2021_2022学年新教材高中数学新题型专练：2.3二次函数与一元二次方程不等式(word含解析）

二次函数与一元二次方程、不等式
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．记不等式(x－m)(x＋2)＜0的解集为A，不等式
(x－1)x≤0的解集为B.若B?A，则正数m的取值范围为(　　)
A．{m|m＞1}
B．{m|m≥1}
C．{m|m＜1}
D．{m|m≤1}
2．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|－1＜a≤0或2≤a＜3}
B．{a|－2＜a≤－1或3＜a≤4}
C．{a|－1≤a<0或2＜a≤3}
D．{a|－2＜a＜－1或3＜a＜4}
3．若关于x的式子当x∈R时恒有意义，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥0
B．a＜0
C．a＜
D．a≥0或a＜
4．(多选题)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则下列结论正确的是(　　)
A．不等式ax2－bx＋c＞0的解集是{x|－4＜x＜－3}
B．不等式cx2－bx＋a＞0的解集是{x|－＜x＜－}
C.不等式cx2－bx＋a＞0的解集是
D．不等式cx2＋bx＋a＞0的解集是
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若a>0，b>0，则不等式－b<6．某型号的手机，经两次降价，单价由原来2
000元降到1
280元，则这种手机平均降价的百分率为________．
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．已知不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为M.
(1)若2∈M，求实数a的取值范围；
(2)当M为空集时，求不等式＜2的解集．
8．若不等式－x2＋2x>mx的解集为{x|0＜x＜2}．
(1)求m的值；
(2)已知正实数a，b满足a＋4b＝mab，求a＋b的最小值．
9．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
参考答案：
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．记不等式(x－m)(x＋2)＜0的解集为A，不等式
(x－1)x≤0的解集为B.若B?A，则正数m的取值范围为(　　)
A．{m|m＞1}
B．{m|m≥1}
C．{m|m＜1}
D．{m|m≤1}
【解析】选A.由m＞0，不等式(x－m)(x＋2)＜0的解集为A，所以A＝{x|－2＜x＜m}；又不等式(x－1)x≤0的解集为B＝{x|0≤x≤1}，且B?A，所以m＞1，即正数m的取值范围是{m|m＞1}．
2．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|－1＜a≤0或2≤a＜3}
B．{a|－2＜a≤－1或3＜a≤4}
C．{a|－1≤a<0或2＜a≤3}
D．{a|－2＜a＜－1或3＜a＜4}
【解析】选C.不等式x2－(a＋1)x＋a＜0可化为(x－1)·(x－a)＜0；当a＝1时，不等式的解集为空集，不符合题意；当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，由解集中恰有一个整数，则实数a满足2＜a≤3；当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，由解集中恰有一个整数，则实数a满足－1≤a＜0；综上知，实数a的取值范围是{a|－1≤a＜0或2＜a≤3}．
3．若关于x的式子当x∈R时恒有意义，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥0
B．a＜0
C．a＜
D．a≥0或a＜
【解析】选A.由题意得?x∈R，不等式ax2＋ax＋a＋1＞0.当a＝0时，不等式即1＞0，恒成立．
当a≠0时由题意可得Δ＝a2－4a(a＋1)＜0，且a＞0，解得a＞0.综上，实数a的取值范围是a≥0.
4．(多选题)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则下列结论正确的是(　　)
A．不等式ax2－bx＋c＞0的解集是{x|－4＜x＜－3}
B．不等式cx2－bx＋a＞0的解集是{x|－＜x＜－}
C.不等式cx2－bx＋a＞0的解集是
D．不等式cx2＋bx＋a＞0的解集是
【解析】选ABD.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|3＜x＜4}，所以方程ax2＋bx＋c＝0的解是3和4，且a＜0所以
解得b＝－7a，c＝12a且a＜0；对于A，不等式ax2－bx＋c＞0化为ax2＋7ax＋12a＞0，即x2＋7x＋12＜0，
解得－4＜x＜－3，
所以不等式的解集是{x|－4＜x＜－3}，A正确；
对于B和C，不等式cx2－bx＋a＞0化为12ax2＋7ax＋a＞0，即12x2＋7x＋1＜0，
解得－＜x＜－，所以不等式的解集是，B正确，C错误；对于D，不等式cx2＋bx＋a＞0化为12ax2－7ax＋a＞0，即12x2－7x＋1＜0，解得＜x＜，
所以不等式的解集是，D正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若a>0，b>0，则不等式－b<【解析】原不等式可化为
即
可得
故不等式的解集为.
答案：
6．某型号的手机，经两次降价，单价由原来2
000元降到1
280元，则这种手机平均降价的百分率为________．
【解析】设降价的百分率为x%，
则2
000(1－x%)2＝1
280，
所以(1－x%)2＝64%，
所以1－x%＝80%，
所以x%＝20%.
所以这种手机平均降价的百分率为20%.
答案：20%
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．已知不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为M.
(1)若2∈M，求实数a的取值范围；
(2)当M为空集时，求不等式＜2的解集．
【解析】(1)由已知2∈M可得，4－2(a＋1)＋a＜0，解得a＞2.
(2)当M为空集时，即(x－a)(x－1)＜0的解集为空集，此时a＝1，
所以<2，即为<2，
所以>0，x>或x＜1，
所以此不等式的解集为.
8．若不等式－x2＋2x>mx的解集为{x|0＜x＜2}．
(1)求m的值；
(2)已知正实数a，b满足a＋4b＝mab，求a＋b的最小值．
【解析】(1)不等式－x2＋2x>mx，
可化为x2＋(m－2)x＜0，
即x[x＋2(m－2)]＜0，
所以不等式对应方程的两根为0和－2(m－2)，
又不等式的解集为{x|0＜x＜2}，
所以－2(m－2)＝2，
解得m＝1；
(2)由正实数a，b满足a＋4b＝mab，
所以a＋4b＝ab，
所以＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当a＝2b＝6时取等号，所以a＋b的最小值为9.
9．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【解析】(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即
解得0所以投入成本增加的比例x应在0PAGE