专题九 平面解析几何 第四讲 直线、圆的位置关系（讲义）——2022届高考文科数学一轮复习

专题九
平面解析几何
第四讲
直线、圆的位置关系
（一）知识整合
考点1：直线与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
（1）根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：点在圆外；点在圆上；点在圆内.
（2）根据点与圆的方程的关系判断：
点在圆外；
点在圆上；
点在圆内.
2.直线与圆的位置关系的判定
设直线l：，圆C：，d为圆心到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.
位置关系
图形
判断方法
公共点个数
代数法
几何法
相交
2
相切
1
相离
0
3.与圆的切线有关的结论
（1）过圆上一点的切线方程为；
（2）过圆上一点的切线方程为；
（3）过圆外一点作圆的两条切线，切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为；
（4）过圆外一点引圆的切线，切点为T,则切线长.
4.直线与圆相交
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有，即，
即，求弦长或已知弦长求其他量时，一般用此公式.
[典型例题]
1.过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（
）
A．
B．
C．
D．
[答案]：B
[解析]　
设圆的方程为
将A，B，C三点代人
得则圆的方程为
设弦长为l，圆点到圆截直线的距离为d
则弦长为①
只需让圆点到直线距离最大即可
由圆截直线必经过这一点
则圆点到圆截直线最大距离为圆点到定点的距离
为
代入①中，得
则弦长最小为。
故选：B。
2.直线被圆所截得的弦长为（
）
A.
4
B.
C.
D.
[答案]：D
[解析]　
根据题意，圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则直线被圆截得的弦长，
故选：D．
考点2：圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为，则
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
公共点个数
0
1
2
1
0
D,R，r的关系
公切线条数
4
3
2
1
0
2.两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆:,圆：，若两圆相交，则有一条公共弦，两圆方程相减得，即圆与的公共弦所在直线的方程.
知识拓展
（1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即为两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆公共弦所在的直线方程.
（2）两圆公共弦的垂直平分线经过两圆的圆心.
（3）求公共弦长时，几何法比代数法简单易求.
[典型例题]
1.
.圆与圆的位置关系为(
)
A.相离
B.内切
C.外切
D.相交
[答案]：D
[解析]　
圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
两圆的圆心距，，，两圆相交.故选D.
2.
设集合，，若存在，使，则实数a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
[答案]：C
[解析]　
存在，使，即存在实数t，使得圆与圆有公共点，则存在实数t使得,
即关于实数t的不等式有解,
即，解得，故选C.