人教版九年级上册21.2.2公式法课件（30张ppt）

(共30张PPT)
九年级数学上册
解：
移项，得
配方
由此可得
利用配方法解一元二次方程
回顾旧知
化：把原方程化成
x2＋px＋q
=
0
的形式.
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px
=－q.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.
求解：解一元一次方程.
定解：写出原方程的解.
用配方法解一元二次方程的步骤
方程右边是非负数
x2＋px＋
(
)2
=
－q＋
(
)2
(
x+
)2
=－q＋
(
)2
【思考】如何用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？
导入新知
3.会熟练应用公式法解一元二次方程.
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.
2.灵活应用△
=b?－4ac
的值识别一元二次方程根的情况.
学习目标
ax2＋bx＋c
=
0(a≠0)
公式法的概念
探究新知
知识点
1
问题1
一元二次方程的一般形式是什么？
【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
方程两边都除以　，得
解:
移项，得
配方，得
即
探究新知
用公式法解一般形式的一元二次方程
一元二次方程的求根公式
解：
当
探究新知
由上可知，一元二次方程
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式
，当
时，将a，b，c
代入式子
，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
<
探究新知
公式法的概念
解：∵a=1，b=-4，c=-7,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
x=
x1=2+
x2=2-
例1
用公式法解方程：
公式法解方程
素养考点
1
（1）x2-4x-7=0；
探究新知
解：
则方程有两个相等的实数根：
（2）2x2-2
x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
探究新知
则方程有两个不相等的实数根
（3）5x2-3x=x+1
解：原式可化为
探究新知
方程无实数根.
（4）x2+17=8x
探究新知
方法点拨
探究新知
（1）当
时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
（2）当
时，一元二次方程有两个相
等的实数根.
（3）当
时，一元二次方程没有实
数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.
将方程化成一般形式，并写出a，b，c
的值.
2.
求出
?
的值.
3.
(1)当
?
>0
时，代入求根公式
:
写出一元二次方程的根.
(2)当?=0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根.
（3）当?<0时，方程实数根.
探究新知
用公式法解方程：
解：a=3,
b=-6,
c=-2
?=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60
x=
x1=
，
x2=
巩固练习
变式题1
用公式法解下列方程：
⑴
x2＋x－1
=
0
⑵
x2－2
⑶
2x2－2x＋1
=
0
x＋3
=
0
观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
一元二次方程的根的情况
知识点
2
探究新知
【思考】
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴
x2＋2x－8
=
0
⑵
x2
=
4x－4
⑶
x2－3x
=
－3
（3）没有实数根.
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
【发现】b2－4ac的符号决定着方程的解.
探究新知
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根：
（1）当b2-4ac＞0
时，有两个不等的实数根：
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子
b2-4ac
叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“?”来表示，即?＝b2-4ac
巩固练习
一元二次方程的根的情况
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，
b2-4ac
＞0
当一元二次方程有两个相等的实数根时，
b2-4ac
=
0
当一元二次方程没有实数根时，
b2-4ac
＜
0
【注意】
一元二次方程的根的情况
探究新知
例2
不解方程，判断下列方程根的情况：
解：a＝﹣1，b＝
，c＝﹣6
△=
b2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0
该方程有两个相等的实数根
解：
移项，得
x2+4x-2=0
a＝1，b＝4
，c＝﹣2
△=
b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0
该方程有两个不相等的实数根
利用判别式识别一元二次方程的根的情况
素养考点
2
（2）x2+4x=2
探究新知
（3）4x2+1=-3x
解：移项，得4x2+3x+1=0，
a＝4，b＝3
，c＝1
∵
△=
b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0
∴该方程没有实数根
解：a＝1，b＝-2m
，c＝4（m-1）
∵
△=
b2-4ac
=（-2m）?-4×1×4（m-1）
=4m2-16（m-1）
=4m2-16m+16
=（2m-4）2≥0
∴该方程有两个实数根
（4）x?-2mx+4（m-1）=0
探究新知
（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式
子是（
）
A.
b?-4ac＞0
B.
b?
-4ac＜0
C.
b?-4ac≤0
D.
b?
-4ac≥0
（1）下列方程中，没有实数根的方程是（
）
A.x?=9
B.4x?
=3(4x-1)
C.x(x+1)=1
D.2y?
+6y+7=0
D
D
巩固练习
变式题2
选一选.
例3
m为何值时，关于x的一元二次方程
2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac
＞0，即8m+9＞0
∴m＞
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0
∴m=
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0
∴m＜
∴当m＞
时，方程有两个不相等的实数根；当m=
时，
方程有两个相等的实数根；当m＜
时，方程没有实数根
利用判别式求字母的值或取值范围
素养考点
3
探究新知
变式题3
m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.
解：
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.
巩固练习
1.（2019?中考）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（
）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
D．m＜1
巩固练习
连接中考
解析
方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，
△=（﹣2）2﹣4m＞0，解得：m＜1．
D
2.（2019?中考）解方程x2﹣2x﹣1=0．
解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
巩固练习
连接中考
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(
)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数
D.没有实数根
基础巩固题
课堂检测
B
2.
关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等
的实根，则k的取值范围是
（
）
A.
k>-1
B.
k>-1
且k≠
0
C.
k<1
D.
k<1
且k≠0
解析
∴k＞-1
又∵k≠0
∴
k＞-1且k≠0
B
课堂检测
基础巩固题
3.
已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵
没有实数根
4-4(1-m)<0,
∴m<0
对于方程
x2＋mx＝1-2m
，即
，
∵
，∴
△>0
∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
课堂检测
基础巩固题
公式法
定义
把各系数直接带入求根公式的解一元二次方程的方法.
步骤
应用
用判别式△=
b2-4ac判定一元二次方程根的情况.
课堂小结