罗平县2020-2021学年（下）学期高二年级期末考试
理科数学
参考答案
一
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
D
D
B
A
C
A
B
D
C
二
填空题：
13．
14．
15
．
16．
①④
三
解答题
17（1）由可得，
两式相减得，.…………………………………………2分
又，所以，
故是首项为1，公比为3的等比数列，所以…4分
由点在直线，得，
故数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以……6分
（2）因为，所以，………8分
则，…………………………………………10分
两式相减得，所以.………………12分
18．（1）因为，，，，，
所以由勾股定理得，
.
所以，
由勾股定理的逆定理得.…………………………………………3分
因为，所以.
因为底面ABCD，所以.
又，所以平面SBD.
…………………………………………5分
（2）二面角的余弦值为………12分
19．(1)抛物线上的点A到x轴的距离为，
根据抛物线的定义可得，…………………………………………2分
所以，即，
解得.…………………………………………4分
(2)由(1)知，由题意知直线AF的斜率存在，
故可设直线AF的方程为，，.
联立，消去y可得，，则，.…7分
又，，，
所以，
即，…………………………………………10分
代入，，可得，解得.
所以直线AF的方程为，即.…………………………………12分
20．(1)从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为，
则，所以.…………………………………3分
(2)由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件，所以X的可能取值为0，1，2，3.
…………………………………………4分
，，
，.………………………………………7分
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
…………………………………………9分
(3)由题，方案二的产品的平均售价为(元/件).
因为，
所以从采购商的角度考虑，应选择方案二.
…………………………………………12分
21（1）当时，，的定义域为，
.…………………………………………1分
令得，当时，，
函数在上单调递减；
当时，，
函数在上单调递增.
…………………………………………4分
（2），.
当时，恒成立，
函数在上单调递减，不符合题意；………………………………5分
当时，令，即，解得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，………………8分
函数的极小值为.
又当时，；
当时，，
要使有2个零点，只需即可，…………………………………10分
即，解得，的取值范围为.………………12分
22．（1）将代入曲线C的极坐标方程得中，
可得，即曲线C的直角坐标方程为，圆心.…2分
将直线l的参数方程化为普通方程可得.，圆C的半径为3，
直线l过圆心C，将代入直线l的普通方程可得.………………………4分
（2）由直线l过点，可知，
则直线l的参数方程为，（t为参数），……………………………6分
代入曲线中可得，.
设A，B两点对应的参数分别为，由韦达定理可知，………8分
根据参数的几何意义，
可得.
…………………………………………10分
．
1罗平县2020-2021学年（下）学期高二年级期末考试
（理科）数学试卷
试卷满分：150分
考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知复数为纯虚数，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知直线l，两个不同的平面和．下列说法正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．下列函数中，是偶函数且值域为的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．设随机变量服从正态分布，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．2
7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，
正视图是正三角形，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
8．在等比数列数列中，，则等于（
）
A．4
B．8
C．16
D．32
9．的展开式中的系数为（
）
A．
B．
C．120
D．200
10．若实数，满足约束条件，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．春天是鲜花的季节，玫瑰花就是其中最迷人的代表，数学上有个玫瑰花数，它是这样定义的：“玫瑰花数”是指一个三位数，它的各位数字的立方和等于其本身．三位的玫瑰花数共有4个，
其中仅有1个在区间内，我们姑且称它为“玫瑰四妹”，则在集合{142，147，152，154，157，“玫瑰四妹”}，共6个整数中，任意取其中3个整数，则这3个整数中含有“玫瑰四妹”，且其余两个整数至少有一个比“玫瑰四妹”小的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，
且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若，则
14．在中，，，，则
15．已知在中，角所对的边分别为，且，.
又点都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为
16．关于函数有如下四个命题：
①的图像关于轴对称.
②的图像关于原点对称.
③的图像关于直线对称.
④的图像关于点对称.
其中所有真命题的序号是__________.
三、解答题：第22小题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）设数列的前n项和为，且，，数列满足，点在上，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18．（12分）如图，四棱锥中，底面，，，，，，，.
（1）求证：平面SBD；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到x轴的距离为.
（1）求p的值；
（2）已知点，若直线AF交抛物线于另一个点B，且，求直线AF的方程.
20．（12分）某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级.某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
数量
40
30
10
20
（1）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；
（2）根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望；
（3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为22元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下，
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
售价/（元/件）
24
22
18
16
根据样本估计总体，从采购商的角度考虑，应该选择哪种销售方案？请说明理由.
21.
（12分）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若有2个零点，求a的取值范围.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，直线l与曲线C交于A，B两点.
（1）当时，求出实数m的值；
（2）当直线l过点，求出的值.
