《2.2用配方法求解一元二次方程》能力提升专题训练（Word版 附答案）2021-2022学年北师大版九年级数学上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.2用配方法求解一元二次方程》
能力提升专题训练（附答案）
选择题
1．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2＝0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+1）2＝2
B．（x﹣1）2＝2
C．（x+1）2＝3
D．（x﹣1）2＝3
2．对于任意实数x，多项式x2﹣2x+3的值是一个（　　）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．不能确定
3．若关于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一个根是2，则a的值为（　　）
A．
B．﹣
C．﹣或
D．或﹣
4．将式子x2﹣6x+12化为（x+p）2+q的形式，其结果为（　　）
A．（x+3）2+3
B．（x+3）
2﹣3
C．（x﹣3）
2+3
D．（x﹣3）
2﹣3
5．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（　　）
A．M＞N
B．M＝N
C．M≤N
D．M＜N
6．已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（　　）
A．（x﹣p）2＝5
B．（x+p）2＝5
C．（x﹣p）2＝9
D．（x+p）2＝7
填空题
7．如果（x﹣2）2＝9，则x＝　
　．
8．若2x2+3与2x2﹣4互为相反数，则x为　
　．
9．+y2﹣6y+9＝0，则xy＝　
　．
10．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（x+m+1）2+b＝0的解是　
　．
11．已知等腰△ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，则△ABC的周长等于　
　．
12．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝　
　．
13．若多项式p＝a2+2b2+2a+4b+2023，则p的最小值是　
　．
14．如果ax2+3x+＝（3x+）2+m，则a，m的值分别是　
　．
15．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为　
　．
16．方程（x﹣1）2＝20202的根是　
　．
解答题
解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）
18．解方程：2x2+4x﹣1＝0．
19．在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：
求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为
　
　；
（2）求代数式x2+10x+32的最小值；
（3）若7x﹣x2+y﹣11＝0，求x+y的最小值．
20．“a2≥0”这个结论在教学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式（配方法）．
例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1，
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5≥1．
试利用配方法：解决下列问题：
（1）已知x2﹣4x+y2+6y+13＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式A＝6x2+8与B＝x2+8x的大小．
21．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣1
＝（a+3﹣1）（a+3+1）
＝（a+2）（a+4）．
②求x2+6x+11的最小值．
解：原式＝x2+6x+9+2
＝（x+3）2+2．
∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　
　．
（2）因式分解：a2﹣12a+32．
（3）求4x2+4x+3的最小值．
（4）用配方法因式分解：x4+4．
参考答案
1．解：∵x2+2x＝2，
∴x2+2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，
故选：C．
2．解：多项式x2﹣2x+3变形得x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，
任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，
所以（x﹣1）2+2的最小值是2，
故多项式x2﹣2x+3的值是一个正数，
故选：A．
3．解：将x＝2代入原方程即可求出答案．
∴（2a﹣1）2＝16，
∴2a﹣1＝±4，
∴a＝或a＝．
故选：D．
4．解：x2﹣6x+12
＝x2﹣6x+9+12﹣9
＝（x﹣3）2+3．
故选：C．
5．解：N﹣M＝（m2﹣3m）﹣（m﹣4）
＝m2﹣3m﹣m+4
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴N﹣M≥0，即M≤N，
故选：C．
6．解：∵方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，
∴x2﹣2px+p2＝7，
∴﹣6＝﹣2p，
解得：p＝3，
即（x﹣3）2＝7，
∴x2﹣6x+9﹣7＝0，
∴q＝2，
即（x+3）2＝7，
即（x+p）2＝7，
故选：D．
7．解：开方得x﹣2＝±3，
即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3．
解得x1＝5，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝5，x2＝﹣1．
8．解：由题意得：2x2+3+2x2﹣4＝0，
4x2﹣1＝0，
4x2＝1，
x＝±，
故答案为：．
9．解：∵+y2﹣6y+9＝0，
∴+（y﹣3）2＝0，
∵≥0，（y﹣3）2≥0，
∴＝0，（y﹣3）2＝0，
∴3x+4＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣，y＝3，
∴xy＝﹣×3＝﹣4，
故答案为：﹣4．
10．解：把方程a（x+m+1）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
所以x+1＝﹣3，x+1＝2，
所以x1＝﹣4，x2＝1．
故答案为x1＝﹣4，x2＝1．
11．解：∵a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣124+49＝0，
则（a﹣3）2+（b﹣7）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，
∴a＝3，b＝7；
∵△ABC是等腰三角形，
∴①等腰三角形三边长为3，3，7，
∵3+3＝6＜7，
∴3，3，7构不成三角形，
②等腰三角形三边长为3，7，7，
∵3+7＝10＞7，故能构成三角形，
∴△ABC的周长为17，
故答案为：17．
12．解：由题意可知：m+1+2m﹣4＝0，
∴m＝1，
∴m+1＝2，
∴x2＝＝（m+1）2＝4，
∴＝，
故答案为：．
13．解：多项式p＝a2+2b2+2a+4b+2023
＝（a2+2a+1）+2（b2+2b+1）+2020
＝（a+1）2+2（b+2）2+2020，
∵（a+1）2≥0，2（b+2）2≥0，即（a+1）2+2（b+2）2+2020≥2020，
∴p的最小值为2020．
故答案为：2020．
14．解：（3x+）2+m
＝9x2+3x++m，
则a＝9，+m＝，
解得，m＝，
故答案为：9，．
15．解：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，
∴a（﹣2+c）2+b＝0或a（1+c）2+b＝0，
∴（﹣2+c）2＝﹣或（1+c）2＝﹣，
∴﹣2+c+1+c＝0，
解得，c＝0.5，
∴（﹣2+0.5）2＝﹣，
∴＝，
∵a（x+c﹣2）2+b＝0，
∴（x+0.5﹣2）2＝，
解得，x1＝3，x2＝0，
故答案为：3，0．
16．解：∵（x﹣1）2＝20202，
∴x﹣1＝2020或x﹣1＝﹣2020，
解得x1＝2021，x2＝﹣2019，
故答案为：x1＝2021，x2＝﹣2019．
17．解：由原方程移项，得
x2﹣6x＝﹣4，
等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2﹣6x+9＝﹣4+9，
即（x﹣3）2＝5，
∴x＝±+3，
∴x1＝+3，x2＝﹣+3．
18．解：（x+1）2＝，
解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
19．解：（1）3，
故答案为：3．
（2）x2+10x+32＝x2+10x+52﹣52+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2+7≥7，
∴当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值为7，
∴x2+10x+32的最小值为7；
（3）∵7x﹣x2+y﹣11＝0，
∴y＝x2﹣7x+11，
∴x+y＝x2﹣7x+11+x＝x2﹣6x+11＝x2﹣6x+32﹣32+11＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2≥2，
当（x﹣3）2＝0时，（x﹣3）2+2的值最小，最小值为2，
∴x+y的最小值为2．
20．解：（1）∵x2﹣4x+y2+6y+13＝0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，
∴x+y＝﹣1；
（2）∵A﹣B＝6x2+8﹣（x2+8x）
＝5x2﹣8x+8
＝5（x﹣）2+，
∵5（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+＞0，
∴A＞B．
21．解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，
故答案为：4；
（2）a2﹣12a+32
＝a2﹣12a+36﹣4
＝（a﹣6）2﹣4
＝（a﹣6+2）（a﹣6﹣2）
＝（a﹣4）（a﹣8）；
（3）4x2+4x+3
＝4x2+4x+1+2
＝（2x+1）2+2，
∵（2x+1）2≥0，
∴（2x+1）2+2≥2，
∴4x2+4x+3的最小值为2；
（4）x4+4
＝x4+4+4x2﹣4x2
＝（x2+2）2﹣4x2
＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）