1.3 勾股定理的应用 同步练习 2021-2022学年北师大版八年级数学上册（Word版含答案）

1.3
勾股定理的应用
一、选择题
1．一条东西向道路与一条南北向道路的交汇处有一坐雕像，甲车位于雕像东方5km处，乙车位于雕像北方7km处，若甲乙以相同的速度向雕像的方向同时驶去，当甲车到了雕像西方1km处时，乙车在（　　）
A．雕像北方1km处
B．雕像北方3km处
C．雕像南方1km处
D．雕像南方3km处
2．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（　　）
A．600a元
B．50a元
C．1200a元
D．1500a元
3．ABCD是一块正方形场地，小华和小萌在AB上取一点E，测量得EC＝30，EB＝10，这块场地的对角线长是（　　）
A．10
B．30
C．40
D．50
4．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（　　）
A．3
B．
C．2
D．1
5．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝40，CB＝9，M、N在AB上且AM＝AC，BN＝BC，则MN的长为（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
6．如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　）
A．20
B．25
C．30
D．32
二、填空题
7．如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长20米、BC长16米，则A、B两点间距离是　
　米．
8．如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为5cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，爬行的最短路程是　
　cm．
9．如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、1，则沿长方体的表面从顶点A到顶点B的最短路线的长为　
　．
10．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为　
　m．
11．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离墙底O的距离为1.5米，如果将梯顶A向上滑动0.4米，则梯足B应向墙底O滑动　
　米．
12．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍　
　放入（填“能”或“不能”）．
13．两只小鼹鼠在地下同一地点开始打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距　
　cm．
14．如图所示，四边形ABCD是长方形合成板，长AB＝20dm，宽AD＝10dm，点M是AB的中点，现将一块长方体木方横在合成板之上，且MP⊥AB，木方高MN＝2dm，宽NH＝1dm，若一只蚂蚁从D点爬到M点，它至少要走
　
　dm；若这只蚂蚁从D点爬到B点，它必须翻过中间那块木方，则至少要走
　
　dm．
三、解答题
15．如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC＝30m，BC＝70m，CD＝15m，请计算A、B两个凉亭之间的距离．
16．如图，一根竹子高10尺，折断后竹子的顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少尺？
17．一个长为25m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙的距离为7m，梯子的顶端下滑4m后，求梯子底端在水平方向滑动多少m？
18．如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处．大树在折断之前高多少？
19．如图是一个玻璃容器，在ABCD面的外面一点E处有一个蚂蚁，里面F点处有一小块食物，蚂蚁要想爬到里面去吃食物，请你帮它选择一条最近的爬行路线．（保留作图痕迹）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．一条东西向道路与一条南北向道路的交汇处有一坐雕像，甲车位于雕像东方5km处，乙车位于雕像北方7km处，若甲乙以相同的速度向雕像的方向同时驶去，当甲车到了雕像西方1km处时，乙车在（　　）
A．雕像北方1km处
B．雕像北方3km处
C．雕像南方1km处
D．雕像南方3km处
【分析】根据甲车位于雕像东方5km处，乙车位于雕像北方7km处，即可得出两车位置，进而求出运动后乙的位置即可．
【解答】解：根据甲车位于雕像东方5km处，乙车位于雕像北方7km处，
∴甲乙以相同的速度向雕像的方向同时驶去，当甲车到了雕像西方1km处时，
乙在雕像北方1km处．
故选：A．
2．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（　　）
A．600a元
B．50a元
C．1200a元
D．1500a元
【分析】此题首先由已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，根据勾股定理求出另一条直角边BC，再求出面积，从而得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，
∴BC＝＝＝40米，
共需要资金为：×40×30?a＝600a元．
故选：A．
3．ABCD是一块正方形场地，小华和小萌在AB上取一点E，测量得EC＝30，EB＝10，这块场地的对角线长是（　　）
A．10
B．30
C．40
D．50
【分析】首先在直角三角形EBC中求得BC的长，从而求得正方形的边长，然后求得对角线的长即可．
【解答】解：由题意知：EC＝30，EB＝10，
∴BC＝，
∴对角线的长为20×2＝40．
故选：C．
4．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（　　）
A．3
B．
C．2
D．1
【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线，
由勾股定理，得AB＝＝．
故选：B．
5．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝40，CB＝9，M、N在AB上且AM＝AC，BN＝BC，则MN的长为（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，根据AM+BN﹣AB表示出MN的长，由AM＝AC，NB＝BC，等量代换后，将各自的值代入即可求出MN的长．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝40，CB＝9，
∴根据勾股定理得：AB＝＝41，
又AM＝AC，BN＝BC，
则MN＝AM+BN﹣AB＝AC+BC﹣AB＝40+9﹣41＝8．
故选：C．
6．如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　）
A．20
B．25
C．30
D．32
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝25；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB＝；
∵25＜5，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25，
故选：B．
二、填空题
7．如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长20米、BC长16米，则A、B两点间距离是　12　米．
【分析】在Rt△ABC中运用勾股定理即可得出AB的长度．
【解答】解：由题意得，AC＝20米，BC＝16米，
在Rt△ABC中，AB＝＝12米．
即A、B两点间的距离为12米．
故答案是：12．
8．如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为5cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，爬行的最短路程是　5　cm．
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为20cm，
则AD＝20×＝10cm．
又因为CD＝AB＝5cm，
所以AC＝＝5cm．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点C的最短路程是5cm．
故答案为：5．
9．如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、1，则沿长方体的表面从顶点A到顶点B的最短路线的长为　5　．
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（2+4）2+12＝37；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（1+4）2+22＝29；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（2+1）2+42＝25．
所以最短路径的长为AB＝＝5．
故答案为5．
10．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为　8　m．
【分析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．
【解答】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为（x+2）米，
由勾股定理得，（x+2）2＝x2+62，
解得x＝8．
答：旗杆的高度是8米
故答案为：8
11．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离墙底O的距离为1.5米，如果将梯顶A向上滑动0.4米，则梯足B应向墙底O滑动　0.8　米．
【分析】在RT△AOB中利用勾股定理即可求OC，在RT△OCD中，利用勾股定理可求出AO，根据BD＝OB﹣DO即可得出答案．
【解答】解：由题意得，BO＝1.5m，AB＝2.5cm，
在RT△AOB中，OA＝＝2m，
∵AC＝0.4m，
∴OC＝OA+AC＝2m+0.4m＝2.4m，
在RT△OCD中，OD＝＝0.7m，
∴BD＝0B﹣DO＝1.5m﹣0.7m＝0.8m．
即梯子底端将向左滑动0.8m．
12．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍　能　放入（填“能”或“不能”）．
【分析】在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．
【解答】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得x2＝502+402+302＝5000，
702＝4900，
因为4900＜5000，所以能放进去．
故答案是：能．
13．两只小鼹鼠在地下同一地点开始打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距　100　cm．
【分析】由已知两只鼹鼠打洞的方向的夹角为直角，其10分钟内走路程分别等于两直角边的长，利用勾股定理可求斜边即其距离．
【解答】解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，
由勾股定理得＝100，
∴其距离为100cm．
14．如图所示，四边形ABCD是长方形合成板，长AB＝20dm，宽AD＝10dm，点M是AB的中点，现将一块长方体木方横在合成板之上，且MP⊥AB，木方高MN＝2dm，宽NH＝1dm，若一只蚂蚁从D点爬到M点，它至少要走
　　dm；若这只蚂蚁从D点爬到B点，它必须翻过中间那块木方，则至少要走
　26　dm．
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【解答】解：如图所示，AD＝10dm，AM＝（AB﹣NH）＝dm，
∴DM＝＝（dm）；
将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4dm，则AB＝20+4＝24（dm），
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24dm，宽AD＝10dm，
∴AC＝＝＝＝26（dm），
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26dm的路程．
故答案为：；26．
三、解答题
15．如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC＝30m，BC＝70m，CD＝15m，请计算A、B两个凉亭之间的距离．
【分析】先在Rt△CDA中求得AD、CD的长，再利用勾股定理求得BD的长，AB＝BD﹣AD．
【解答】解：在Rt△CDA中，AC＝30m，∠CAD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣120°＝60°．
∴CD＝AC?sin∠CAD＝30?sin60°＝15m．
AD＝AC?cos∠CAD＝30?cos60°＝15m．
在Rt△CDB中，∵BC＝70，BD2＝BC2﹣CD2，
∴BD＝＝65m．
∴AB＝BD﹣AD＝65﹣15＝50m．
答：A，B两个凉亭之间的距离为50m．
16．如图，一根竹子高10尺，折断后竹子的顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少尺？
【分析】杆子折断后刚好构成一直角三角形，设杆子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设杆子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝．
答：折断处离地面的高度是尺．
17．一个长为25m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙的距离为7m，梯子的顶端下滑4m后，求梯子底端在水平方向滑动多少m？
【分析】根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据BC求AC，根据AD、AC求CD，根据CD计算CE，根据CE，BC计算BE，即可解题．
【解答】解：由题意知AB＝DE＝25m，BC＝7m，AD＝4m，
在直角△ABC中，
∵AB＝DE＝25m，BC＝7m，
∴AC＝＝＝24m，
∵AD＝4m，
∴CD＝AC﹣AD＝24﹣4＝20m，
在直角△CDE中，CE为直角边
∴CE＝＝＝15m，
∴BE＝15m﹣7m＝8m．
答：梯子底端在水平方向滑动8m．
18．如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处．大树在折断之前高多少？
【分析】先根据大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形利用勾股定理求出折断部分的长，进而可得出结论．
【解答】解：由勾股定理得：92+122＝225＝152，
所以折断部分为15米，
大树高为：15+9＝24米，
答：大树折断前高为24米．
19．如图是一个玻璃容器，在ABCD面的外面一点E处有一个蚂蚁，里面F点处有一小块食物，蚂蚁要想爬到里面去吃食物，请你帮它选择一条最近的爬行路线．（保留作图痕迹）
【分析】作点E关于AD的对称点E′，再连接E′F与AD交于点P，从E到点P再到F，就是最短路径．
【解答】解：如图所示：