2.3 用公式法求解一元二次方程同步练习 2020-2021学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2.3
用公式法求解一元二次方程
一、选择题
1．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（　　）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
2．一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则（　　）
A．m＞3
B．m＝3
C．m＜3
D．m≤3
3．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2
B．a＞2
C．a＜2且a≠1
D．a＜﹣2
4．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16
B．12
C．14
D．12或16
5．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）
A．34
B．30
C．30或34
D．30或36
6．关于x的一元二次方程x2+4kx﹣1＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
7．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1
B．a≠0
C．a＜1且a≠0
D．a＜﹣1或a≠0
二、填空题
8．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　
　．
9．关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是　
　．
10．若数a使关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程＝2的解为非负整数，则满足条件的a的值为
　　
11．已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是　
　．
12．一元二次方程x2+2＝2x，其中a＝　
　，b＝　
　，c＝　
　，b2﹣4ac＝　
　．它的根是：　
　．
三、解答题
13．用公式法解方程：
（1）x2﹣3x+2＝0；
（2）x2﹣1＝2（x+1）；
（3）2x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）；
x2+3x﹣4＝0．
若关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．
15．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，求此时方程的根．
16．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x+3n＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的n值，写出这个方程并求出此时方程的根．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（　　）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
2．一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则（　　）
A．m＞3
B．m＝3
C．m＜3
D．m≤3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2）2﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故选：C．
3．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2
B．a＞2
C．a＜2且a≠1
D．a＜﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：a＜2且a≠1．
故选：C．
4．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16
B．12
C．14
D．12或16
【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边长度，继而相加即可得．
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0，得：x＝3或x＝5，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A．
5．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）
A．34
B．30
C．30或34
D．30或36
【分析】分三种情况讨论，①当a＝4时，②当b＝4时，③当a＝b时；结合韦达定理即可求解；
【解答】解：当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
6．关于x的一元二次方程x2+4kx﹣1＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，找出Δ＝16k2+4＞0，由此即可得出方程x2+4kx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：在方程x2+4kx﹣1＝0，Δ＝（4k）2﹣4×1×（﹣1）＝16k2+4．
∵16k2+4＞0，
∴方程x2+4kx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1
B．a≠0
C．a＜1且a≠0
D．a＜﹣1或a≠0
【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1，
∵方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a＜1且a≠0．
故选：C．
二、填空题
8．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k≥1　．
【分析】根据二次根式有意义的条件和△的意义得到，然后解不等式组即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得k≥1，
∴k的取值范围是k≥1．
故答案为：k≥1．
9．关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是　k≤　．
【分析】根据方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣6x+2k＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×2k＝36﹣8k≥0，
解得：k≤．
10．若数a使关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程＝2的解为非负整数，则满足条件的a的值为
　　
【分析】先根据一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解可得a的取值范围，再解分式方程＝2得到y＝且y≠1，最后结合非负整数可得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解，
∴22﹣4（﹣6+a）＞0，
即a＜7，
解关于y的分式方程＝2，可得y＝且y≠1，
∵y为非负整数，
∴0，且y＝≠1，
∴a≥1，且a≠3，
∴a＝1或5，
故答案为：1或5．
11．已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是　m≥﹣　．
【分析】方程有解时△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．
【解答】解：依题意得：Δ＝12﹣4×1×（﹣m）≥0．
解得m≥﹣．
故答案是：m≥﹣．
12．一元二次方程x2+2＝2x，其中a＝　1　，b＝　﹣2　，c＝　2　，b2﹣4ac＝　0　．它的根是：　x1＝x2＝　．
【分析】先把方程化为一般式，从而得到a、b、c的值，再计算判别式的值，然后利用求根公式得到方程的根．
【解答】解：方程化为x2﹣2x+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝2，
∵b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2＝0，
∴x＝，
∴x1＝x2＝．
故答案为1，﹣2，2；0；x1＝x2＝．
三、解答题
13．用公式法解方程：
（1）x2﹣3x+2＝0；
（2）x2﹣1＝2（x+1）；
（3）2x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）；
（4）x2+3x﹣4＝0．
【分析】（1）直接利用公式法求解即可；
（2）整理为一般式，再利用公式法求解即可；
（3）、（4）直接利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
则x＝＝，
即x1＝2，x2＝1；
（2）整理，得：x2﹣2x+1＝0，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
则x＝＝＝1，
即x1＝x2＝1；
（3）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（4）∵a＝1，b＝3，c＝﹣4，
∴△＝32﹣4×1×（﹣4）＝25，
则x＝＝，
∴x1＝1，x2＝﹣4．
14．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．
【分析】关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＝0．即可得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：∵a＝k﹣1，b＝﹣（2k﹣2），c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k﹣2）2﹣4×（k﹣1）×（﹣3）＝4k2+4k﹣8＝0，
解得：k＝1或k＝﹣2，
∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k＝﹣2．
15．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据m为负整数以及（1）的结论可得出m的值，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4（1﹣m）＞0，
即5+4m＞0，解得：m＞﹣．
∴m的取值范围为m＞﹣．
（2）∵m为负整数，且m＞﹣，
∴m＝﹣1．
将m＝﹣1代入原方程得：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
故当m＝﹣1时，此方程的根为x1＝﹣1和x2＝﹣2．
16．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣2x+1）＝80，
化简，得x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26﹣2x＝10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x+3n＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的n值，写出这个方程并求出此时方程的根．
【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（n﹣3）2，然后利用非负数的性质得到△≥0，从而根据判别式的意义可得到结论；
（2）n可取0，方程化为x2﹣3x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（n+3）2﹣12n＝（n﹣3）2，
∵（n﹣3）2≥0，
∴方程有两个实数根；
（2）解：∵方程有两个不相等的实根
∴n可取0，则方程化为x2﹣3x＝0，
因式分解为x（x﹣3）＝0
∴x1＝0，x2＝3．