《1.1.1 菱形的性质》同步练习 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

1.1.1
菱形的性质
一、选择题
1.边长为3cm的菱形的周长是（　　）
A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．15cm
2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．24
B．25
C．26
D．30
3如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，则BD等于（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
4如图，菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为（　　）
A．7
B．5
C．4
D．3
5在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（　　）
A．长方形
B．平行四边形
C．菱形
D．直角梯形
6如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A．
B．
C．5
D．4
7如图，在菱形ABCD中．点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE．若EH＝2EF，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝EF
B．AB＝2EF
C．AB＝EF
D．AB＝EF
8如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是（　　）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．8cm
二、填空题
9.有一组
　　相等的平行四边形叫做菱形．菱形是轴对称图形，有
　　条对称轴．
10.菱形的四条边
　　，菱形的对角线互相
　　．
11.如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB、CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为　　．
12.如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF．其中结论正确的个数是
　　个．
13.如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长为　
　．
14.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为　
　．
15.小明设计了一个如图的风筝，其中，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，点C在AF上，点E、G分别在BC、CD上．若∠BAD＝135°，∠EAG＝75°，AE＝100cm，菱形ABCD的边长为
　　cm．
三、解答题
16.如图，已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．
17.如图，在?ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
18.如图，已知四边形ABFC为菱形，点D、A、E在直线l上，∠BDA＝∠BAC＝∠CEA．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若∠FBA＝60°，连接DF、EF，判断△DEF的形状，并说明理由．
1.1.1
菱形的性质
一、选择题
1.边长为3cm的菱形的周长是（　　）
A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．15cm
【考点】菱形的性质．
【答案】C
【分析】利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．
【解答】解：∵菱形的各边长相等，
∴边长为3cm的菱形的周长是：3×4＝12（cm）．
故选：C．
2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．24
B．25
C．26
D．30
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质．
【专题】矩形
菱形
正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△AOD为直角三角形．
∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝6．
C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24．
故选：A．
3如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，则BD等于（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形
菱形
正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，在Rt△AOB中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD＝2BO，
在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，AB＝5，AO＝4，
∴BO＝＝3，
∴BD＝2BO＝6．
故选：C．
4如图，菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为（　　）
A．7
B．5
C．4
D．3
【考点】菱形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】矩形
菱形
正方形；平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】B
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．
【解答】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ＝CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，
即NQ＝5，
∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，
故选：B．
5在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（　　）
A．长方形
B．平行四边形
C．菱形
D．直角梯形
【考点】多边形．
【答案】C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直即可判断．
【解答】解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．
故选：C．
6如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A．
B．
C．5
D．4
【考点】菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形
菱形
正方形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
7如图，在菱形ABCD中．点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE．若EH＝2EF，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝EF
B．AB＝2EF
C．AB＝EF
D．AB＝EF
【考点】菱形的性质；中点四边形．
【专题】推理填空题．
【答案】D
【分析】连接AC、BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接AC、BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，
∴EF＝AC，EF∥AC，EH＝BD，EH∥BD，
∵EH＝2EF，
∴OB＝2OA，
∴AB＝＝OA，
∴AB＝EF，
故选：D．
8如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是（　　）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．8cm
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】作PF⊥BC于F，如图，根据菱形的性质得BD平分∠ABC，然后根据角平分线的性质易得PF＝PE＝4cm．
【解答】解：作PF⊥BC于F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PF＝PE＝4cm，
即点P到BC的距离为4cm．
故选：C．
二、填空题
9.有一组
　　相等的平行四边形叫做菱形．菱形是轴对称图形，有
　　条对称轴．
【考点】轴对称的性质；轴对称图形．
【专题】矩形
菱形
正方形；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】邻边；两．
【分析】根据菱形的判断方法与性质填空即可．
【解答】解：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形是轴对称图形，有两条对称轴．
故答案为：邻边；两．
10.菱形的四条边
　　，菱形的对角线互相
　　．
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形
菱形
正方形；推理能力．
【答案】相等；垂直．
【分析】根据菱形的四条边相等，对角线互相垂直解答即可．
【解答】解：菱形的四条边相等，对角线互相垂直；
故答案为：相等；垂直．
11.如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB、CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为　　．
【考点】菱形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，
∴∠BCA＝∠DAC＝28°，
∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故答案为：62°．
12.如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF．其中结论正确的个数是
　　个．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形
菱形
正方形；推理能力．
【答案】3．
【分析】首先连接BD，易证得△ADE≌△BDF，然后可证得DE＝DF，AE＝BF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE＝∠BEF．
【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ADB＝∠ADC，AB∥CD，
∵∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，
同理：∠DBF＝60°，
即∠A＝∠DBF，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
∵∠ADE+∠BDE＝60°，∠BDE+∠BDF＝∠EDF＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，AE＝BF，故①正确；
∵∠EDF＝60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴②正确；
∴∠DEF＝60°，
∴∠AED+∠BEF＝120°，
∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠ADE＝∠BEF；
故④正确．
∵△ADE≌△BDF，
∴AE＝BF，
同理：BE＝CF，
但BE不一定等于BF．
故③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故答案为：3．
13.如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长为　
　．
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据菱形的性质可得：AB＝AD，然后根据∠A＝60°，可得三角形ABD为等边三角形，继而可得出边长以及周长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵BD＝7，
∴AB＝BD＝7，
∴菱形ABCD的周长＝4×7＝28．
故答案为：28．
14.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为　
　．
【考点】等腰三角形的性质；菱形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图当点E在BD右侧时，求出∠EBD，∠DBC即可解决问题，当点E在BD左侧时，求出∠DBE′即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠A＝∠C＝30°，
∠ABC＝∠ADC＝150°，
∴∠DBA＝∠DBC＝75°，
∵ED＝EB，∠DEB＝120°，
∴∠EBD＝∠EDB＝30°，
∴∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝105°，
当点E′在BD右侧时，∵∠DBE′＝30°，
∴∠E′BC＝∠DBC﹣∠DBE′＝45°，
∴∠EBC＝105°或45°，
故答案为105°或45°．
15.小明设计了一个如图的风筝，其中，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，点C在AF上，点E、G分别在BC、CD上．若∠BAD＝135°，∠EAG＝75°，AE＝100cm，菱形ABCD的边长为
　　cm．
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形
菱形
正方形；推理能力．
【答案】50+50．
【分析】根据菱形的性质可得出∠BAE＝30°，∠B＝45°，过点E作EM⊥AB于点M，设EM＝x，则可得出AB、AE的长度，继而可得出的值，求出AB即可．
【解答】解：∵∠BAD＝135°，∠EAG＝75°，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝45°，∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝30°，
过点E作EM⊥AB于点M，设EM＝x，
在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2x，AM＝x，
在Rt△BEM中，BM＝x，
则，
∵AE＝100cm，
∴AB＝50（+1）cm，
∴菱形ABCD的边长为：50（+1）cm，
故答案为：50+50．
三、解答题
16.如图，已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．
【考点】菱形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AC，根据菱形的四条边都相等可得AB＝BC，然后求出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再求出∠BAE＝∠CAF，∠B＝∠ACD，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，再求出△AEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AEF＝60°，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AEF+∠CEF＝∠B+∠BAE，从而得到∠CEF＝∠BAE．
【解答】解：如图，连接AC，在菱形ABCD中，AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝60°，
∴∠B＝∠ACD＝60°，
又∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
由三角形的外角性质，
∠AEF+∠CEF＝∠B+∠BAE，
∴∠CEF＝∠BAE＝18°．
17.如图，在?ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
【考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的性质．
【专题】计算题；证明题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．
第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．
【解答】（1）证明：∵在?ABCD中，AB＝CD，
∴BC＝AD，∠ABC＝∠CDA．
又∵BE＝EC＝BC，AF＝DF＝AD，
∴BE＝DF．
∴△ABE≌△CDF．
（2）解：∵四边形AECF为菱形，
∴AE＝EC．
又∵点E是边BC的中点，
∴BE＝EC，即BE＝AE．
又∵BC＝2AB＝4，
∴AB＝BC＝BE，
∴AB＝BE＝AE，即△ABE为等边三角形，如图，
过点A作AH⊥BC于H，
∴BH＝BE＝1，
根据勾股定理得，AH＝
∴菱形AECF的面积为2．
18.如图，已知四边形ABFC为菱形，点D、A、E在直线l上，∠BDA＝∠BAC＝∠CEA．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若∠FBA＝60°，连接DF、EF，判断△DEF的形状，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；菱形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用菱形的性质得出AB＝AC，进而得出∠2＝∠3，即可利用AAS证明△ABD≌△CAE；
（2）易证△ABF与△ACF均为等边三角形，然后证明△FBD≌△FAE，则DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，从而求得∠DFE的度数，即可证得：△DEF是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABFC为菱形，
∴AB＝AC．
∵∠BDA＝∠BAC＝∠CEA，
又∵∠2+∠1＝180°﹣∠BDA，∠3+∠1＝180°﹣∠BAC，
∴∠2＝∠3．
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）答：△DEF是等边三角形．
解：连接AF，
∵四边形ABFC为菱形，∠FBA＝60°，
∴△ABF与△ACF均为等边三角形，
∴BF＝AF，∠FBA＝∠FAC＝60°＝∠BFA．
∵∠2＝∠3，
∴∠FBA+∠2＝∠FAC+∠3，即∠FBD＝∠FAE，
∵△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE．
在△FBD和△FAE中，
，
∴△FBD≌△FAE，
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE．
∵∠BFA＝∠BFD+∠DFA＝60°，
∴∠AFE+∠DFA＝60°，即∠DFE＝60°．
∴△DEF是等边三角形．