1.2.3 矩形的性质与判定的综合应用 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
1.矩形的定义：有一个角是__________的平行四边形是矩形.
2.矩形的性质：矩形的四个角都是___________,
矩形的对角线____________.
3.矩形的特征：矩形是一个
图形.
直角
直角
相等
轴对称图形和中心对称
4.定理：直角三角形斜边上的中线等于________的一半.
斜边
5.矩形的判定：（1）有一个角是
的平行四边形是矩形.
（2）
相等的平行四边形是矩形.
（3）有
的四边形是矩形.
直角
对角线
三个角是直角
复习导入
1.2
矩形的性质与判定
第3课时
矩形的性质、判定与其他知识的综合
学习目标
1．回顾矩形的性质及判定方法．
2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用．(难点)
例1.
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O,
AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE,
求AE的长.
分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，可得到OE=BE，再结合AE⊥BD，可得AB=AO，从而有△ABO是等边三角形，求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，即可求出AE的长.
新知讲解
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=
BD(矩形的对角线相等且互相平分）∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）
∵ED=3BE,∴BE=OE
又∵AE⊥BD,∴AB=AO，
∴AB=AO=BO,即△ABO是等边三角形
∴∠ABO=60°
∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，
在Rt△AED中，∵∠ADE=30°，
∴
新知讲解
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度数。
解：已知∠EAD=3∠BAE
∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°
即∠EAD+∠BAE=90°
∴∠BAE=90°÷4=25°
∵
AE⊥BD,
∴
∠AEB=90°
∴在Rt△ABE中，∠ABE=90°-25°=65°
∴∠BDC=∠ABE=65°
新知讲解
在Rt△ABC和Rt△BCD中，
AB=CD，∠ABC=∠BCD，BC=BC
∴△ABC≌△BCD
∴∠BAC=∠CBD=65°
∴∠EAO=∠BAC—∠BAE=45°
新知讲解
例2.
△ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC与DE交于O点，
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）判断OD与AB的关系，并说明理由.
分析：（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC,AD平分∠BAC，又因为AN平分∠MAC可得∠DAE为90°，再加上CE⊥AN就可证明四边形ADCE是矩形.
（2）证得矩形后，可得O点是AC中点，那么OD是△ABC的中位线，就能得到OD与AB的关系了.
新知讲解
解：(1)∵AB=AC,AD是中位线，
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC，
∴∠ADC=90°，
又∵AN平分∠MAC，
又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°
∴四边形ADCE是矩形
新知讲解
(2)OD//
AB,
理由：
∵四边形ADCE是矩形，
∴OA=OC，
又∵D是BC边中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AB,
.
新知讲解
在上述例题中，连接DE、交AC于点F（如图）。
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论。
（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论。
解：（1）四边形ABDE是平行四边形
证明：四边形ADCE是矩形（已证）
∴AE//DC，AE=DC
又∵在△ABC中，AB=AC
∴△ABC是等腰三角形，AD是角BAC的角平分线
∴BD=DC
∴四边形ABDE是平行四边形
新知讲解
（2）∵四边形ABDE是平行四边形
∴AB=DE，AB//DE，
∵点F是矩形ADCE的对角线的交点
∴DF=
DE
∴DF//AB，DF=
AB
新知讲解
例3
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∴AE=
AD=3.
例4
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断
四边形ABDE的形状，并证明；
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
则AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；
解：DF∥AB，DF=
AB．理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF=
AB
(3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
例5
如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）
A．∠ABC=90°
B．AC=BD
C．OA=OB
D．OA=AD
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，
∴A、B、C正确，D错误，故选D．　
D
课堂练习
2.如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（　　）
A．
B．
C．
D．8
解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，
又因为AE=AB=CD=6，
所以∠EAD=30°，
则∠FAE=30°，
设FE=x，则AF=2x，
在△AEF中，根据勾股定理，
故选A．
A
课堂练习
3.如图，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．
求证：AO=OB．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，
∴∠AOD=∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC，
∴AO=OB．
课堂练习
课堂总结
与全等三角形的结合
矩形的性质与判定
与平面直角坐标系的结合
折叠问题
谢谢
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