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第四章
数列
4.1
数列的概念
学习目标：
1.
理解数列的概念，了解通项公式的意义；
2.
理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项；
3.
掌握数列
与
的关系，培养观察能力和化归能力.
教学重点：
理解数列的概念和通项公式的意义及求法.
教学难点：
根据数列前几项的特点，通过多角度、多层次的观察和分析，归纳出数列的通项公式.
观察以下3个例子，回答问题.
思考：
上述例子的共同特征是什么？
都是具有确定顺序的一列数.
1.
数列的相关概念及分类
2.
从函数角度看数列
它的图象如下图所示.
3.
数列的通项公式
4.
数列的递推公式
5.
数列的前n项和
练一练
A
练一练
练一练
D
练一练
练一练
练一练
练一练
练一练
练一练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
1.
数列的概念；
2.
数列与函数的关系及数列的单调性；
3.
数列的通项公式；
4.
数列的递推公式；
5.
数列的前n项和.
180
160
140
120
100
80
60
20
0123456789101112131415161718n
图4.1-1
与函数类似,我们可以定义数列的单调性.从
数列叫做递增数列;从第2项起,每一项都
120是数列{an}的项,是第10项
图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中
三角形的个数依次构成一个数列的前4项,写出这个数列的一个
(1)
(2)
(3)
(4)
图4.1-3
图4.1-3(1)(2)(3)(4)中,着色三角形的个数依次为
1,3,9,27,
的前4项都是3的指数幂,指数为序号减第四章
数列
4.1
数列的概念
教学设计
一、教学目标
1.
理解数列的概念，了解通项公式的意义；
2.
理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项；
3.
掌握数列与的关系，培养观察能力和化归能力.
二、教学重难点
1.
教学重点
理解数列的概念和通项公式的意义及求法.
2.
教学难点
根据数列前几项的特点，通过多角度、多层次的观察和分析，归纳出数列的通项公式.
三、教学过程
（一）新课导入
观察以下3个例子，回答问题.
1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
记王芳第岁时的身高为，那么.中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.所以，这组数据是具有确定顺序的一列数.
2.在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数（把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示）：
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
记第天月亮可见部分的数为，那么.这里，中的反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第15位的数，它们之间不能交换位置.所以，这组数据也是具有确定顺序的一列数.
3.的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
.
仿照1，2的叙述，判断3中的数据是否是具有顺序的一列数.
记第个数为，那么，这里，中的反映了的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数，是排在第3位的数，……，它们之间不能交换位置，所以这组数据是具有确定顺序的一列数.
思考：上述例子的共同特征是什么？
（二）探索新知
上述3个例子都是具有确定顺序的一列数.
数列的相关概念及分类
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
数列的一般形式是，，…，，…，简记为.
从函数角度看数列
由于数列中的每一项和它的序号n有下面的对应关系：
序号
1
2
3
…
n
…
项
……
…
所以数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列.另一方面，对于函数，如有意义，那么，，…，，…构成了一个数列.
与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示.例如，1中的数列可以表示为下表.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
75
87
96
103
110
116
120
128
138
10
11
12
13
14
15
16
17
145
153
158
160
162
163
165
168
它的图象如下图所示.
与函数类似，我们可以定义数列的单调性，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
数列的通项公式
如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
例1
根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）；
（2）.
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为.
（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为.
例2
图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.
解：在图（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是.
数列的递推公式
换个角度观察例2图中的4个图形，可以发现，，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.这样，例2中的数列的前4项满足，，，.由此猜测这个数列满足公式
像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
例3
已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项.
解：由题意可知，
，
，
，
，
.
数列的前n项和
数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即.
如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
显然，而，于是有
例4
已知数列的前项和公式为，求的通项公式.
解：因为，
，
并且当时，依然成立.
所以的通项公式是.
（三）课堂练习
1.有下列说法：
①数列1，3，5，7可表示为；
②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；
③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列；
④1，1，1，…不能构成一个数列.
其中说法正确的有(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：A
解析：①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；②说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；③说法错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，…是无穷数列；④说法错误，由数列的定义，可知1，1，1，…能构成一个常数列.故选A.
2.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：当时，C不符合题意；当时，B不符合题意；当时，A不符合题意.故选D.
3.已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为__________.
答案：
解析：当时，；当时，.因为不满足，所以数列的通项公式为.
4.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1），，，，…；
（2），1，，，….
答案：（1）所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，，，，所以它的一个通项公式为.
（2）所给数列可写成，，，，…，数列3，5，7，9，…的一个通项公式为，数列2，5，10，17，…的一个通项公式为，所以原数列的一个通项公式为.
5.根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并作出它们的图象.
（1）；
（2）.
答案：（1）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为，0，，1，.
图象如图所示.
（2）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为-1，0，1，0，-1.
图象如图所示.
（四）小结作业
小结：
数列的概念；
数列与函数的关系及数列的单调性；
数列的通项公式；
数列的递推公式；
数列的前n项和.
作业：
四、板书设计
4.1
数列的概念
1.数列的概念：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2.符号表示：数列的一般形式是，，…，，…，简记为.
3.单调性：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
4.通项公式：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
6.
数列的前n项和：数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作.如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.第四章
数列
4.1
数列的概念
学案
一、学习目标
1.
理解数列的概念，了解通项公式的意义；
2.
理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项；
3.
掌握数列与的关系，培养观察能力和化归能力.
二、基础梳理
1.数列的概念：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_______.数列的第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用_______表示.其中第1项也叫做_______.
2.符号表示：数列的一般形式是，，…，，…，简记为_______.
3.单调性：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做_______数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做_______数列.特别地，各项都相等的数列叫做_______数列.
4.通项公式：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的___________.
5.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的___________.
6.
数列的前n项和：数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作_______.如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的___________.
三、巩固练习
1.（多选）下列叙述不正确的是(
)
A.1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B.1，3，1，3，…是常数列
C.数列0，1，2，3，…的通项公式为
D.数列是递增数列
2.数列中，，则16是这个数列的(
)
A.第16项
B.第8项
C.第4项
D.第2项
3.有下列说法：
①数列1，3，5，7可表示为；
②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；
③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列；
④1，1，1，…不能构成一个数列.
其中说法正确的有(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
4.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知数列的通项公式为.若为递增数，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
6.已知数列的首项，则____________；猜想其通项公式为__________.
7.猜想数列的通项公式为________________.
8.已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为__________.
9.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1），，，，…；
（2），1，，，….
10.根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并作出它们的图象.
（1）；
（2）.
参考答案
基础梳理
项；；首项
递增；递减；常
通项公式
递推公式
；前项和公式
巩固练习
1.答案：ABC
解析：对于A，数列1，3，5，7与7，5，3，1不是相同的数列，故A错误；对于B，数列1，3，1，3，…是摆动数列，故B错误；对于C，数列0，1，2，3，…的通项公式为，故C错误；对于D，数列是递增数列，故D正确.故选ABC.
2.答案：C
解析：根据题意可得，解得，则l6是这个数列的第4项，故选C.
3.答案：A
解析：①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；②说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；③说法错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，…是无穷数列；④说法错误，由数列的定义，可知1，1，1，…能构成一个常数列.故选A.
4.答案：D
解析：当时，C不符合题意；当时，B不符合题意；当时，A不符合题意.故选D.
5.答案：A
解析：数列是递增数列，且数列的通项公式为，
恒成立.
的最小值是，即实数的取值范围是.故选A.
6.答案：；
解析：数列的首项，
同理可得.猜想其通项公式.
7.答案：
解析：数列的分子是相应项序号的平方，偶数项为负，分母是以3为首项的奇数列，所以数列的通项公式为.
8.答案：
解析：当时，；当时，.因为不满足，所以数列的通项公式为.
9.答案：（1）所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，，，，所以它的一个通项公式为.
（2）所给数列可写成，，，，…，数列3，5，7，9，…的一个通项公式为，数列2，5，10，17，…的一个通项公式为，所以原数列的一个通项公式为.
10.答案：（1）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为，0，，1，.
图象如图所示.
（2）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为-1，0，1，0，-1.
图象如图所示.
