7.1为什么要证明同步习题 2020—2021学年北师大版数学八年级上册（Word版 含答案）

《7.1
为什么要证明》同步习题2020-2021年数学北师大新版八（上）
一．选择题（共9小题）
1．最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水　　
A．3号杯子
B．5号杯子
C．6号杯子
D．7号杯子
2．老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？　　
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
3．小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是　　
A．小明，小亮，小华，小英
B．小华，小明，小亮，小英
C．小英，小华，小亮，小明
D．小亮，小英，小华，小明
4．小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为　　
A．12元
B．13元
C．14元
D．无法确定
5．有、、、、共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中间统计比赛的盘数知：赛了4盘，赛了3盘，赛了2盘，赛了1盘，那么同学赛了　　盘．
A．1
B．2
C．3
D．4
6．甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁判，每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局，那么整个训练中的第5局的裁判是　　
A．甲
B．乙
C．丙
D．不确定
7．运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似地满足函数关系．如图记录了铅球飞行中的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离可能是　　
A．
B．
C．
D．
8．有一种“扫雷”游戏如图，方格内的数字表示与它相邻的方格内总共有的地雷数，例如：右下角的数字1表示、、中只有一个地雷；通过推理，请判断？处应填的数字是．　　
2
3
3
1
？
1
A．5
B．4
C．3
D．2
9．小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球．现在模拟器中有型小球12个，型小球9个，型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：其中正确的说法是　　
①最后剩下的小球可能是型小球；
②最后剩下的小球一定是型小球；
③最后剩下的小球一定不是型小球．
A．①
B．②③
C．③
D．①③
二．填空题（共5小题）
10．以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要　　分钟．
用时
种类
准备时间（分钟）
加工时间（分钟）
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
15
11．有一个密码箱，密码由三个数字组成，甲、乙、丙三个人都开过，但都记不清了．甲记得：这三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7；乙记得：1和2的位置相邻；丙记得：中间的数字不是1．根据以上信息，可以确定密码是　　．
12．甲，乙，丙，丁，戊，己六人，将在“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者，三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，仅有一位演讲者处在甲和乙之间，丁在第一位或在第三位发言．如果戊是第四位演讲者，那么第三位演讲者是　　．
13．北京市高中学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为，，，，五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，该班这两科的学业水平测试成绩如表所示（表中部分信息不完整）．已知该班学生中，这两科均为的学生有5人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为．
科目等级
物理
10
16
1
化学
8
19
7
有下面四个推断：
①该班物理、化学等级都是的学生至多有12人；
②该班物理、化学等级都是的学生至少有4人；
③该班这两科只有一科等级为且最高等级为的学生可能为18人；
④该班这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有1人．
所有正确推断的序号是
　　．
14．某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如表所示：
步骤
时间（分钟）
桌别
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
1
现有三名餐厅工作人员分别负责：①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要　　分钟．
三．解答题（共12小题）
15．某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在、、三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
4
乙
3
丙
2
丁
（1）则甲同学错的是第　　题；
（2）丁同学的得分是　　；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是　　（写出一种即可）
16．国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次手，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名得分总和，问前三名选手各得多少分？说明理由．
17．妈妈要榨果汁，她有苹果、橙子、雪梨三种水果，且其颗数比为，小明发现妈妈榨完果汁后，苹果、橙子、雪梨的颗数比变为，且榨果汁时妈妈没有使用雪梨，小明根据他的发现利用所学数学知识推断出妈妈榨果汁时只使用了橙子，妈妈告诉小明，他的判断完全正确．请你尝试写出小明的推断过程．
18．室内有4盏电灯在照明，每盏电灯都有且只有一个开关控制，现请你每次只拉动其中3盏电灯的开关，问：能否拉动有限次将这4盏灯关闭？如果不能，请说明理由；如果能，请写出最少的次数．
19．用1，2，3三个数字组成六位数，若每个数字用两次，相邻位不允许用相同的数字．
（1）试写出四个符合上述条件的六位数；
（2）请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个？
20．某足球协会举办了一次足球联赛，其积分规则为：胜，平，负，当全部比赛结束（每队平均比赛12场）时，队共积19分，请通过计算，判断队胜、平、负各几场．
21．某学校举行“奥运获奖情况”知识竞赛，试题共6道，均为判断题，考生认为正确的就画“”，认为错的就画“”．记分方法是：每道题答对的给10分，不答的给5分，答错的不给分．已知，，，四位同学所给答案及前三位同学的得分情况如下表：请你填出同学的得分，并简单说明你的思路．
22．阅读下列材料，并解答以下问题．
完成一件事有类不同的方案，在第一类方案中有个不同的方法，在第二类方案中有个不同的方法，，在第类方案中有个不同的方法，那么，完成这件事共有种不同方法，这是分类加法计数原理．完成一件事有需要分成个步骤，做第一步有种不同方法，做第二步有种不同方法，，做第步有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．
（1）若完成沿图所示的街道从点出发向点行进这件事（规定：必须向北或向东走），会有　
　种不同的走法．
（2）若完成沿图所示的街道从点出发向点行进，并禁止通过交叉点这件事（规定：必须向北或向东走），有　
　种不同的走法．
23．某参观团依据下列约束条件，从、、、、五个地方选定参观地点：
①如果去地，那么也必须去地；
②、两地至少去一处；
③、两地只去一处；
④、两地都去或都不去；
⑤如果去地，那么、两地也必须去
依据上述条件，你认为参观团只能去哪些地方参观？
24．甲、乙、丙三人去看病，甲打针需要5分钟，乙换纱布需3分钟，丙点药水需1分钟，医生如何安排治病次序，才能使三人在卫一室等待的时间总和最小？
25．游戏推理：星期天，小明和叔叔一起玩扑克牌，叔叔想考考小明，便拿出两副牌，一边说一边做：取两副牌，每副牌的排列顺序按头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色又按1、2、3、、、、顺序排列，然后把两副扑克牌叠放在一起，把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层如此下去，猜想最后一张是哪张牌．小明想了想，又算了算，得出了正确答案，你知道是哪张牌吗？说出理由．
26．某商店有5只分别装有麻油、豆油、菜油，其重量如图，其中麻油一桶，豆油的公斤数恰好是菜油的两倍，五只桶分别装的是哪种油？并请说明推理过程．
参考答案
一．选择题（共9小题）
1．解：号杯左侧出口比右侧低，
水先从左边流出，进入3号杯，
号杯左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯的出口端封闭，
水最终会先灌满3号杯，
故选：．
2．解：假设甲最好，则甲说得错了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是甲最好；
假设乙最好，则甲说对了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是乙最好；
假设丙最好，则甲说错了，则乙说错了，丙说错了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”不矛盾，因此是丙最好；
假设丁最好，则甲说错了，则乙说对了，丙说对了，丁说错了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此是丁不是最好；
因此丙的成绩最好，
故选：．
3．解：由题干中小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；
小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，
可得小英的得分大于小华的，小亮的大于小明的；
又有小华的得分超过小明与小亮的得分和，
所以可得四位同学的得分由大到小的顺序是小英、小华、小亮、小明．
故选：．
4．解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，
故选：．
5．解：共有5个人，赛4盘，则与、、、每人赛一盘；
赛3盘，因为赛了1盘，则这三盘一定是与、、的比赛；
赛了两盘，是与和赛的．
则一共赛了2盘，是与和赛的．
故选：．
6．解：丙共当裁判5局，
甲与乙打了5局，
甲共打了15局，乙共打了21局，
甲与丙打了局，乙与丙打了局，
半天训练，甲、乙、丙三人共打了局，
由于乙与丙打了16局，所以，甲当了16局裁判，
而从1到31一共15个偶数，16个奇数，
甲当裁判的局数是奇数局，即：第一局，第三局，第五局，第三十一局，
整个训练中的第5局的裁判是甲，
故选：．
7．解：由题意抛物线经过，，，
则有：，
解得，
抛物线的解析式为，
该铅球飞行到最高点时，水平距离是，
故选：．
8．解：根据题意用是表示有地雷，用不表示没有地雷填表得：
是
是
2
3
是
3
不
是
不
是
1
是
？
不
1
？的周围有两颗地雷，所以？处应填的数字是2．
故选：．
9．解：假设12个球中每两个球进行碰撞，则可以得到6个球，9个球中让其中8个球每两个进行碰撞，则可以得到4个球，加上原来的球，共20个球，让这20个球互相碰撞，重复进行直至剩下一个球，再和剩下的球碰撞，可以得到一个球，由此可知①正确，②错误．
事实上，无论怎么碰撞，球数量与球数量奇偶性总是不一样（一奇一偶）．
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶．
由此可知，与的数量不可能同时为0，所以最后剩下的小球一定不是型小球，③正确．
故选：．
二．填空题（共5小题）
10．解：（分钟），
答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，
故答案为：33．
11．解：三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7，
第一个数为1或2，
和2的位置相邻，
前两个数字是1，2或2，1，第三位是数字7，
中间的数字不是1，
第一个数字只能是1，第二个数字为2，
即密码为127，
故答案为127．
12．解：由题意得，假设丙演讲者在第三位，由于第四位演讲者是戊，所以不满足仅有一位演讲者处在甲和乙之间，故丙在第二位演讲，
当丁在第三位演讲时，也不满足仅有一位演讲者处在甲和乙之间，
故丁在第一位，
根据三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，且仅有一位演讲者处在甲和乙之间，
所以排在第三位演讲者是甲或乙．
故答案为：甲或乙．
13．解：根据表格数据以及题意可知，仅是物理等级为，化学等级为的有人，仅是化学等级为，物理等级为的有人，
所以物理化学等级都是的学生至多有人（因为，①错误；
物理化学都是的学生至少有人（或，故②正确；
这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人，故③错误；
物理化学等级都是的学生至多有13人，所以这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人，④正确；
正确的有②④，
故答案为：②④．
14．解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：
将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，
故答案是：12．
三．解答题（共12小题）
15．解：（1）有5道选择题，每题1分，
甲、乙、丙各得4，3，2分，
观察表格可知：第二题选和第四题选，甲、乙、丙、丁四位同学都正确，
所以丙同学答对第二题和第四题，得2分；
第一题选，甲和乙同学都正确，
所以乙同学答对了第一、第二、第四题，得3分；
通过第三题可知：
乙，丙同学选，都答错了，
所以选项正确，
所以第三题选；
通过第五题，乙、丙两位同学选和都错误，
所以选正确，
所以甲同学错的是第五题；
故答案为：五；
（2）因为五个题的正确答案是：、、、、，
所以丁同学答对了第二、四、五题，
所以丁同学得分是3分．
故答案为：3；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是：、、、、（答案不唯一）．
故答案为：、、、、．
16．解：设第个运动员为，得分为，2，7，，则，由于8名选手每人参加7局比赛，胜的最多者得7分，
即，共赛局，总积分为28分，
所以①
因为每局得分为0，，1三种，
所以只能在，，1，1.5，2，2.5，6，6.5，中取值，又知，②
若，则，
由①，，但，
所以这与矛盾，
故
但，
所以
这时
也就是
若，这不可能
若，矛盾．
所以，只能
此时
所以，前三名选手得分依次为6.5，6，5．
17．解：苹果、橙子、雪梨三种水果，且其颗数比为，
设苹果为颗，橙子颗，雪梨颗是正整数），
妈妈榨果汁时没有使用雪梨，
设妈妈榨完果汁后，苹果颗，橙子颗，
妈妈榨完果汁后，苹果、橙子、雪梨的颗数比变为，
，，
，，
苹果的用量为，
橙子的用量为，
妈妈榨果汁时，只用了橙子．
18．解：能拉动有限次将这4盏灯关闭，最少为4次，理由如下：
设4盏电灯为都在照明，先断开，则不亮，再拉动开关，则照明，不亮；然后拉动开关，则照明，再拉动1次开关，则4盏灯关闭；所以最少需要拉动4次开关．
19．解：（1）以1开头的数有121323
131232
123123
123132
132123
132132
123213
132312
132321
123231
等10个数；
（2）121323，131232，123123，123132，121323，121332，132123，132132，123213，132312，213123，213132，312123，312132，212313，213213，312312，313212，213231，312321，231213，231312，321213，321312，231231，231321，321231，321321，232131，323121则共30个符合条件的六位数．
20．解：如果它胜7场，就21分了，不可能．
如果它胜不到4场，那最多3胜9平18分，也不可能．
所以它可能胜4、5、6场．
按19分算，相应地平了7、4、1场．
再用12场去减，负了1、3、5场．
21．解：由同学得到35分可得同学对了3题，错了2题，由同学得到45分可知同学对了4题，错了1题，而，两同学第3，4，6题答案不同，即，两同学错误都在第3，4，6题中，可得第1题正确答案为：错误，第2题正确答案为：正确，第5题正确答案为：正确，由同学得到35分，可得他对了第1题，错了第2，5题，即他对了第3，4题，则第3题正确答案为：错误；第4题正确答案为：正确；所以第6题正确答案为错误，所以可得同学答对了4题，得分为40分．
22．解：（1）完成从点到点必须向北走，或向东走，
到达点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，
故使用分类加法计数原理，由此算出从点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．
答：从点到点的走法共有35种．
故答案为：35；
（2）可先求从点到点，并经过交叉点的走法数，再用从点到点总走法数减去它，即得从点到点，但不经过交叉点的走法数．
完成从点出发经点到点这件事可分两步，先从点到点，再从点到点，
使用分类加法计数原理，算出从点到点的走法是3种，见图2；算出从点到点的走法为6种，
见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从点经点到点的走法有种．
故从点到点但不经过点的走法数为种．
故答案为：17．
23．解：由②知，、两地至少去一地，若去地，则由⑤也必须去、地，
由于①和④必须去、两地，但与③矛盾，
所以不能去地，因此必须去地．
由④也必须去地，
再由③知，不能去地，从而由①知也不能去地，
故参观团只能去、两地．
24．解：由治疗时间最少的人先看，治疗时间最长的后看，即治疗顺序：丙乙甲．
所以三个人留在卫生室的时间总和最少是：（分钟）
25．解：按照原来的顺序从前往后，除去第一副牌有54张，第二副牌中大王、小王，后面依次就是13张黑桃、红桃、方块和梅花，
（张，
最后一张牌是方块6．
26．解：商店有5只分别装有麻油、豆油、菜油，其中麻油一桶，
豆油、菜油各两桶，且麻油重量一定不是，
又豆油的公斤数恰好是菜油的两倍，
豆油的公斤数至少是的2倍，
豆油公斤数是：，
菜油的公斤数是：120，
五只桶分别装的是：菜油，菜油，麻油，豆油，豆油．