第1章勾股定理 能力提升专题训练 2021-2022学年北师大版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》能力提升专题训练（附答案）
选择题
1．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（　　）
A．169
B．169或119
C．169或225
D．225
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16
B．25
C．144
D．169
4．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果AB＝4，AC＝3，那么BC的长的平方是（　　）
A．4
B．25
C．7
D．25或7
5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（　　）
A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
6．下面四组数中是勾股数的有（　　）
（1）1.5，2.5，2；（2）2，2，3；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
7．三角形的三边分别为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（　　）
A．
B．a2﹣b2＝c2
C．a2＝（b+c）（b﹣c）
D．a：b：c＝13：5：12
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（　　）
A．2.7米
B．2.5米
C．2米
D．1.8米
9．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（　　）
A．115cm
B．125cm
C．135cm
D．145cm
10．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　）
A．12cm
B．14cm
C．20cm
D．24cm
填空题
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝　
　．
12．在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为　
　．
13．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入　
　元．
14．如果三条线段的长度分别为8cm、xcm、18cm，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么以x为边长的正方形的面积为　
　．
15．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝　
　．
16．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　
　元钱．
17．如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，该图形的面积等于　
　．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　
　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离CD＝　
　．
20．如图，在一个长为8cm，宽为5cm的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为2cm的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是　
　．
解答题
21．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．
22．有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子到B点，正好B点在A点的正上方，已知油罐的周长为12m，高AB为5m，问：所建梯子最短需多少米？
23．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
24．长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
25．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
26．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）
27．阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2＝4×，
整理，得a2+2ab+b2＝2ab+c2．
所以a2+b2＝c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请
你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：
由图2可以得到　
　，
整理，得　
　，
所以　
　．
参考答案
1．解：当12是斜边时，第三边平方是＝119；
当12是直角边时，第三边平方是＝159．
故选：B．
2．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
3．解：
根据勾股定理得出：AB＝5，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
4．解：∵∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC2＝7，
故选：C．
5．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；
B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；
C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；
D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．
故选：D．
6．解：（1）1.52+22＝2.52，但不是正整数，故错误；
（2）（）2+（）2＝22，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；
（3）122+162＝202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；
（4）0.52+1.22＝1.32，但不是正整数，故错误．
故选：A．
7．解：A、∵，b＝，c＝，
∴b2+c2≠a2，
即此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵a2﹣b2＝c2，
∴b2+c2＝a2，
即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵a：b：c＝13：5：12，
∴b2+c2＝a2，
即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
8．解：由题意可得：AD2＝0.72+2.42＝6.25，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，BC2+AB2＝AC2，
∴AB2+1.52＝6.25，
∴AB＝±2，
∵AB＞0，
∴AB＝2米，
∴小巷的宽度为0.7+2＝2.7（米）．
故选：A．
9．解：展开图为：
则AC＝100cm，BC＝15×3+10×3＝75cm，
在Rt△ABC中，AB＝125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故选：B．
10．解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，
延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，
∴BD＝16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝12cm，
∴则该圆柱底面周长为24cm．
故选：D．
11．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，
所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．
故答案为：2π．
12．解：如图1，△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝20，AD＝12，
由勾股定理得，BD＝16，
在Rt△ADC中AC＝13，AD＝12，
由勾股定理得，DC＝5，
则BC的长为BD+DC＝9+16＝21，
△ABC的周长为：13+20+21＝54，
如图2，同（1）的作法相同，BC＝11，
△ABC的周长为：13+20+11＝44，
故答案为：44或54．
13．解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，
＝＝36．
所以需费用36×200＝7200（元）．
故答案为：7200
14．解：当x为直角边时，18为斜边，根据勾股定理得，x2+82＝182，
解得：x2＝260；
当x为斜边时，根据勾股定理得，82+182＝x2，
解得：x2＝388．
即以xcm为边长的正方形面积是260cm2或289cm2．
故答案为260cm2或289cm2．
15．解：由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝8﹣3＝5；
在Rt△CEF中，EF＝DE＝5，CE＝3，由勾股定理可得：CF＝4，
若设AD＝AF＝x，则BC＝x，BF＝x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，
故BF＝x﹣4＝6．故答案为：6．
16．解：由勾股定理，AC＝12（m）．
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×18＝612元．
故答案为：612．
17．解：连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，
∴AC＝10，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝102+242＝262＝AB2，
∴△ABC为直角三角形；
∴图形面积为：
S△ABC﹣S△ACD＝×10×24﹣×6×8＝96．
故答案为：96．
18．解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝?AF?BC＝10．
故答案为：10．
19．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵BC＝12，AC＝9，
∴AB＝15，
∵△ABC的面积＝AC?BC＝AB?CD，
∴CD＝＝＝，
故答案为：．
20．解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为8+2×2＝12（cm）；宽为5cm．
于是最短路径为：＝13（cm）．
故答案为13cm．
21．解：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，CD＝9．
22．解：如图所示：
∵AC＝12m，BC＝5m，
∴AB＝13m，
答：梯子最短需要13m．
23．解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
24．解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，
△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即x2＝（10﹣x）2+16．
∴x＝（cm）．
25．解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
∴根据勾股定理得AB＝500米，
∵AB?CD＝BC?AC，
∴CD＝240米．
∵240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
26．解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝15（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣1×7＝10（米），
∴AD＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米．
27．证明：∵S大正方形＝c2，S大正方形＝4S△+S小正方形＝4×ab+（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（b﹣a）2，
整理，得
2ab+b2﹣2ab+a2＝c2，
∴c2＝a2+b2．
故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2＝c2；a2+b2＝c2．