3.1勾股定理（1）
教学目标
【知识与能力】
理解勾股定理
、通过分割法让学生验证勾股定理
【过程与方法】
能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单的问题。
【情感态度价值观】
探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力.
教学重难点
【教学重点】
勾股定理的内容[
【教学难点】
应用勾股定理解决简单的问题[
课前准备
无
教学过程
一、【学前预习反馈】
观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：
正方形P的面积＝________________平方厘米；
正方形Q的面积＝________________平方厘米.
正方形R的面积＝_________
_____平方厘米.
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是______________________________；
AB、AC、BC的关系是
二、【新知探求】
1．观察图形，我们以直角三角形ABC三边为边向形外作三个正方形．若将图形①②③④⑤剪下，用它们可以拼一个与正方形ABDE大小一样的正方形吗？
2.拼图活动引发我们的灵感，运算推演证实我们的猜想．为了计算面积方便，我们可将这幅图形放在方格纸中．如果每一个小方格的边长记作“1”，请你求出此时三个正方形的面积。．你是如何得到的？如何求SR？
3．仿照以上方法计算直角边为5和3的直角三角形中以斜边为边的正方形面积．
4．我们这节课是探索直角三角形三边数量关系．至此，你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？
2、典型例题
例1.求下列直角三角形中未知边的长：
例2.
下列图中正方形的面积如图所示，求表示边的未知数x、y、z的值.
例3．算一算：如图，一块长约80米、宽约60米的长方形草坪，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，类似的现象也时有发生．请问同学们：
（1）走斜“路”的客观原因是什么？为什么？
（2）斜“路”比正路近多少？
三、【课堂检测】
1.在Rt△ABC中，∠C-90°.
（1）如果BC=9,AC=12,那么AB=
（2）如果BC=8,AB=10,那么AC=
（3）如果AC=20,BC=15,那么AB=
（4）如果AB=13,AC=12,那么BC=
2.在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,
求：（1）AC的长；
（2）⊿ABC的面积；
（3）CD的长。
网四、【课后巩固】
1．若等腰三角形腰长为10cm,底边长为16
cm,那么底边上的高为
(
)
A.
12
cm
B.
10
cm
C.
8
cm
D.
6
cm
2.一个高3
米,宽4
米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为
(
)
A.3
米
B.4
米
C.5米
D.6米
3.
湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA
=13千米,CB
=12千米,则AB
(
)
A.5千米
B.12千米
C.10千米
D.13千米
4.
如图,将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米
(1)
求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.
(2)
若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部A向下移动了多少米？
A
D
B
C
C1
五、【知识梳理】
1.小结所学知识：
2.本节课易错点：（可以找与错题类似的题目补充在下面）
-
4
-3.1勾股定理（2）
教学目标
【知识与能力】
能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题
【过程与方法】
1.让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程．并从过程中让学生体会数形结
合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力
2.经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想。
【情感态度价值观】
经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值
教学重难点
【教学重点】
勾股定理的探索过程．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的思想认识[
【教学难点】
通过拼图验证勾股定理的过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法与经验[
课前准备
无
教学过程
一、预习·质疑
1．同学们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分别长6和8，你知道第三边的长吗？你知道第三边长的范围吗？
2．如果又已知这两边的夹角是90度，那么第三边的长确定吗？
二、展示·探究
1.
如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，我们可以探索得出
之间的数量关系
(
a
a
b
b
c
c
A
D
E
C
B
)
2.通过以上计算我们可以发现：
在直角△ABC中
，若∠C=90°，则
3.例题1.
求下列直角三角形中未知边的长
①
②
③
4.例题2.
求下列图中未知数x、y、z的值（阴影部分为正方形）
①
②
③]
5.思考：如图：一块长约80
m、宽约60
m的长方形草坪，被几个不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，这种情况在生活中时有发生．请问同学们：
（1）这几位同学为什么不走正路，走斜“路”？
（2）走斜“路”比正路少走几步呢？
（3）他们这样做，值得吗？
-
1
-3.2勾股定理的逆定理
教学目标
【知识与能力】
会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）
【过程与方法】
会用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形，探索怎样的数组是“勾股数”，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力
【情感态度价值观】
经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系
教学重难点
【教学重点】
掌握“三边a、b、c的长满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形”这一方法进行直角三角形的判定[
【教学难点】
了解勾股数的由来，并能用它来解决一些简单的问题
课前准备
无
教学过程
一、复习引入
⑴我们学过的直角三角形的判定方法有哪些？（定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。）
⑵、我们知道把等腰三角形的性质逆着用，就是等腰三角形的判定方法，那么把勾股定理反过来是不是可以判定一个三角形是直角三角形呢？（即若三角形的3边a
，b，c，如果满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是否是直角三角形呢？）
二、实践探索
猜想归纳
1、画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）．
A．3，4，3；??
B．3，4，5；
C．3，4，6；??
D．5，12，13．
判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状．
猜想：三角形的三边满足什么条件时，这个三角形是直角三角形？
3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
4．你会用这个结论判断一个三角形是不是直角三角形吗？这个结论与勾股定理有什么关系吗？
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2
,那么这个三角形是直角三角形.
∵a2+b2=c2
∴ΔABC为RtΔ
探索规律：1．满足a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．
例如：3、4、5是一组勾股数，古巴比伦泥板上的神秘数组都是勾股数，利用勾股数可以构造直角三角形．
除了3、4、5这组勾股数之外，你还能写出其他的勾股数吗？先独立思考，再与同学交流你的结果．
2．判断：下列各组数是勾股数吗？
（1）6，8，10；（2）9，12，15；（3）12，16，20．
你发现什么规律？
3、引导学生阅读课本P84你能猜想这些神秘的数组揭示什么奥秘了吗？请你验证你的猜想。
（古巴比伦泥板上的神秘数组都是勾股数）利用勾股数可以构造直角三角形.
三、课堂练习
巩固新知
例1：下列各组数是勾股数吗?为什么?
(1)12,15,18;
(2)7,24,25
;
(3)
15,36,39;
(4)12,35,36.
例2、 很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．
例3、 已知某校有一块四边形空地ABCD，如图现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
变式：要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗
？
四、课堂小结
布置作业
-
1
-3.3勾股定理的简单应用（1）
教学目标
【知识与能力】
能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题
【过程与方法】
在应用勾股定理解决实际问题时，体会数学建模思想
【情感态度价值观】
体会数学来源于生活并应用于生活
教学重难点
【教学重点】
在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值[
【教学难点】
在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值
课前准备
无
教学过程
一、课前预习与导学
1．（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，BC=2，则AC=_________．
（2）一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm、3cm，则第三边的长是_________．
3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m．问至少需要多长的梯子？
二、新课
1．情境创设
本课时的教学内容是勾股定理在实际中的应用。除课本提供的情境外，教学中可以根据实际情况另行设计一些具体情境，也利用课本提供的素材组织数学活动。比如，把课本例2改编为开放式的问题情境：
一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑0.5m，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流．
创设学生身边的问题情境，为每一个学生提供探索的空间，有利于发挥学生的主体性；这样的问题学生常常会从自己的生活经验出发，产生不同的思考方法和结论(教学中学生可能的结论有：底端也滑动
0.5m；如果梯子的顶端滑到地面上，梯子的顶端则滑动8m，估计梯子底端的滑动小于8m，所以梯子的顶端下滑0.5m，它的底端的滑动小于0.5m；构造直角三角形，运用勾股定理计算梯子滑动前、后底端到墙的垂直距离的差，得出梯子底端滑动约0.61m的结论等)；通过与同学交流，完善各自的想法，有利于学生主动地把实际问题转化为数学问题，从中感受用数学的眼光审视客观世界的乐趣．
2．探索活动
问题一
在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑
1m，那么梯子的底端滑动多少米?
组织学生尝试用勾股定理解决问题，对有困难的学生教师给予及时的帮助和指导．
问题二
从上面所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗?与同学交流．
设计问题二促使学生能主动积极地从数学的角度思考实际问题．教学中学生可能会有多种思考．比如，①这个变化过程中，梯子底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大；②因为梯子顶端下滑到地面时，顶端下滑了8m，而底端只滑动4m，所以这个变化过程中，梯子底端滑动的距离不一定比顶端下滑的距离大；③由勾股数可知，当梯子顶端下滑到离地面的垂直距离为6m，即顶端下滑2m时，底端到墙的垂直距离是8m，即底端电滑动2m等。教学中不要把寻找规律作为这个探索活动的目标，应让学生进行充分的交流，使学生逐步学会运用数学的眼光去审视客观世界，从不同的角度去思考问题，获得一些研究问题的经验和方法．
3．例题教学
课本的例1是勾股定理的简单应用，教学中可根据教学的实际情况补充一些实际应用问题，把课本习题2.7第4题作为补充例题．通过这个问题的讨论，把“32+b2=c2”看作一个方程，设折断处离地面x尺，依据问题给出的条件就把它转化为熟悉的会解的一元二次方程32+x2=(10—x)2，从中可以让学生感受数学的“转化”思想，进一步了解勾股定理的悠久历史和我国古代人民的聪明才智．
4.
小结
我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．
作业
1.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km，乙往南走了6km，这时甲、乙两人相距__________km．
2．如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（
）．
（A）20cm
（B）10cm
（C）14cm
（D）无法确定
3.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m．求这块草坪的面积．
-
1
-3.3勾股定理的简单应用（2）
教学目标
【知识与能力】
能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题
【过程与方法】
在应用勾股定理解决实际问题时，体会数学建模思想
【情感态度价值观】
体会数学来源于生活并应用于生活
教学重难点
【教学重点】
在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值[
【教学难点】
在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值
课前准备
无
教学过程
一、课前预习与导学
1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（
）．
（A）4
（B）4或34
（C）16或34
（D）4或
2．以下列各组数线段a、b、c为边的三角形中，不是直角三角形的是（
）．
（A）a=1．5，b=2，c=3
（B）a=7，b=24，c=25
（C）a=6，b=8，c=10
（D）a=3，b=4，c=5
3．若三角形的三边长a、b、c满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（
）．
（A）锐角三角形
（B）钝角三角形
（C）直角三角形
（D）何类三角形不能确定
4.如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
二、新课
1．情境创设
本课时的教学内容是勾股定理在数学内部的应用．课本设计用勾股定理探索一些无理数的活动，与本章第1节的“实验”，第2节的“由古巴比伦泥板上的一组数画三角形”相类似，都是为了使学生不断地感受“数”与“形”的内在联系、感受数学的整体性．
2．探索活动
问题一
在右图的直角三角形中，利用勾股定理可知
x=，根据已有的知识，你还知道哪些与这个三角形有关的数据信息吗?
两个锐角都是45°，这个三角形的面积是，周长是2+，斜边上的高、中线是．
问题二
你知道与右图的三角形有关的哪些数据信息呢?
问题三
如果要知道一个等边三角形的有关信息，你认为至少需要哪些信息?与同学交流．
问题一是把情境创设中的问题拓宽，为问题二、问题三作铺垫．通过对问题二、问题三的讨论交流，使学生主动地在等腰三角形、等边三角形中构造直角三角形，从而把解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题．
3．例题教学
(1)例1的教学中可以根据教学的实际情况，变换问题的条件(比如等边三角形的角平分线是6cm)，以利于学生进一步认识等腰三角形、直角三角形的基本性质及相互关系；
(2)例2是勾股定理及直角三角形判定条件的综合应用，教学中应更多地关注发展学生有条理地思考和表达的能力．
4．小结
从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系；把研究等腰三角形转化为研究直角三角形，这是研究问题的一种策略．
作业：
1.在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=________．
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________．
3.
已知一个三角形的三边长分别是12cm、16cm、20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？
4.如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
-
1
-
