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专题05
二次函数以及指对幂函数
一、单选题
1．（辽宁省沈阳市第二中学2021届高三五模）设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（陕西省汉中市十三校2021-2022学年新高三6月摸底联考）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．（黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期第一次模拟）已知正数，满足，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（黑龙江省佳木斯市第一中学2021届高三下学期三模）已知x，y∈R，且x＞y，则下列说法是正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2021届高三下学期第四次模拟）设，，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．（山西省临汾市2021届高三下学期考前适应性训练（三））若实数满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．（安徽省合肥市第六中学2021届高三下学期高考考前诊断暨预测卷）已知函数则使得成立的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（内蒙古呼和浩特市2021届高三二模）已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（
）
A．a＜b＜2
B．b＜a＜2
C．2＜a＜b
D．2＜b＜a
9．（福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测）若非零实数满足，则与最接近的整数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三第三次模拟）人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级单位与声音强度（单位）满足，一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（四川绵阳南山中学2021届高三高考适应性考试）已知，，，下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期第一次模拟考试）下列命题为真命题的是（
）
A．函数有两个零点
B．“，”的否定是“，”
C．若，则
D．幂函数在上是减函数，则实数
13．我们把不超过的最大整数记作，如，，.若实数，满足，且，则（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
14．（重庆市2021届高三模拟调研卷四）已知函数，若，其中为自然对数的底数，则的最小值为（
）
A．6
B．8
C．9
D．12
15．（四川省自贡市2021届高三三模）已知函数f(x)＝（其中e是自然对数的底数），若a＝f（21.5），b＝f（40.8），c＝f（log2），则a，b，c的大小关系为（
）
A．c＜a＜b
B．a＜b＜c
C．a＜c＜b
D．b＜a＜c
16．（江苏省淮安市2021届高三下学期5月模拟）已知，，且，则，的值不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
17．（浙江省杭州市第十四中学2021届高三下学期5月模拟）已知二次函数有两个不同的零点，若有四个不同的根，且成等差数列，则不可能是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、多选题
18．（山东省潍坊市2021届高三三模）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
19．（重庆市2021届高三模拟调研卷（三））已知函数，则（
）
A．函数与的图象关于直线对称
B．函数与都为增函数，且都为偶函数
C．函数与都为增函数，且都为奇函数
D．为奇函数，既不是奇函数也不是偶函数
20．（广东省佛山市五校联盟2021届高三5月模拟考试）函数，下列说法正确的是（
）
A．的定义域为
B．在定义域内单调递増
C．不等式的解集为
D．函数的图象关于直线对称
21．（辽宁省实验中学2021届高三考前模拟训练）已知函数(即，)则（
）
A．当时，是偶函数
B．在区间上是增函数
C．设最小值为，则
D．方程可能有2个解
三、填空题
22．（上海市大同中学2021届高三三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
23．（陕西省渭南市富平县2020届高三下学期二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为___________.
24．（重庆市杨家坪中学2021届高三下学期5月考前针对性训练）设均为正实数，且，试比较与的大小关系是_________
(填>或<)．
25．（湖北省襄阳四中2021届高三下学期5月高考适应性考试）若正整数m满足则m=________.（参考数据:lg2≈0.3010）
26．（上海市嘉定区2021届高三三模）不等式的解集是________.
27．（黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三下学期第五次模拟考试）已知函数，则不等式的解集为___________.
28．（福建省三明市2021届高三围题卷数学试题）已知函数是的递减函数，则实数的取值范围是___________.
29．（陕西省西安中学2021届高三下学期第十次模拟考试）已知，设函数，则______．
30．（安徽省合肥市第一中学2021届高三下学期6月数学试题）自新冠病毒爆发以后，各国科技人员都在攻关疫苗的难题，近日我国在这一领域取得重大突破，国产疫苗在国际上受到广泛认可.我国在实验阶段为了研究T型病毒的变化规律，将T型病毒注入一个健康的小白鼠体内，根据观测统计的数据分析，小白鼠体内的病毒数y与天数n近似满足.已知T型病毒在体内超过109个时，小白鼠就会死亡，但如果注射了某种药物可有效杀死体内的T型病毒，为使小白鼠在实验过程中不会死亡，第一次注射该种药物最迟应在第___________天(参考数据：).
31．（山西省阳泉市2021届高三三模）已知函数，.设为实数，若存在实数，使得，则的取值范围是___________.
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专题05
二次函数以及指对幂函数
一、单选题
1．（辽宁省沈阳市第二中学2021届高三五模）设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．故选C．
2．（陕西省汉中市十三校2021-2022学年新高三6月摸底联考）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，可得，所以.
故选A.
3．（黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期第一次模拟）已知正数，满足，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】因为，所以，，所以，故选D.
4．（黑龙江省佳木斯市第一中学2021届高三下学期三模）已知x，y∈R，且x＞y，则下列说法是正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】选项：当，时，，所以选项错误；
选项：当，时，，，所以，选项错误；
选项：因为为减函数，又因为，所以＜，
即，所以，所以选项正确；
选项：当时，，，所以，所以选项错误．
故选．
5．（湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2021届高三下学期第四次模拟）设，，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
因为函数，在上单调递增，且，所以.故选B.
6．（山西省临汾市2021届高三下学期考前适应性训练（三））若实数满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设，则，
设，，
作出函数的图像，如图所示，
由图可得，所以，故选B.
7．（安徽省合肥市第六中学2021届高三下学期高考考前诊断暨预测卷）已知函数则使得成立的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵可化为为偶函数，且在上单调递增，∴由得，即，解得或．故选A．
8．（内蒙古呼和浩特市2021届高三二模）已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（
）
A．a＜b＜2
B．b＜a＜2
C．2＜a＜b
D．2＜b＜a
【答案】D
【解析】.构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.
又∵，∴a>b>2.故选D.
9．（福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测）若非零实数满足，则与最接近的整数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】设，得到，
所以，
由，由函数，当时，函数为单调递增函数，
令，可得且，解得，
又因为，所以，即，所以的值更接近整数.故选B.
10．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三第三次模拟）人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级单位与声音强度（单位）满足，一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设一般两人小声交谈时声音强度为，则，即，
所以.故选B.
11．（四川绵阳南山中学2021届高三高考适应性考试）已知，，，下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意设log2m＝log4n＝log8（4m+3n）＝k，则m＝2k，n＝4k，4m+3n＝8k，
∴4×2k+3×4k＝8k，∴，∴4×[（）k]2+31＝0，
∴（）k或（）k＝﹣1，（舍），解得k＝2，
∴k＝2，m＝4，n＝16，n＝4m，故A错误；
2ln2，故B错误；
eln2＝2，故C正确；
log3m﹣2log9n＝log34﹣2log916＝log34﹣2log34＝﹣2log32，故D错误．
故选C．
12．（黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期第一次模拟考试）下列命题为真命题的是（
）
A．函数有两个零点
B．“，”的否定是“，”
C．若，则
D．幂函数在上是减函数，则实数
【答案】A
【解析】对于A，函数，，当得，当得，所以在是单调递增函数，在是单调递减函数，所以在时有最小值，即，，，所以有两个零点，正确；
对于B，“，”的否定是，，错误；
对于C，，因为，所以，所以，，错误；
对于D，
由已知得，无解，幂函数在上是减函数，则实数，错误.
故选A.
13．我们把不超过的最大整数记作，如，，.若实数，满足，且，则（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】设，则，，
由得，∴，故.
则
∵，且函数在上单调递增，∴，
∴，∴.故选B.
14．（重庆市2021届高三模拟调研卷四）已知函数，若，其中为自然对数的底数，则的最小值为（
）
A．6
B．8
C．9
D．12
【答案】B
【解析】函数，则，则，
则，若，则有，变形可得，
则，当且仅当时等号成立，
即的最小值为8，故选．
15．（四川省自贡市2021届高三三模）已知函数f(x)＝（其中e是自然对数的底数），若a＝f（21.5），b＝f（40.8），c＝f（log2），则a，b，c的大小关系为（
）
A．c＜a＜b
B．a＜b＜c
C．a＜c＜b
D．b＜a＜c
【答案】D
【解析】根据题意，函数f(x)＝，其定义域为R，有f（﹣x）＝＝f（﹣x），则函数f(x)为偶函数，当x≥0时，，又，
所以，所以f(x)在[0，+∞）上单调递减，由于0＜21.5＜40.8＝21.6，所以f（21.5）＞f（40.8），即a＞b，
因为，，，
所以，即，，即，所以.故选D．
16．（江苏省淮安市2021届高三下学期5月模拟）已知，，且，则，的值不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设，，而在上为增函数，在上为减函数，
则左边为；右边为，即左边大于右边，排除A；
，则；，则，即左边大于右边，排除B；
，则；，则，则左边大于右边，排除D；故选C.
17．（浙江省杭州市第十四中学2021届高三下学期5月模拟）已知二次函数有两个不同的零点，若有四个不同的根，且成等差数列，则不可能是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】设的两个不同零点为m，n，且m>n，所以，，且，又因为有四个不同的根，所以对应的根为，对应的根为，所以，，
所以，
同理，
因为成等差数列，所以，则
所以，解得，因为m>n，所以，解得，
所以，
所以当时，有最大值，所以不可能为3.故选D.
二、多选题
18．（山东省潍坊市2021届高三三模）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由图可得，即，单调递减过点，故A正确；
为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D正确；
故选ABD.
19．（重庆市2021届高三模拟调研卷（三））已知函数，则（
）
A．函数与的图象关于直线对称
B．函数与都为增函数，且都为偶函数
C．函数与都为增函数，且都为奇函数
D．为奇函数，既不是奇函数也不是偶函数
【答案】AC
【解析】，且，故为奇函数，排除B、D；
，且，故为奇函数，
∵、单调递增，故单调递增；、单调递增，故单调递增，
∴C正确，
若，即，则，
∴，且与的定义域、值域均为R，即它们互为反函数，关于对称，即A正确.
故选AC.
20．（广东省佛山市五校联盟2021届高三5月模拟考试）函数，下列说法正确的是（
）
A．的定义域为
B．在定义域内单调递増
C．不等式的解集为
D．函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【解析】要使函数有意义，则，故A正确；
，令，易知其在上单调递减，所以在上单调递减，故B不正确；
由于在上单调递减，所以对于，有，故C不正确；
令，解得，所以关于直线对称，故D正确.
故选AD.
21．（辽宁省实验中学2021届高三考前模拟训练）已知函数(即，)则（
）
A．当时，是偶函数
B．在区间上是增函数
C．设最小值为，则
D．方程可能有2个解
【答案】ABD
【解析】：当时，，即，
所以，所以是偶函数，故正确；
：当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，
当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，
综上，在上是增函数，故正确；
：当时，，当时，，
因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；
：令，当时，，有2个解，故正确.
故选ABD.
三、填空题
22．（上海市大同中学2021届高三三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】在上单调递增，在单调递减，
则，即，同时需满足，即，解得，
综上可知，故答案为：.
23．（陕西省渭南市富平县2020届高三下学期二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为___________.
【答案】
【解析】，，，所以.
故答案为：.
24．（重庆市杨家坪中学2021届高三下学期5月考前针对性训练）设均为正实数，且，试比较与的大小关系是_________
(填>或<)．
【答案】<
【解析】均为正实数，且，所以，可得，所以，
所以.故答案为：.
25．（湖北省襄阳四中2021届高三下学期5月高考适应性考试）若正整数m满足则m=________.（参考数据:lg2≈0.3010）
【答案】155
【解析】，取以10为底的对数得，即
又，，
因为是正整数，所以，故答案为：155．
26．（上海市嘉定区2021届高三三模）不等式的解集是________.
【答案】
【解析】由得，．故答案为：.
27．（黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三下学期第五次模拟考试）已知函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】函数定义域是，，是偶函数，
时，是减函数，
又，所以由得，且，解得且．
故答案为：.
28．（福建省三明市2021届高三围题卷数学试题）已知函数是的递减函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】要使函数是的递减函数，只需，
当时，不成立；当时，可化为，解得：，
即实数的范围是.故答案为：.
29．（陕西省西安中学2021届高三下学期第十次模拟考试）已知，设函数，则______．
【答案】5
【解析】由题意得，∴，∴的定义域为[1，3]，
，
设，，则在[0，1]上为增函数，
∴当即时，，当即时，，
∴．故答案为：5．
30．（安徽省合肥市第一中学2021届高三下学期6月数学试题）自新冠病毒爆发以后，各国科技人员都在攻关疫苗的难题，近日我国在这一领域取得重大突破，国产疫苗在国际上受到广泛认可.我国在实验阶段为了研究T型病毒的变化规律，将T型病毒注入一个健康的小白鼠体内，根据观测统计的数据分析，小白鼠体内的病毒数y与天数n近似满足.已知T型病毒在体内超过109个时，小白鼠就会死亡，但如果注射了某种药物可有效杀死体内的T型病毒，为使小白鼠在实验过程中不会死亡，第一次注射该种药物最迟应在第___________天(参考数据：).
【答案】19
【解析】由题意病毒细胞关于时间的函数为，则由两边取对数得，解得．
即第一次最迟应在第19天注射该种药物．故答案为：19.
31．（山西省阳泉市2021届高三三模）已知函数，.设为实数，若存在实数，使得，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】当时，，函数的解析式，
结合二次函数的性质可得的值域为，
当时，，则，
据此可知，函数的值域为，
由可得，即：，解得：，即的取值范围为.
故答案为：.
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