1.3.2 正方形的判定同步练习卷 2021-2022学年 北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

1.3.2
正方形的判定
A卷
一、填空题
1．一个四边形满足
　
　时，是正方形．
2．一个平行四边形满足
　
　时，是正方形．
3．一个矩形满足
　
　时，是正方形．
4．一个菱形满足
　
　时，是正方形．
5．如图，将一张矩形纸片对折两次（两条折痕互相垂直），然后剪下一个角后，打开这个角，如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成
　
　角．
6．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若使四边形EFGH为正方形，则四边形ABCD的对角线应具有的性质是
　
　．
二、选择题
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　）
A．BD＝AB
B．AC＝AD
C．∠ABC＝90°
D．OD＝AC
8．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出②
D．由①推出③，由③推出②
9．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　）
A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
10．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，?ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE＝OF；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF．
这四位同学写出的结论中不正确的是（　　）
A．小青
B．小何
C．小夏
D．小雨
三、解答题
11．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．
12．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；
（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．
（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
B卷
四、填空题
13．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P，若四边形ABCD的面积是48，则DP的长是　
　．
14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．给出下面四个结论：
①OA＝OD；
②AD⊥EF；
③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE2+DF2＝AF2+DE2．
其中正确的是
　
　．（填序号）
15．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　
　．（请写出正确结论的序号）．
五、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点，过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F．
（1）求证：EB＝BF；
（2）当为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论；
（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由．
17．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
参考答案与试题解析
一、填空题
1．一个四边形满足
　对角线互相垂直平分且相等（答案不唯一）　时，是正方形．
【分析】根据正方形的判定可得出答案．
【解答】解：一个四边形满足对角线互相垂直平分且相等时，是正方形．
故答案为：对角线互相垂直平分且相等（答案不唯一）．
2．一个平行四边形满足
　对角线互相垂直且相等（答案不唯一）　时，是正方形．
【分析】根据平行四边形的性质及正方形的判定可得出答案．
【解答】解：一个平行四边形满足对角线互相垂直且相等时，是正方形．
故答案为对角线互相垂直且相等（答案不唯一）．
3．一个矩形满足
　对角线互相垂直（答案不唯一）　时，是正方形．
【分析】根据矩形的性质及正方形的判定可得出答案．
【解答】解：一个矩形满足对角线互相垂直时，是正方形．
故答案为对角线互相垂直（答案不唯一）．
4．一个菱形满足
　对角线相等（答案不唯一）　时，是正方形．
【分析】四边形ABCD为菱形，当满足对角线相等（或有一个角是直角）条件时，就是正方形．
【解答】解：满足的条件是：对角线相等（答案不唯一）．
故答案为对角线相等（答案不唯一）．
5．如图，将一张矩形纸片对折两次（两条折痕互相垂直），然后剪下一个角后，打开这个角，如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成
　45°　角．
【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，
所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．
故答案为：45°
6．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若使四边形EFGH为正方形，则四边形ABCD的对角线应具有的性质是
　垂直且相等　．
【分析】连接AC，BD，由正方形的性质EF＝FG，EF⊥FG，由三角形中位线定理可得EF∥AC，AC＝2EF，FG∥BD，BD＝2FG，可得AC＝BD，AC⊥BD．
【解答】解：连接AC，BD，
∵四边形EFGH为正方形，
∴EF＝FG，EF⊥FG，
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
∴EF∥AC，AC＝2EF，FG∥BD，BD＝2FG，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
故答案为：垂直且相等．
二、选择题
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　）
A．BD＝AB
B．AC＝AD
C．∠ABC＝90°
D．OD＝AC
【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．
即∠ABC＝90°或AC＝BD．
故选：C．
8．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出②
D．由①推出③，由③推出②
【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．
【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，
故①→②，①→③错误，
故选项B，C，D错误，
故选：A．
9．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　）
A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、正确．∵∠ACB＝∠EFD＝30°，
∴AC∥DF，
∵AC＝DF，
∴四边形AFDC是平行四边形．故正确．
B、错误．当E是BC中点时，无法证明∠ACD＝90°，故错误．
C、正确．B、E重合时，易证FA＝FD，∵四边形AFDC是平行四边形，
∴四边形AFDC是菱形，
D、正确．当四边相等时，∠AFD＝60°，∠FAC＝120°，∴四边形AFDC不可能是正方形．
故选：B．
10．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，?ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE＝OF；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF．
这四位同学写出的结论中不正确的是（　　）
A．小青
B．小何
C．小夏
D．小雨
【分析】利用平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，一一判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，CD∥AB，
∴∠ECO＝∠FAO，（故小雨的结论正确），
在△EOC和△FOA中，
，
∴△EOC≌△FOA，
∴OE＝OF（故小青的结论正确），
∴S△EOC＝S△AOF，
∴S四边形AFED＝S△ADC＝S平行四边形ABCD，
∴S四边形AFED＝S四边形FBCE故小夏的结论正确，
∵△EOC≌△FOA，
∴EC＝AF，∵CD＝AB，
∴DE＝FB，DE∥FB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵OD＝OB，EO⊥DB，
∴ED＝EB，
∴四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，故小何的结论错误，
故选：B．
三、解答题
11．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．
【分析】先判断出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，进而求出∠AFD＝∠AEB＝75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
12．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；
（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．
（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，又因为CF＝AE，BE＝EC＝BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；
（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A＝45度．
【解答】解：（1）四边形BECF是菱形．
∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠3＝∠1，
∵∠ACB＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠4，
∴EC＝AE，
∴BE＝AE，
∵CF＝AE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形．
（2）当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠1＝45°，
∴∠EBF＝2∠A＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
四、填空题
13．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P，若四边形ABCD的面积是48，则DP的长是　4　．
【分析】过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出∠ADP＝∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝48，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP＝＝4．
故答案为：4．
14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．给出下面四个结论：
①OA＝OD；
②AD⊥EF；
③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE2+DF2＝AF2+DE2．
其中正确的是
　②③④　．（填序号）
【分析】由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，由“AAS”可证△AED≌△AFD，可得DE＝DF，AE＝AF，可得AD⊥EF，EO＝FO，故②正确，当四边形AEDF是矩形时，才能得到OA＝OD，故①错误，由正方形的判定可证四边形AEDF是正方形，故③正确，由DE＝DF，AE＝AF，可得AE2+DF2＝AF2+DE2．故④正确，即可求解．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE＝DF，AE＝AF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴AD⊥EF，EO＝FO，故②正确，
当∠BAC＝90°时，且∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
此时OA＝OD，故①错误，
又∵DE＝DF，
∴矩形AEDF是正方形，故③正确；
∵DE＝DF，AE＝AF，
∴AE2+DF2＝AF2+DE2．故④正确；
故答案为②③④．
15．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　①②　．（请写出正确结论的序号）．
【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE＝∠CBF＝60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF＝AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF＝AD，AE＝DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB＝AC，∠BAC＝120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．
【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF＝AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；
∴∠FEA＝∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB＝∠ADF+∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
．
∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；
若AB＝AC，∠BAC＝120°，则有AE＝AD，∠EAD＝120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，
故答案为：①②．
五、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点，过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F．
（1）求证：EB＝BF；
（2）当为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论；
（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的性质以及等角对等边即可得出BO＝BF，BO＝BE，进而求出答案；
（2）根据当＝时，首先求出四边形AEOF是平行四边形，进而得出利用角平分线的性质得出∠EOF＝90°，即可得出四边形AEOF是矩形；
（3）根据当A点在y轴时，即A点坐标为（0，4）时，有OA⊥EF，此时，取OA的中点B（0，2），由（2）知四边形AEOF是矩形，进而即可得出四边形AEOF为正方形．
【解答】（1）证明：如图所示；
∵OF是∠AOX的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵MN∥x轴，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴BO＝BF，
同理可证BO＝BE，
∴EB＝BF，
（2）解：当＝，四边形AEOF是矩形，
∵＝，
∴OB＝AB，
又∵BE＝BF，
∴四边形AEOF是平行四边形，
∵OE、OF是角平分线，
∴∠EOF＝90°，
∴四边形AEOF是矩形；
（3）解：存在点A、B使四边形AEOF为正方形，如图所示，
∵MN∥x轴，
∴当A点在y轴时，即A点坐标为（0，4）时，有OA⊥EF，此时，取OA的中点B（0，2），由（2）知四边形AEOF是矩形，
∴四边形AEOF为正方形，
∴存在A（0，4），B（0，2），使四边形AEOF为正方形．
17．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可；
【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°
综上所述，∠EFC＝120°或30°．