2.3用公式法求解一元二次方程 能力提升专题训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
能力提升专题训练（附答案）
一、选择题
1．公式法解方程x2﹣3x﹣4＝0，对应a，b，c的值分别是（　　）
A．1，3，4
B．0、﹣3、﹣4
C．1、3、﹣4
D．1、﹣3、﹣4
2．一元二次方程x2﹣8x+20＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1＝0
B．x2+x+2＝0
C．x2﹣2x＝0
D．（x﹣3）2﹣2＝0
4．下列方程有实数根的是（　　）
A．（3x﹣2）（2x+2）＝0
B．（x﹣3）2+3＝0
C．3x2﹣x+1＝0
D．3x2+x+1＝0
5．方程x2﹣4x＝5的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有一个实数根
6．若关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根．则m的取值范围是（　　）
A．m≤1且m≠0
B．m≥﹣1且m≠0
C．m≤1
D．m≥﹣1
7．若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
D．m＜1
8．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，当满足b2﹣4c＞0时，方程的两个根是（　　）
A．x＝
B．x＝
C．
D．
9．方程x2﹣x+1＝0的根为（　　）
A．
B．
C．
D．无实数根
10．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0
B．k≥0且k≠2
C．k≥
D．k≥且k≠2
二、填空题
12．方程x2﹣6x+5＝0的解是　
　．
13．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是　
　．
14．关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝　
　．
三、解答题
15．解下列关于x的方程
（I）x2﹣6x﹣7＝0
（Ⅱ）2x2﹣x﹣2＝0
16．解下列方程：
（Ⅰ）x2﹣2x+1＝25；
（Ⅱ）2x2﹣5x+1＝0．
已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+＝0有两个相等的实数根，求k的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
20．解下列方程：
（Ⅰ）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；
（Ⅱ）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
21．小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴x＝（第三步）
∴x1＝，x2＝（第四步）
（1）小明解答过程是从第　
　步开始出错的，其错误原因是　
　．
（2）写出此题正确的解答过程．
参考答案
1．解：∵一元二次方程的标准形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），
∴方程x2﹣3x﹣4＝0，对应a，b，c的值分别是1，﹣3，﹣4；
故选：D．
2．解：根据题意可得，
a＝1，b＝﹣8，c＝20．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0，
∴一元二次方程无实数根．
故选：B．
3．解：A、Δ＝22﹣4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、Δ＝12﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；
C、Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D、整理整理为x2﹣6x+7＝0，Δ＝62﹣4×7＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
4．解：A、解方程（3x﹣2）（2x+2）＝0，得x1＝，x2＝﹣1，所以方程有两个实数根；
B、方程（x﹣3）2+3＝0变形得（x﹣3）2＝﹣3，所以方程没有实数根；
C、Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣3）×1＜0，方程没有实数根；
D、Δ＝12﹣4×3×1＜0，方程没有实数根；
故选：A．
5．解：方程化为x2﹣4x﹣5＝0，
∵Δ＝（4）2﹣4×1×（﹣5）＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．解：∵关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根，
∴，
解得：m≥﹣1且m≠0．
故选：B．
7．解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
8．解：关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，当满足b2﹣4c＞0时，方程的两个根是x＝．
故选：B．
9．解：x2﹣x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
则原方程无解．
故选：D．
10．解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，
则x＝＝＝3±2，
故选：D．
11．解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）k≥0，
解得k≥0且k≠2．
故选：B．
12．解：x2﹣6x+5＝0，
（x﹣1）（x﹣5）＝0，
解得：x1＝1，x2＝5
故本题的答案是：x1＝1，x2＝5．
13．解：根据题意得Δ＝（1﹣m）2﹣4×＞0，
解得m＜，
所以m的最大整数值为0．
故答案为：0．
14．解：∵ax2﹣bx﹣c＝0，
∴Δ＝b2+4ac，
∵对于任意实数b，b2≥0，ac＞0，
∴b2+4ac＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
∴x＝．
故答案为：．
15．解：（I）∵x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x﹣7）（x+1）＝0，
∴x＝7或x＝﹣1；
（Ⅱ）∵2x2﹣x﹣2＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴△＝1+16＝17，
∴x＝．
16．解：（Ⅰ）∵x2﹣2x+1＝25，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝±5，
即x1＝6，x2＝﹣4；
（Ⅱ）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴△＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）×＝0，
整理得，k2﹣3k+2＝0，
即（k﹣1）（k﹣2）＝0，
解得：k＝1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k＝2．
∴k＝2．
18．解：（1）根据题意得：Δ＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，
解得：k＜；
（2）由k为正整数，得到k＝1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2k为完全平方数，
则k的值为2．
19．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
20．解：（Ⅰ）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（Ⅱ））∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
则x＝＝，
即x1＝1，x2＝﹣；
21．解：（1）原方程化为：x2﹣5x﹣1＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
故答案为：一，原方程没有化成一般形式；
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴x＝