与技能
通过画图进行比对得出完全重合,从而得到全等的条件SSS.熟练应用SSS解决相关三角形中边或角相等的问题.
过程性目标
经历探索三角形全等的条件发展学生逻辑思维能力和语言表达能力.
情感态度目标
体验探求数学问题的过程,体验数学图形美和逻辑推理的严密性.
【重点难点】
重点:掌握基本事实SSS的内容,熟练应用SSS证明两三角形全等,并能准确应用几何符号语言书写推理过程.
难点:灵活运用全等三角形性质及SSS解决三角形中有关边角相等的问题.
【教学过程】
一、创设情景
请问同学,老师在黑板上画的两个三角形,△ABC与△A'B'C'全等吗?你是如何识别的?
(同学们各抒己见,如:动手用纸剪下一个三角形,剪下叠到另一个三角形上,是否完全重合;测量两个三角形的所有边与角,观察是否有三条边对应相等、三个角对应相等.)
前面我们已经探讨两个三角形全等的判定方法SAS、ASA和AAS,那么三条边(或三个角)分别相等的两个三角形是否全等呢?今天,我们就一起来探讨研究.
二、探究归纳
问题1 如果两个三角形的三条边分别相等,那么这两个三角形会全等吗?
做一做:给你三条线段a,b,c,分别为3
cm、4
cm、5
cm,你能画出这个三角形吗?
学生分组交流,比较画出的图形.
结论:边边边(SSS):三边分别相等的两个三角形全等.
三角形具有稳定性.
问题2 如果两个三角形的三个角分别相等,那么这两个三角形会全等吗?
学生讨论交流容易得出:三角分别相等的两个三角形不一定全等.
问题3 图为人民公园的荷花池,现要测量此荷花池两旁A,B两棵树间的距离(不能直接测量),请你根据所学三角形全等的知识,设计一种测量方案求出AB的长(要求画出草图,写出测量方案和理由).
引导学生讨论交流设计方案.
三、交流反思
1.通过本节课的学习,掌握一般探索新知的步骤:操作、交流、结论、验证.
2.通过本节课的学习探索出判定三角形全等的基本事实SSS.
四、检测反馈
1.如图,点E,C在线段BF上,BE=CF,AB=DE,AC=DF.求证:∠ABC=∠DEF.
2.如图:已知点A,E,F,B在一条直线上,AE=BF,CF=DE,AC=BD,求证:GE=GF.
3.李明家所在的小区有一个池塘,如图,A,B两点分别位于一个池塘的两侧,池塘西边有一座假山D,在BD的中点C处有一个雕塑,小明从A出发,沿直线AC一直向前经过点C走到点E,并使CE=CA,然后他测量点E到假山D的距离,则DE的长度就是A,B两点之间的距离.
(1)你能说明李明这样做的根据吗?
(2)如果李明未带测量工具,但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米,你能帮助他确定AB的长度范围吗?
五、布置作业:P84T1-2
六、板书设计
2.5全等三角形(第5课时)
边边边(SSS)
三边分别相等的两个三角形全等
三角形的稳定性
应用
七、教学反思
本节课先复习旧知识,再提问学生两个三角形全等是否要六个元素分别相等入手.在每个环节的安排中,突出了问题的设计,教师通过一个个的问题,把学生的思维激发起来,从而使学生主动、有效地参与到学习中来.
优点:让学生大胆猜想,猜想是学生感知事物而获取知识过程中的重要环节.因此,在教学中老师鼓励学生大胆猜想:从满足一个条件相等是否可保证两个三角形全等,满足两个条件相等是否可以保证两个三角形全等,满足三个条件是否可保证两个三角形全等一系列的猜想中,引导学生一个个落实,进而得出三边分别相等可保证两个三角形全等的结论.在操作过程中,教师较好地激发了学习的兴趣.大部分学生做出猜测后,把自己的思维与所学的知识连在一起,主动参与操作验证,培养探索能力.在学习和探索的过程中,注意培养学生独立思考的能力,团队合作能力、有层次地安排了学生思考,同桌交流,小组合作.
缺点:本节课教学设计注重开发学生的思维能力,但忽略了教师的示范作用.用SSS证明几何题,教师首先应做出准确的示范,让学生一开始就掌握正确的书写格式.另外学生没有做够的时间练习,课后应加强训练.
PAGE2.5 全等三角形
第3课时
【教学目标】
知识与技能
1.熟记角边角定理的内容.
2.能运用角边角定理证明两个三角形全等.
过程性目标
经历探索ASA判定三角形全等条件的过程,培养学生观察分析图形能力、动手能力.
情感态度目标
在探索三角形全等条件的过程中,培养学生有条理的思考能力、概括能力和语言表达能力.
【重点难点】
重点:指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件及应用角边角定理解决问题.
难点:三角形全等条件的探索过程.
【教学过程】
一、创设情景
如图,这是一块打碎的三角形玻璃,试问应该拿哪一块玻璃去玻璃店做一块与原玻璃一模一样的?
学生们不假思索,脱口而出:“第三块”.对此,我没有肯定,也没有否定,而是引导学生:
师:要配玻璃,你先想到了什么?
生:所配的玻璃与原玻璃全等.
师:按照概念,三角形全等需要具备几个条件呢?用我们已经学过的全等三角形的判定方法能说明我们刚才的答案吗?
生:不能.
师:同学们看,第三块玻璃中有什么确定的量?
生:两角和它们的夹边.
师:那么我们能猜想出什么结论呢?
生:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
师:接下来我们来探讨这个结论是否成立?
进入本节的教学.
二、探究归纳
提出问题:从上面的操作中,你发现具备什么条件的两个三角形全等?
总结:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
探索过程:问题探究:先任意画一个△ABC,再画出一个△A′B′C′,使
A′B′=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等),
把画出的△A′B′C′剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
【学生活动】动手操作,感知问题的规律.
探究规律:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).
三、交流反思
1.通过本节课的学习,掌握观察、猜想、探究、推理新知的方法.
2.通过本节课探索出ASA判定三角形全等.
四、检测反馈
1.如图,AB=AE,∠B=∠AED,∠1=∠2,求证:△ABC≌△AED.
2.如图,点A,C,D,B四点共线,且AC=BD,∠A=∠B,∠ADE=∠BCF,求证:DE=CF.
五、布置作业:P80T1-2
六、板书设计
2.5全等三角形(第3课时)
角边角(ASA)
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
应用
七、教学反思
本节课的教学设计采用实验操作、分组交流的方法进行的,让学生通过实验,自己发现ASA识别方法,培养学生实践能力和观察能力.真正让每个学生都参与到学习中来,使数学学习不再单调枯燥,避免了教师讲学生听的机械注入.使学生在探索、发现知识的过程中体验到成功的乐趣,由于是在游戏中学到新知识,学生乐于学,这样有效地激发了学生的学习主动性.同时,使学生认识到生活中处处有数学,树立知识来源于实践又用于实践的观念,提高学习兴趣.这种从形象到抽象,一般到特殊的教学过程更符合学生的认知规律.
优点:课中给学生提供了主动探索的时间、空间.在实验的过程中给予了足够的观察思考的时间,拓展了学生研究三角形的空间,初步感知了ASA.小组合作学习有利于体现小组成员之间的集体智慧,小组成员之间相互协作,共同完成任务,培养学生团结协作、积极向上,增强学生学习自信心.面向全体学生,让大家都参与,使小组每个成员都有事可做.激发学生的学习热情,使每个学生都能感受成功,体验成功的喜悦,激发学生的求知欲.
缺点:小组合作学习确实具有上述的许多优点,同时也客观地存在一些不容忽视的缺点.因为,学生之间存在个体差异,好学生参与的机会更多,往往成了主角,困难学生成了配角,这可能导致小组成员间不团结,困难学生渐渐产生自卑感,导致学生间的个体差异更大,加剧了两极分化;也可能出现小组成员间的交流很少,基本上停留在独立学习的层次上,好学生怕该小组的名次落后,往往抢答,没有真正地讨论和合作,没有充分发挥小组合作的优势,其学习结果不能完全代表本小组的水平.在小组活动过程中,教师要加强对每个小组的监督和指导,尤其关注困难学生在活动中的表现,让他们多一些表现的机会.
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