第10章
空间直线与平面
10.1
平面及其基本性质
10.1.1
空间的点、直线与平面
初中学面几何，研究的是平面上一些简单图形及其几何性质；从本章开始，我们将把视野从二维的平面拓展到三维的空间；三维空间中的图形统称为空间图形或立体图形；立体几何所研究的就是一些简单的空间图形及其几何性质；
从平面几何到立体几何，既要注意借鉴平面几何中已有的一些概念、方法和结论，但更重要地，要特别注意立体几何和平面几何之间的区别；以本章学习的空间直线与平面为例，不仅平面作为一类典型的空间图形要开始进行充分地研究，而且空间两条直线之间的位置关系，除了平行与相交，还有既不相交、也不平行的情况，从而出现了异面直线这种更为复杂的研究对象；这些都是和平面几何情况大不相同的，也使立体几何的内涵格外丰富多彩。
【学习目标】
学习目标
学科素养
1、借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面；(重点)2、会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系；(易错点)3、能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理及其推论，理解三个公理的地位与作用；(重点、难点)
1、数学抽象：平面的概念；2、逻辑推理：三个公理及其推论；3、数学运算：点、直线、平面的关系；4、直观想象：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。
【自主学习】
问题导学：预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：
1、知道平面的概念；2、会点、线、面位置关系的符号表示；3、理解公理1；
【知识梳理】
1、平面的概念及表示
（1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有
，是
的；
（2）平面的表示方法
①图形表示：平面通常用
来表示，当平面水平放置的时候，
一般用水平放置的
的直观图作为平面的直观图(如图所示)；
②字母表示：平面通常用平面α，β，γ，…表示，平面ABCD；也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，平面AC或平面BD.
用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ.
用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD.
用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD.
【说明】（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成
，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面；
2、直线在平面内的概念
如果直线l上的
都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l；
2、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
3、平面的基本性质
公理1
文字表示：如果一条直线上的
在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
符号表示：A∈α，B∈α?AB?α；
图形表示：
作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面
【说明】1、公理1可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上；
2、用来证明或判断直线在平面内时，注意根据题设；如：
【自我尝试】
1、判断下列命题的真假。（真：用“√”；假：用“×”）
（1）一个平面的面积是16
cm2；（
）
（2）直线l与平面α有且只有两个公共点；（
）
（3）四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形；（
）
（4）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；（
）
（5）若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；（
）
2、若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )
A．C∈α
B．C?α
C．AB?α
D．AB∩α＝C
3、若直线上有两个点在平面外，则( )
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
4、如图表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
【题型探究】
题型一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
例1、（1）若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作________________.
（2）用符号表示下列语句，并画出图形.
①点A在平面α内但在平面β外；②直线a经过平面α内一点A，α外一点B；
③直线a在平面α内，也在平面β内.
题型二、点、线共面问题
例2、设三角形ABC的三个顶点A、B、C都在平面α.上，
证明：该三角形的重心G也在平面α上。
题型三、证明点共线、线共点问题（核心素养---逻辑推理）
例3、如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，
且AB?α，CD?β.求证：AB，CD，l共点；
【素养提升】
1、知识清单：（1）平面的概念；（2）点、线、面之间的位置关系；（3）平面的基本性质及作用.
2、方法归纳：同一法.：先由有关点确定一条直线，再证其他的点在这条直线上；或先由部分点确定一条直线，再由其他点确定另一条直线，然后证明这些平面重合；
3、常见误区：三种语言的转化.
4、思考：几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
易错防范：
在空间，若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（
）
A．黑板面
B．乒乓球桌面
C．篮球的表面
D．平静的水面
2、若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作（
）
A．.A∈b∈β
B．A∈b?β
C．A?b?β
D．A?b∈β
3、如图所示，用符号语言可表述为（
）
A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
4、设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
5、用符号表示下列语句，并画出图形.
（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上。
B级：“四能”提升训练
6、判断下列各题的说法正确与否：
（1）一个平面长
4
米，宽
2
米；
(
)
（2）平面有边界；
(
)
（3）一个平面的面积是
25
cm
2；
(
)
（4）菱形的面积是
4
cm
2；
(
)
（5）一个平面可以把空间分成两部分.
（
）
7、下列空间图形画法错误的是( )
A B
C D
8、如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( )
A．A?a，a?α，B∈α
B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α
D．A∈a，a∈α，B∈α
9、如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，
若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上；
10、如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，
若直线a和b不平行．
求证：a，b，c三条直线必过同一点．
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普通高中教科书
数学
必修
第三册（上海教育出版社）【2020年12月底1版第次】第10章
空间直线与平面
10.1
平面及其基本性质
10.1.1
空间的点、直线与平面
初中学面几何，研究的是平面上一些简单图形及其几何性质；从本章开始，我们将把视野从二维的平面拓展到三维的空间；三维空间中的图形统称为空间图形或立体图形；立体几何所研究的就是一些简单的空间图形及其几何性质；
从平面几何到立体几何，既要注意借鉴平面几何中已有的一些概念、方法和结论，但更重要地，要特别注意立体几何和平面几何之间的区别；以本章学习的空间直线与平面为例，不仅平面作为一类典型的空间图形要开始进行充分地研究，而且空间两条直线之间的位置关系，除了平行与相交，还有既不相交、也不平行的情况，从而出现了异面直线这种更为复杂的研究对象；这些都是和平面几何情况大不相同的，也使立体几何的内涵格外丰富多彩。
【学习目标】
学习目标
学科素养
1、借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面；(重点)2、会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系；(易错点)3、能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理及其推论，理解三个公理的地位与作用；(重点、难点)
1、数学抽象：平面的概念；2、逻辑推理：三个公理及其推论；3、数学运算：点、直线、平面的关系；4、直观想象：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。
【自主学习】
问题导学：预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：
1、知道平面的概念；2、会点、线、面位置关系的符号表示；3、理解公理1；
【知识梳理】
1、平面的概念及表示
（1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有厚薄，是无限延展的；
（2）平面的表示方法
①图形表示：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，
一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)；
②字母表示：平面通常用平面α，β，γ，…表示，平面ABCD；也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，平面AC或平面BD.
用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ.
用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD.
用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD.
【说明】（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°
，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面；
2、直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l；
2、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
3、平面的基本性质
公理1
文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
符号表示：A∈α，B∈α?AB?α；
图形表示：
作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面
【说明】1、公理1可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上；
2、用来证明或判断直线在平面内时，注意根据题设；如：
【自我尝试】
1、判断下列命题的真假。（真：用“√”；假：用“×”）
（1）一个平面的面积是16
cm2；（
）
（2）直线l与平面α有且只有两个公共点；（
）
（3）四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形；（
）
（4）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；（
）
（5）若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；（
）
【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×；
【解析】（1）×；平面是没有大小的.
（2）×；一条直线和一个平面公共点的个数可能为0个，1个或无数个，不可能只有2个公共点.
（3）×；也可能是四条边不在同一个平面内的空间四边形.
（4）×；平面是没有大小、厚度之分的.
（5）×；直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；
2、若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )
A．C∈α
B．C?α
C．AB?α
D．AB∩α＝C
【答案】A；【解析】因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB?α.又因为C∈直线AB，所以C∈α.
3、若直线上有两个点在平面外，则( )
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
3、【答案】；D；【解析】直线在平面外有两种情况：一是无公共点即平行，二是有一个公共点即相交.
4、如图表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
4、【答案】D；
【题型探究】
题型一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
例1、（1）若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作________________.
【提示】注意从集合视角理解空间：点、线、面；
【答案】 A∈b，b?β，A∈β；
（2）用符号表示下列语句，并画出图形.
①点A在平面α内但在平面β外；②直线a经过平面α内一点A，α外一点B；
③直线a在平面α内，也在平面β内.
【解析】①A∈α，A?β.(如图①)
②A∈a，B∈a，A∈α，B?α，a?α.(如图②)
③α∩β＝a.(如图③)
【方法归纳】三种语言转换方法：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示。
题型二、点、线共面问题
例2、设三角形ABC的三个顶点A、B、C都在平面α.上，
证明：该三角形的重心G也在平面α上。
【提示】注意从集合视角理解，空间“点、线、面”之间的关系与表示方法；
【解析】 如图，记线段AB的中点为M，因为A∈α.，B∈α；
由公理1，可知直线AB?α；
又因为C∈α，乃由公理1知，CM?α，由于重心G是线段CM的一个三等分点，故G∈α；
【方法归纳】规律方法 在证明多点共线时，可用下面的两种方法来证明：（1）纳入法：先由两点确定一条直线，再证明其他点在这条直线上；（2）同一法：即先证明一些点在一条直线上，再证明另一些点在另一条直线上，然后证明这两条直线重合，即证得所有点在同一条直线上；并且这个方法可以推广。
题型三、证明点共线、线共点问题（核心素养---逻辑推理）
例3、如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，
且AB?α，CD?β.求证：AB，CD，l共点；
【证明】 因为，在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以，AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M，则M∈AB，M∈CD，
又因为，AB?α，CD?β，所以，M∈α，M∈β，
又因为，α∩β＝l，所以，M∈l，
所以，AB，CD，l共点；
【方法归纳】点共线与线共点的证明方法：（1）点共线：证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上；（2）三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点；
【素养提升】
1、知识清单：（1）平面的概念；（2）点、线、面之间的位置关系；（3）平面的基本性质及作用.
2、方法归纳：同一法.：先由有关点确定一条直线，再证其他的点在这条直线上；或先由部分点确定一条直线，再由其他点确定另一条直线，然后证明这些平面重合；
3、常见误区：三种语言的转化.
4、思考：几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
答案 没有 平行四边形
易错防范：
在空间，若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
【答案】D；
【解析】两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D；
【说明】微提醒：①对等角定理条件认识不清致误；②缺乏空间想象能力致误。
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（
）
A．黑板面
B．乒乓球桌面
C．篮球的表面
D．平静的水面
1、【答案】C；【解析】篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分；
2、若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作（
）
A．.A∈b∈β
B．A∈b?β
C．A?b?β
D．A?b∈β
2、【答案】B；
3、如图所示，用符号语言可表述为（
）
A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
3、【答案】A
4、设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
4、【答案】C 【解析】∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C；
5、用符号表示下列语句，并画出图形.
（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上。
【解析】（1）用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图.
【注意】（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示；（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别。
B级：“四能”提升训练
6、判断下列各题的说法正确与否：
（1）一个平面长
4
米，宽
2
米；
(
)
（2）平面有边界；
(
)
（3）一个平面的面积是
25
cm
2；
(
)
（4）菱形的面积是
4
cm
2；
(
)
（5）一个平面可以把空间分成两部分.
（
）
6、【答案】（1）×
（2）
×
（3）×
（4）
√
（5）
√
7、下列空间图形画法错误的是( )
A B
C D
7、【答案】D；【解析】遮挡部分应画成虚线．故D错，选D.；
8、如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( )
A．A?a，a?α，B∈α
B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α
D．A∈a，a∈α，B∈α
8、【答案】B
【解析】点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α.
9、如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，
若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上；
证明：因为P∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC，
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE；
10、如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，
若直线a和b不平行．
求证：a，b，c三条直线必过同一点．
【证明】∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.，
由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．
设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.
∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a，b，c三条直线相交于同一点．
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普通高中教科书
数学
必修
第三册（上海教育出版社）【2020年12月底1版第次】
