第10章
空间直线与平面
10.1
平面及其基本性质
10.1.1
空间的点、直线与平面（2）
中学面几何，研究的是平面上一些简单图形及其几何性质；从本章开始，我们将把视野从二维的平面拓展到三维的空间；三维空间中的图形统称为空间图形或立体图形；立体几何所研究的就是一些简单的空间图形及其几何性质；
从平面几何到立体几何，既要注意借鉴平面几何中已有的一些概念、方法和结论，但更重要地，要特别注意立体几何和平面几何之间的区别；以本章学习的空间直线与平面为例，不仅平面作为一类典型的空间图形要开始进行充分地研究，而且空间两条直线之间的位置关系，除了平行与相交，还有既不相交、也不平行的情况，从而出现了异面直线这种更为复杂的研究对象；这些都是和平面几何情况大不相同的，也使立体几何的内涵格外丰富多彩。
【学习目标】
学习目标
学科素养
1、借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面；(重点)2、会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系；(易错点)3、能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理及其推论，理解三个公理的地位与作用；(重点、难点)
1、数学抽象：平面的概念；2、逻辑推理：三个公理及其推论；3、数学运算：点、直线、平面的关系；4、直观想象：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。
【自主学习】
问题导学：预习教材P4－P6的内容，思考以下问题：
1、知道平面的概念；2、会点、线、面位置关系的符号表示；3、理解公理2及其推论；
【知识梳理】
1、平面的概念及表示
（1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有厚薄，是无限延展的；
（2）平面的表示方法
①图形表示：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，
一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)；
②字母表示：平面通常用平面α，β，γ，…表示，平面ABCD；也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，平面AC或平面BD.
用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ.
用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD.
用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD.
【说明】（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°
，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面；
2、直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l；
2、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
3、平面的基本性质
公理1
文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
符号表示：A∈α，B∈α?AB?α；
图形表示：
作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面
【说明】（1）1、公理1可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上；（2）用来证明或判断直线在平面内时，注意根据题设；如：
公理2
文字表示：不在同一条直线上的三点确定一个平面。
符号表示：A，B，C三点不共线?有且只有一个平面α使A，B，C∈α
图形表示：
作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面
【说明】1、公理3可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”；2、过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示；3、如图的平面可以看成由不共线的3点A，B，C确定的，此时显然有：；4、如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面；
4、由三个公理得到的三个推论
推论1：
文字表示：一条直线和这条直线外一点确定一个平面；
符号表示：A?l?有且只有一个平面α，使A∈α，且l?α
图形表示：
【说明】（1）这是由公理2与公理1得到的，
如图，在直线上取两点，因为，所以3点不共线.
由公理2可知，确定一个平面，记为，由公理以及可知.
（2）推论1可以简单地说成：直线和直线外一点确定一个平面.
推论2：
文字表示：两条相交直线确定一个平面；
符号表示：l∩m＝A?有且只有一个平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
推论3：
文字表示：两条平行直线确定一个平面；
符号表示：l∥m?有且只有一个平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
【说明】（1）推论2与推论3可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面”，“两条平行直线确定一个平面”；（2）推论2可以说明，三角形是平面图形，因此初中有关三角形全等，相似，以及前面我们学习的解三角形等结论，在空间中也是成立的；（3）推论3可以说明平行四边形，梯形也是平面图形，初中有关平行四边形、梯形的判定与性质等结论，在空间中也成立；
【附】 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
【证明】如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.，
设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴l?α.即过a，b，l有且只有一个平面.
【方法归纳】在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内；
【自我尝试】
1、判断下列命题的真假。（真：用“√”；假：用“×”）
（1）三点可以确定一个平面；（
）
（2）把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点；（
）
（3）如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合；（
）
【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）；
【解析】（1）×；不共线的三点可以确定一个平面；（2）×；三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线；（3）√；过不共线的三个点有且只有一个平面；
2、已知点A，直线a，平面α.
①若A∈a，a?α，则A?α；
②若A∈α，a?α，则A∈a；
③若A?a，a?α，则A?α；
④若A∈a，a?α，则A∈α.
以上说法中，表达正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2、【答案】B；【解析】①可能a∩α＝A；②A可以不在直线a上；③A可以在平面α内；④正确.
3、下列说法不正确的是( )
A．三角形是平面图形
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．平行四边形是平面图形
D．初中学习的梯形的判断与性质等结论，在空间中仍然成立
3、【答案】B 【解析】A正确，利用推论2可以说明三角形是平面图形；B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面；C正确，利用推论3可以说明平行四边形是平面图形；D正确，因为梯形是平面图形．
4、设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
4、【答案】∈
【解析】因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
【题型探究】
题型一、点、线共面问题
例1、如图所示，直线l1∩直线l2＝点A，直线l2∩直线l3＝点B，直线l1∩直线l3＝点C；
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内；
【提示】注意由公理2及推论确定平面；
【证明】方法1 (纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α，∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法2(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内；
【方法归纳】证明点、线共面问题的常用方法：（1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”。
例2、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，
直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线；
【证明】 ∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，
∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E∈β，
∴E在α与β的交线l上.
同理，F，G，H也在α与β的交线l上，
∴E，F，G，H四点必定共线.
题型二、微专题点共线、线共点、面共线问题
注意避免：
探究1、线共点问题
例3、如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的
棱AB，BC，CC1，C1D1的中点；求证：FE，HG，DC三线共点。
【证明】如图所示，连接C1B，GF，HE，
由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，
∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B.
又C1G＝GC，CF＝BF，
∴GF∥C1B，且GF＝C1B.
∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交.设交点为K，
∴K∈HG，HG?平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF?平面ABCD，∴K∈平面ABCD，
∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，
∴EF，HG，DC三线共点.
探究2、点共线问题
例4、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线。
【证明】如图，连接A1B，CD1，BD1，
显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，
∴BD1?平面A1BCD1.
同理，BD1?平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1.
又∵A1C?平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.
∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.
探究3、面共线问题
例5、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由；
【解析】 如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，
∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，
设为P，则P∈FD1，P∈AD.
又∵D1F?平面BED1F，DA?平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
∴P∈(平面BED1F∩平面ABCD)，
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线.。
【方法归纳】（1）点共线与线共点的证明方法：①点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上；②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点；（2）确定两平面的交线，关键是确定这两个平面的两个公共点.基本事实3是解决此类问题的主要依据。
【素养提升】
1、三个公理是立体几何的基础。公理1是确定直线在平面内的依据；公理2是确定两个平面有一条交线的依据，同时也是证明多点共线、多线共点的依据。
2、证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理2.常用方法有：
①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
3、证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点，
常结合公理2，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明
三线共点；
4、证明点或线共面问题，主要有两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；
②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合；
易错防范：
已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？
【错解】A，B，C，D，E五点一定共面；
因为，A，B，C，D共面，所以，点A在B，C，D所确定的平面内；
因为，B，C，D，E共面，所以，点E在B，C，D所确定的平面内；
所以，点A、E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面；
【错因分析】错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件.实际上B，C，D三点有可能共线.；
【正解】（1）如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α.
因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内，
因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内，
所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面；
（2）若B，C，D三点共线于l，
若Al，El，则A，B，C，D，E五点一定共面；
若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；
若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面；
【特别提醒】在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题.对于确定平面问题，在应用公理3及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件.
【易错点】应用公理或其推论时出错
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、判断下列命题的真假(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）三点可以确定一个平面；（
）
（2）一条直线和一个点可以确定一个平面；（
）
（3）四边形是平面图形；（
）
（4）两条相交直线可以确定一个平面；（
）
1、【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；
【解析】（1）错误．不共线的三点可以确定一个平面．
（2）错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．
（3）错误．四边形不一定是平面图形．
（4）正确．两条相交直线可以确定一个平面．
2、在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（
）
A．黑板面
B．乒乓球桌面
C．篮球的表面
D．平静的水面
2、【答案】C；【解析】篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分。
3、若一直线a在平面α内，则正确的作图是( )
【答案】 A
【解析】B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.
4、如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( )
A．A?a，a?α，B∈α
B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α
D．A∈a，a∈α，B∈α
【答案】B
【解析】点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α.
5、如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，
若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上；
证明： 因为P∈AB，AB?平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
B级：“四能”提升训练
6、经过空间任意三点作平面（
）
A．只有一个
B．可作二个
C．可作无数多个
D．只有一个或有无数多个
6、【答案】D；【解析】当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个；
7、A、B、C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α?α∩β
＝直线AB
C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合
D．l?α，A∈l?A?α
7、【答案】D；【解析】A是公理1，故A正确；B是公理2，故B正确；C是公理2，故C正确；当l?α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故D不正确．
8、下列命题中正确的是( )
A．过三点确定一个平面
B．四边形是平面图形
C．三条直线两两相交则确定一个平面
D．两个相交平面把空间分成四个区域
8、【答案】D；
【解析】对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确。
9、如图，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a；
求证：PQ?α.
证明 因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，
所以直线a?β，点P∈β.因为P∈b，b?α，所以P∈α.又因为a?α，P?a，所以α与β重合，所以PQ?α.
10、已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
10、证明：如图所示.由已知a∥b，
所以过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴l?α，即过a，b，l有且只有一个平面.
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普通高中教科书
数学
必修
第三册（上海教育出版社）【2020年12月底1版第次】第10章
空间直线与平面
10.1
平面及其基本性质
10.1.1
空间的点、直线与平面（2）
中学面几何，研究的是平面上一些简单图形及其几何性质；从本章开始，我们将把视野从二维的平面拓展到三维的空间；三维空间中的图形统称为空间图形或立体图形；立体几何所研究的就是一些简单的空间图形及其几何性质；
从平面几何到立体几何，既要注意借鉴平面几何中已有的一些概念、方法和结论，但更重要地，要特别注意立体几何和平面几何之间的区别；以本章学习的空间直线与平面为例，不仅平面作为一类典型的空间图形要开始进行充分地研究，而且空间两条直线之间的位置关系，除了平行与相交，还有既不相交、也不平行的情况，从而出现了异面直线这种更为复杂的研究对象；这些都是和平面几何情况大不相同的，也使立体几何的内涵格外丰富多彩。
【学习目标】
学习目标
学科素养
1、借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面；(重点)2、会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系；(易错点)3、能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理及其推论，理解三个公理的地位与作用；(重点、难点)
1、数学抽象：平面的概念；2、逻辑推理：三个公理及其推论；3、数学运算：点、直线、平面的关系；4、直观想象：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。
【自主学习】
问题导学：预习教材P4－P6的内容，思考以下问题：
1、知道平面的概念；2、会点、线、面位置关系的符号表示；3、理解公理2及其推论；
【知识梳理】
1、平面的概念及表示
（1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有厚薄，是无限延展的；
（2）平面的表示方法
①图形表示：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，
一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)；
②字母表示：平面通常用平面α，β，γ，…表示，平面ABCD；也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，平面AC或平面BD.
用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ.
用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD.
用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD.
【说明】（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°
，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面；
2、直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l；
2、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
3、平面的基本性质
公理1
文字表示：如果一条直线上的
在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
符号表示：A∈α，B∈α?AB?α；
图形表示：
作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面
【说明】（1）1、公理1可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上；（2）用来证明或判断直线在平面内时，注意根据题设；如：
公理2
文字表示：不在
的三点确定一个平面。
符号表示：A，B，C三点不共线?有且只有一个平面α使A，B，C∈α
图形表示：
作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面
4、由三个公理得到的三个推论
推论1：
文字表示：一条
和这条
确定一个平面；
符号表示：A?l?有且只有一个平面α，使A∈α，且l?α
图形表示：
推论2：
文字表示：两条
直线确定一个平面；
符号表示：l∩m＝A?有且只有一个平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
推论3：
文字表示：两条
确定一个平面；
符号表示：l∥m?有且只有一个平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
【自我尝试】
1、判断下列命题的真假。（真：用“√”；假：用“×”）
（1）三点可以确定一个平面；（
）
（2）把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点；（
）
（3）如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合；（
）
2、已知点A，直线a，平面α.
①若A∈a，a?α，则A?α；
②若A∈α，a?α，则A∈a；
③若A?a，a?α，则A?α；
④若A∈a，a?α，则A∈α.
以上说法中，表达正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
3、下列说法不正确的是( )
A．三角形是平面图形
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．平行四边形是平面图形
D．初中学习的梯形的判断与性质等结论，在空间中仍然成立
4、设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
【题型探究】
题型一、点、线共面问题
例1、如图所示，直线l1∩直线l2＝点A，直线l2∩直线l3＝点B，直线l1∩直线l3＝点C；
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内；
例2、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，
直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线；
题型二、微专题点共线、线共点、面共线问题
注意避免：
探究1、线共点问题
例3、如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的
棱AB，BC，CC1，C1D1的中点；求证：FE，HG，DC三线共点。
探究2、点共线问题
例4、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线。
探究3、面共线问题
例5、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由；
【素养提升】
1、三个公理是立体几何的基础。公理1是确定直线在平面内的依据；公理2是确定两个平面有一条交线的依据，同时也是证明多点共线、多线共点的依据。
2、证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理2.常用方法有：
①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
3、证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点，
常结合公理2，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明
三线共点；
4、证明点或线共面问题，主要有两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；
②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合；
易错防范：
已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？
【错解】A，B，C，D，E五点一定共面；
因为，A，B，C，D共面，所以，点A在B，C，D所确定的平面内；
因为，B，C，D，E共面，所以，点E在B，C，D所确定的平面内；
所以，点A、E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面；
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、判断下列命题的真假(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）三点可以确定一个平面；（
）
（2）一条直线和一个点可以确定一个平面；（
）
（3）四边形是平面图形；（
）
（4）两条相交直线可以确定一个平面；（
）
2、在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（
）
A．黑板面
B．乒乓球桌面
C．篮球的表面
D．平静的水面
3、若一直线a在平面α内，则正确的作图是( )
4、如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( )
A．A?a，a?α，B∈α
B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α
D．A∈a，a∈α，B∈α
5、如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，
若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上；
B级：“四能”提升训练
6、经过空间任意三点作平面（
）
A．只有一个
B．可作二个
C．可作无数多个
D．只有一个或有无数多个
7、A、B、C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α?α∩β
＝直线AB
C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合
D．l?α，A∈l?A?α
8、下列命题中正确的是( )
A．过三点确定一个平面
B．四边形是平面图形
C．三条直线两两相交则确定一个平面
D．两个相交平面把空间分成四个区域
9、如图，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a；
求证：PQ?α.
10、已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
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普通高中教科书
数学
必修
第三册（上海教育出版社）【2020年12月底1版第次】
