1.2.1 矩形的性质 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
我们发现：
是平行四边形，且它们的四个角都相等，且都等于90度.
新知导入
1.2
矩形的性质与判定
第1课时
矩形的性质
学习目标
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与
联系.（重点）
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问
题.（重点、难点）
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
（重点）
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
平行四边形
有一个角是90度
矩形
矩形是特殊的平行四边形
∠A=90°
ABCD
四边形ABCD是矩形
新知讲解
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
你能列举一些这样的性质吗？
（2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
矩形
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
想一想：
新知讲解
矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系，它是中心对称吗，对称中心是谁？
用矩形纸片折一折，回答下列问题：
矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对边垂直平分线，两条对称轴互相垂直.
也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
新知讲解
（2）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．
①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；
②角：四个角是直角；
③对角线：相等且互相平分．
A
B
C
D
O
新知讲解
已知：如图，在矩形ABCD中，∠A=90°.
求证：（1）∠A=∠B=∠C=∠D=90°
（2）AC=BD
证明：（1）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=90°
，∠A=∠D=90°，∠C+∠B=90°
∵∠A=90°
∴∠B=∠D=∠C=90°
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
新知讲解
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴
∠ABC=
∠DCB，AB=CD.
在△ABC和△DCB中,
AB=DC
∵
∠ABC=
∠DCB
BC=CB
∴
△ABC≌△DCB(SAS)
∴
AC=BD.
新知讲解
矩形的特殊性质定理
性质1、矩形的四个角都是直角．
性质2、矩形的两条对角线相等．
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AC
=
BD
新知讲解
仔细观察Rt△ABC，BO是Rt△ABC的什么特殊线段？与斜边有什么数量关系？
BO是斜边AC上的中线，
BO等于AC的一半.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
新知讲解
典例解析
例1
如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4
,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC
=
BD，
OA=
OC=
AC,OB
=
OD
=
BD
,
∴OA
=
OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
矩形的对角线相等且互相平分
例2
如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE
,垂足为F.
求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD
=AE,∴∠AED
=∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,
∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
例3
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝
DE·AB＝
×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
思考
请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.??矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
矩形的性质：
对称性：
.
对称轴：
.
轴对称图形
2条
练一练
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
下列说法错误的是
（　　）
A．AB∥DC
B．AC=BD
C．AC⊥BD
D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
　　　　　　　　　　　　　
3.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
AO＝
AC，BO＝
BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
例4
如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝
AB＝
×10＝5，
DF＝AF＝
AC＝
×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
归纳
例5
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝
BC，DG＝
BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
归纳
1.下列关于矩形的说法中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
A
课堂练习
2.如图，P
是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．
若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE
的周长为(　
　)
A．14
B．16
C．17
D．18
D
课堂练习
3.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=3cm，BC=4cm
,则AC=_______cm，BO=_______cm，矩形的周长为________
cm,
矩形的面积为________cm2
。
5
2.5
14
12
课堂练习
4.
已知：矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点0,
∠AOB=60°,
AB
=
4cm,
求矩形对角线的长.
解：∵矩形ABCD
∴
AC=BD=2AO=2BO(矩形的对角线互相平分且相等)
又∵
∠AOB=60°(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)
∴
△AOB为正三角形.
∴
AB=OA=OB=4cm
∴
AC=BD=2OB=2×4=8cm
课堂练习
课堂总结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
谢谢
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