第10章
空间直线与平面
10.1
平面及其基本性质（预习
理解
巩固
资料）
1、平面的概念及表示
（1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有厚薄，是无限延展的；
（2）平面的表示方法
①图形表示：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，
一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)；
②字母表示：平面通常用平面α，β，γ，…表示，平面ABCD；也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，平面AC或平面BD；
用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ.
用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD.
用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD.
【说明】（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°
，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面；
2、直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l；
3、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
4、平面的基本性质（一）
公理1
文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
符号表示：A∈α，B∈α?AB?α；
图形表示：
作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面
【说明】（1）、公理1可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上；
（2）、用来证明或判断直线在平面内时，注意根据题设；如：
公理2
文字表示：不在同一条直线上的三点确定一个平面。
符号表示：A，B，C三点不共线?有且只有一个平面α使A，B，C∈α
图形表示：
作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面
【说明】（1）、公理2可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”；（2）、过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示；（3）、如图的平面可以看成由不共线的3点A，B，C确定的，此时显然有：；（4）、如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面；
5、由三个公理得到的三个推论
推论1：
文字表示：一条直线和这条直线外一点确定一个平面；
符号表示：C?l?有且只有一个平面α，使C∈α，且l?α
图形表示：
【说明】（1）这是由公理2与公理1可【验证】得：
如图，在直线l上取两点A
，B
，因为Cl，所以A
，B
，
C三点不共线，
由公理2可知，A
，B
，
C确定一个平面，记为a，由公理1
A∈a，
B∈a，可知lα；.
（2）推论1可以简单地说成：直线和直线外一点确定一个平面.
推论2：
文字表示：两条相交直线确定一个平面；
符号表示：l∩m＝A?有且只有一个平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
【说明】（1）这是由公理2与公理1可【验证】得：
如图，由l∩m＝A，在直线l上取不同与A的点B，在直线m上取不同与A的点C，
由公理2可知A
，B
，
C确定一个平面α，
由公理1及
由A∈a，
B∈a，可知直线AB?α，同理直线AC?α；
即l?α，同理直线m?α；
（2）推论2可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面”，（2）推论2可以说明，三角形是平面图形，因此初中有关三角形全等，相似，以及前面我们学习的解三角形等结论，在空间中也是成立的；
推论3：
文字表示：两条平行直线确定一个平面；
符号表示：l∥m?有且只有一个平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
【说明】（1）由平行线的定义【验证】得：
根据直线平行的定义，这两条平行线在同一个平面内，
（2）推论3可以分别简单地说成
“两条平行直线确定一个平面”；（3）推论3可以说明平行四边形，梯形也是平面图形，初中有关平行四边形、梯形的判定与性质等结论，在空间中也成立；
6、平面的基本性质（二）
公理3
文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号表示：P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
图形表示：
作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上
【说明】（1）公理2说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有；
（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；
（3）根据公理2可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分；
7、空间图形的平面直观图的画法
（1）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：
一般地，用斜二测画法作出水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下：
（1）在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，
作出与之对应的轴和轴，使得它们正方向的夹角为（或）；
（2）平面图形与x轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的不变;
平面图形与y轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的一半;
（3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.
【说明】用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x轴与y轴平行（或重合）的线段；
【方法提炼】
（2）一般地，用斜二测画法作立体图形直观图地步骤如下：
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直地x轴与y轴，作出水平平面上图形地直观图（保留轴与轴）
（2）在立体图形中，过x轴与y轴地交点取z轴，
并使z轴垂直于x轴与y轴过轴与轴的交点作z轴对应的轴，且轴垂直于轴；
图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度不变，连接有关线段.
（3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.
【简单几何体直观图的画法步骤】（1）画轴：通常以高所在直线为z轴建系；（2）画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面；（3）确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点；（4）连线成图；
8、典例分析
题型1、规范使用“符号语言”表示空间点、线、面的位置关系
例1、“平面内的直线、相交于点”，用符号语言概述为“，且
”，是否正确？
【答案】不正确；
【解析】不正确．应表示为：，，且；
相交于点的直线、都在平面内，也可以说，
平面经过相交于点的直线、；
题中的符号语言只描述了直线、交于点，点在平面内，而没有描述直线、也都在平面内，【右图】也是题中的符号语言所表示的情形；
【说明】用符号语言来叙述时，必须交代清楚所有元素的位置关系，不能有半点遗漏；立体几何中的三种语言“文字语言、图形语言、符号语言”组成立体几何的表述语言；其中文字语言比较自然、生动，能将问题研究的对象的含义更明确地叙述出来；图形语言给人以清晰的视觉形象，有助于空间想象力的培养；而符号语言更精练、简洁；三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径，有利于对思维广阔性的培养。
题型2、正确使用“符号语言”表示空间点、线、面的位置关系
例2、根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
（1）点P与直线AB；
（2）点C与直线AB；
（3）点M与平面ABCD；
（4）点A1与平面ABCD；（5）直线AB与直线BC；（6）直线AB与平面ABCD；
（7）平面A1ABB1与平面ABCD。
【提示】注意：点与线、点与面之间选择符号“∈、?”，线与面之间选择符号“?”；
【解析】（1）点P∈直线AB；（2）点C?直线AB；
（3）点M∈平面ABCD；
（4）点A1?平面ABCD；（5）直线AB∩直线BC＝点B；（6）直线AB?平面ABCD；
（7）平面A1ABB1∩平面ABCD＝直线AB；
【说明】（1）符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”,直线与平面的位置关系只能用“?”或“不在平面内”；（2）由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线；
题型3、“三种语言”的等价转换
例3、（1）如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系；
①
②
（2）用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．
【提示】根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．
【解析】（1）①α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P，l∥m.
②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩b∩c＝O，a∩γ＝O；
（2）符号语言表示：
平面ABD∩平面BDC＝BD，
平面ABC∩平面ADC＝AC；
图形表示：
【说明】（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示；（2）要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“不在平面内”表示；（3）由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别。
题型4、规范“画交线”（或截面）
例4、在正方体ABCD?A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由。
【解析】设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，
如图．
理由如下：
因为，点M∈平面ACD1，
点N?平面ACD1，
所以MN?平面ACD1.
同理，MN?平面BDC1，
所以，平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1的交线。
【说明】注意利用公理2及其推论确定平面；画直线或线段则依据“两点决定直线（或线段）”。
题型5、点、线共面问题
例5、如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C；
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内。
【提示】注意利用公理2及其推论确定平面；
利用公理1判断直线在平面内；
【证明】 方法一：（纳入法）∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α，
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内；
方法二：（同一法）∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内；
【说明】在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
（1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内；
（2）同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内。
（3）反证法：假设不共面，结合题设推出矛盾。
题型6、点共线问题
例6、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC
分别与平面α相交于点E，G，H，F；
求证：E，F，G，H四点必定共线。
【提示】注意“两点决定一条直线”与等价转化的交汇；先选择“两点”决定直线；
【证明】 ∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，
∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E∈β，∴E在α与β的交线l上.
同理，F，G，H也在α与β的交线l上，
∴E，F，G，H四点必定共线；
【说明】点共线的证明方法：证明多点共线通常用公理3，即两相交平面交线的唯一性；通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上。
题型7、线共点问题
例7、如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，
设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β；
求证：AB，CD，l共点.
【提示】注意类比“多点共线”与先选择“两条直线”决定交点；
【证明】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M，则M∈AB，M∈CD，
又∵AB?α，CD?β，∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点；
【说明】线共点的证明方法：多线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得多线共点。
题型8、面共线问题
例8、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由；
【提示】注意利用公理2及其推论确定平面；公理3确定平面的交线；利用公理1判断直线在平面内；
【解析】如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD.
又∵D1F?平面BED1F，DA?平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD，∴P∈(平面BED1F∩平面ABCD)，
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点；
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，∴连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线；
【说明】确定两平面的交线，关键是确定这两个平面的两个公共点；公理3是解决此类问题的主要依据。
题型9、画水平放置的图形之直观图
例9、画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
【解析】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
（2）以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，
在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
（3）连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
【说明】在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可。
题型10、画几何体之直观图
例10、用斜二测画法画长、宽、高分别为4
cm、3
cm、2
cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
【解析】（1）画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4
cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝
cm，分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD；
（3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′；
（4）成图.顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图；
【说明】空间几何体的直观图的画法：（1）对于一些常见几何体(柱、锥、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出；（2）画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向；（3）z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致。
题型11、直观图与原平面图形“数量”间联系
例11、如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是( )
A.
B.
C.
D.2
【答案】C；
【解析】直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为∶4，所以原图形的面积为，故选C；
【说明】平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到直观图的面积为S直，则有S直＝S原.
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普通高中教科书
数学
必修
第三册（上海教育出版社）【2020年12月底1版第次】第10章
空间直线与平面
10.1
平面及其基本性质（预习
理解
巩固
资料）
1、平面的概念及表示
（1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有
，是
的；
（2）平面的表示方法
①图形表示：平面通常用
来表示，当平面水平放置的时候，
一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)；
②字母表示：平面通常用平面α，β，γ，…表示，平面ABCD；也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，平面AC或平面BD；
用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ.
用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD.
用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD.
【说明】（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°
，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面；
2、直线在平面内的概念
如果直线l上的
都在平面α内，就说直线l在平面α
，或者说平面α
直线l；
3、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
4、平面的基本性质（一）
公理1
文字表示：如果一条直线上的
在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
符号表示：A∈α，B∈α?AB?α；
图形表示：
作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面
【说明】（1）、公理1可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上；
（2）、用来证明或判断直线在平面内时，注意根据题设；如：
公理2
文字表示：不在
的三点确定一个平面。
符号表示：A，B，C三点不共线?有且只有一个平面α使A，B，C∈α
图形表示：
作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面
【说明】（1）、公理2可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”；（2）、过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示；（3）、如图的平面可以看成由不共线的3点A，B，C确定的，此时显然有：；（4）、如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面；
5、由三个公理得到的三个推论
推论1：
文字表示：一条
和这条
确定一个平面；
符号表示：C?l?有且只有一个平面α，使C∈α，且l?α
图形表示：
【说明】（1）这是由公理2与公理1可【验证】得：
如图，在直线l上取两点A
，B
，因为Cl，所以A
，B
，
C三点不共线，
由公理2可知，A
，B
，
C确定一个平面，记为a，由公理1
A∈a，
B∈a，可知lα；.
（2）推论1可以简单地说成：直线和直线外一点确定一个平面.
推论2：
文字表示：两条
直线确定一个平面；
符号表示：l∩m＝A?有且只有一个平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
（2）推论2可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面”，（2）推论2可以说明，三角形是平面图形，因此初中有关三角形全等，相似，以及前面我们学习的解三角形等结论，在空间中也是成立的；
推论3：
文字表示：
确定一个平面；
符号表示：l∥m?有且只有一个平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
6、平面的基本性质（二）
公理3
文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号表示：P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
图形表示：
作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上
【说明】（1）公理2说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有；
（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；
（3）根据公理2可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分；
7、空间图形的平面直观图的画法
（1）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：
一般地，用斜二测画法作出水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下：
（1）在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，
作出与之对应的轴和轴，使得它们正方向的夹角为（或）；
（2）平面图形与x轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的不变;
平面图形与y轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的一半;
（3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.
【说明】用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x轴与y轴平行（或重合）的线段；
【方法提炼】
（2）一般地，用斜二测画法作立体图形直观图地步骤如下：
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直地x轴与y轴，作出水平平面上图形地直观图（保留轴与轴）
（2）在立体图形中，过x轴与y轴地交点取z轴，
并使z轴垂直于x轴与y轴过轴与轴的交点作z轴对应的轴，且轴垂直于轴；
图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度不变，连接有关线段.
（3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.
【简单几何体直观图的画法步骤】（1）画轴：通常以高所在直线为z轴建系；（2）画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面；（3）确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点；（4）连线成图；
8、典例分析
题型1、规范使用“符号语言”表示空间点、线、面的位置关系
例1、“平面内的直线、相交于点”，用符号语言概述为“，且
”，是否正确？
题型2、正确使用“符号语言”表示空间点、线、面的位置关系
例2、根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
（1）点P与直线AB；
（2）点C与直线AB；
（3）点M与平面ABCD；
（4）点A1与平面ABCD；（5）直线AB与直线BC；（6）直线AB与平面ABCD；
（7）平面A1ABB1与平面ABCD。
题型3、“三种语言”的等价转换
例3、（1）如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系；
①
②
（2）用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．
题型4、规范“画交线”（或截面）
例4、在正方体ABCD?A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由。
题型5、点、线共面问题
例5、如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C；
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内。
题型6、点共线问题
例6、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC
分别与平面α相交于点E，G，H，F；
求证：E，F，G，H四点必定共线。
题型7、线共点问题
例7、如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，
设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β；
求证：AB，CD，l共点.
题型8、面共线问题
例8、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由；
【说明】确定两平面的交线，关键是确定这两个平面的两个公共点；公理3是解决此类问题的主要依据。
题型9、画水平放置的图形之直观图
例9、画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
题型10、画几何体之直观图
例10、用斜二测画法画长、宽、高分别为4
cm、3
cm、2
cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
题型11、直观图与原平面图形“数量”间联系
例11、如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是( )
A.
B.
C.
D.2
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普通高中教科书
数学
必修
第三册（上海教育出版社）【2020年12月底1版第次】
