1.3.2 正方形的判定 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
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问题1
什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
O
问题2
你是如何判断是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
思考
怎样判定一个四边形是正方形呢？
1.3
正方形的性质与判定
第2课时
正方形的判定
学习目标
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算
.
(难点)
二、实验操作，探究新知
问题2：怎么在这个获得菱形的任意直角三角形的基础上，剪一刀而得到的展开图是矩形？并说说你的依据.
直角边是展开图对角线的一半
使展开图中对角线相等
矩形
？
对角线相等的平行四边形是
锐角是展开图中角的一半
使展开图中一个角为直角
矩形
？
有一个角是直角的平行四边形是
45°???
二、实验操作，探究新知
观察展开后的图形，它是我们熟悉的图形吗？
正方形
判定:
既是矩形又是菱形的四边形是正方形.
二、实验操作，探究新知
问题3：除了刚才的方法外，怎样将一张矩形纸通过适当折叠后，一刀剪出正方形？
结合刚才的学习，你现在能否解释为什么得到的是正方形？
既是矩形又是菱形的四边形是正方形
平行四边形
有一组邻边相等
有一个角是直角
菱形
矩形
对角线互相垂直
对角线相等
有一个角是直角
有一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线相等
正方形
四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
小结：证明一个四边形是正方形时，可以先判定这个四边形是菱形、再判定它是矩形；也可以先判定这个四边形是矩形，再判定它是菱形.
问题4：判定一个四边形是正方形有什么方法？
_________的菱形是正方形；
_________的矩形是正方形；
_________的平行四边形是正方形；
_________的四边形是正方形……
小结：判定正方形的方法都可归结为既能判定一个四边形是矩形，又能判定这个四边形是菱形，这也是今后我们判定正方形的方法.
典例解析
例1
在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形
.
例2
如图,在矩形ABCD中,
BE平分∠ABC
,
CE平分∠DCB
,
BF∥CE
,
CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
F
A
B
E
C
D
解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形；
45°
45°
F
A
B
E
C
D
证明:
∵
BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴
∠ABC
=
90°,
∠DCB
=
90°,
∵BE平分∠ABC,
CE平分∠
DCB,
∴∠EBC
=
45°,
∠ECB
=
45°,
∴
∠
EBC
=∠
ECB
.
∴
EB=EC,∴□
BECF是菱形
.
在△EBC中
∵
∠EBC
=
45°,∠ECB
=
45°
∴∠BEC
=
90°
∴菱形BECF是正方形
证明：∵
DE⊥AC，DF⊥AB
，
∴∠DEC=
∠DFC=90°.
又∵
∠C=90
°，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴
DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形ADFC是正方形.
例3
如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
例4
如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO
=45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO
≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO
,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
例5
如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，
问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB
，∠DAE＝∠BAF
，AE＝AF
,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=
AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
思考
前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
1.下列命题正确的是（
）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
当堂练习
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA
=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
5.如图，在四边形ABCD中,
AB=BC
,对角线BD平分?ABC
,
P是BD上一点,过点P作PM?AD
,
PN?CD
,垂足分别为M、N.
(1)
求证：?ADB=?CDB;
(2)
若?ADC=90?,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵AB
=
BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD
(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：①∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
②∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
课堂总结
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
谢谢
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