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4.2.1
等差数列的概念
第四章
数列
学习目标
1.通过实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，了解等差中项的概念.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
4.通过等差数列的概念、通项公式，认识等差数列的性质.
探索新知
1.等差数列的概念
2.等差中项
3.等差数列的通项公式
推导过程
4.等差数列与一次函数的关系
例题剖析
课堂小练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
本节课学习了等差数列的概念、等差中项、等差数列的通项公式、等差数列的性质及其应用.
谢谢观看！
悉的哪一类函数有关?
≠0
x+
fx
(6a6)/f(x)=dx+(a1-d)
(5
为
(4a4
2
(3,a3)/
的
(2
11
点
a1(1,a1)
少01
23456
x
9
图4.2第四章
数列
4.2.1
等差数列的概念
学案
一、学习目标
1.通过实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，了解等差中项的概念.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
4.通过等差数列的概念、通项公式，认识等差数列的性质.
二、基础梳理
1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A叫做a与b的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，.
3.等差数列的通项公式：设一个等差数列的首项为，公差为d，则通项公式为.
三、巩固练习
1.数列的通项公式为，则此数列(
)
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
2.在等差数列中，若，，则(
)
A.-1
B.0
C.1
D.6
3.已知等差数列中各项都不相等，，且，则公差(
)
A.1
B.
C.2
D.2或
4.若等差数列的前三项为，，，则这个数列的通项公式为(
)
A.
B.
C.
D.
5.在数列中，，，则的值为(
)
A.52
B.51
C.50
D.49
6.若a，b，c成等差数列，则二次函数的图像与x轴的交点个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.1或2
7.已知等差数列的公差为，且，若，则m的值为(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
8.已知数列满足，，则(
)
A.143
B.156
C.168
D.195
9.已知数列为等差数列，，.若，则(
)
A.
B.
C.
D.
10.等差数列中，，，则与等差中项的值为_____________.
11.在等差数列中，，，则数列的通项公式为___________.
12.一个首项为23，公差为整数的等差数列，若前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为_________________.
13.已知数列是等差数列.若，，且，则_________________.
14.已知数列满足，.
(1)数列是否为等差数列?说明理由.
(2)求.
15.在数列中，，，若数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列中的最大项与最小项.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，数列是公差为2的等差数列.令，得，故的首项为7.故选A.
2.答案：B
解析：因为为等差数列，所以，解得，故选B.
3.答案：B
解析：，，又，或（舍去）.
4.答案：B
解析：等差数列的前三项为，，，
，解得.
设数列的公差为，，，.故选B.
5.答案：A
解析：因为数列满足，所以，又，所以数列是首项为2，公差为的等差数列，所以故选A.
6.答案：D
解析：因为a，b，c成等差数列，所以，所以.所以二次函数的图像与x轴交点的个数为1或2.故选D.
7.答案：D
解析：由题意，，即，
根据等差数列的性质，可知，，，又，.
8.答案：C
解析：由，得，，
又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，
，.
9.答案：A
解析：，.
数列为等差数列，，，，，，.
10.答案：11
解析：根据题意，等差数列中，，，则有，则与的等差中项为.
11.答案：
解析：设数列的公差为d，由，得，又，所以，所以.
12.答案：
解析：设等差数列的公差为d，且d为整数，由题意得，，，所以，且，解得，又d为整数，则公差.
13.答案：18
解析：设数列的公差为d，，，，，，，即，解得.
14.解析：(1)数列是等差数列.理由如下：
因为，，所以，
所以，
即是首项为，公差的等差数列.
(2)由(1)可知，，所以.
15.解析：（1）当时，
，，
.
又，
数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）依题意，有.
，.
对于函数，当时，，当时，，
且函数在上单调递减，在上单调递减.
当时，取最大值，最大值为；
当时，取最小值，最小值为.
数列中的最大项为，最小项为.第四章
数列
4.2.1
等差数列的概念
教学设计
一、教学目标
1.通过实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，了解等差中项的概念.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
4.通过等差数列的概念、通项公式，认识等差数列的性质.
二、教学重难点
1、教学重点
等差中项、等差数列的通项公式、等差数列的性质及应用.
2、教学难点
等差数列通项公式的推导、等差数列的性质及应用.
三、教学过程
1、新课导入
我们知道，数列是一种特殊的函数.
在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型.
类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
这节课，我们就快来学习一下等差数列的概念.
2、探索新知
一、等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
二、等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A叫做a与b的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，.
三、等差数列的通项公式
设一个等差数列的首项为，公差为d.
根据等差数列的定义，可得，
所以，，，….
于是，
，
，
……
归纳可得.
当时，上式为.
这就是说，上式当时也成立.
因此，首项为，公差为d的等差数列的通项公式为.
四、等差数列与一次函数的关系
由于，所以当时，等差数列的第n项是一次函数当时的函数值，即.
如图，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为d，截距为的直线.
在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象.
事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上.
反之，任给一次函数（k，b为常数），则，，…，，…构成一个等差数列，其首项为，公差为k.
例1
（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
解：（1）当时，由的通项公式，
可得.
于是.
把代入通项公式，得.
所以的公差为，首项为3.
（2）由已知条件，得.
把，代入，
得.
把代入上式，得.
所以，这个数列的第20项是.
例2
是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
解：由，，
得这个数列的通项公式为.
令，解这个关于n的方程，得.
所以，是这个数列的项，是第100项.
例3
某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.
经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.
已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.
请确定d的取值范围.
解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.
由已知条件，得.
由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元，所以，
于是.
根据题意得，即，
解这个不等式组，得.
所以，d的取值范围为.
例4
已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由.
解：（1）设数列的公差为.
由题意可知，，，于是.
因为，所以，所以.
所以.
所以，数列的通项公式是.
（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，
这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.
令，解得.
所以，是数列的第8项.
例5
已知数列是等差数列，p，q，s，，且.求证.
证明：设数列的公差为d，
则，，，.
所以，.
因为，所以.
3、课堂练习
1.数列的通项公式为，则此数列(
)
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
答案：A
解析：，数列是公差为2的等差数列.令，得，故的首项为7.故选A.
2.在等差数列中，若，，则(
)
A.-1
B.0
C.1
D.6
答案：B
解析：因为为等差数列，所以，解得，故选B.
3.已知等差数列中各项都不相等，，且，则公差(
)
A.1
B.
C.2
D.2或
答案：B
解析：，，又，或（舍去）.
4.若等差数列的前三项为，，，则这个数列的通项公式为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：等差数列的前三项为，，，
，解得.
设数列的公差为，，，.故选B.
4、小结作业
小结：本节课学习了等差数列的概念、等差中项、等差数列的通项公式、等差数列的性质及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
4.2.1
等差数列的概念
1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A叫做a与b的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，.
3.等差数列的通项公式：设一个等差数列的首项为，公差为d，则通项公式为.
