安徽省六校教育研究会2022届高三上学期8月第一次素质测试理科数学试题 Word版含答案

安徽六校教育研究会2022届高三第一次素质考试理科数学试题
考试时间：120分钟
试卷分值：150分
第I卷选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
1．设集合，则（　　）
A．
B．
C．
D．
2．复数，则（　　）
A．
B．4
C．
D．
3．一个至少有3项的数列中，前项和是数列为等差数列的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．下列说法正确的是（　　）
A．经过三点确定一个平面
B．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥
C．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
D．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形
5．二项式的展开式中的系数为20，则（　　）
A．7
B．6
C．5
D．4
6．将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的横坐标为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．已知抛物线，A和分别为抛物线上的两个动点，若（O为坐标原点），弦恒过定点，则抛物线方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丢一粒种子，则种子落入白色部分的概率为（　　）
A．
B．
C．
Ｄ．
9．把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（　　）
A．20个
B．62个
C．63个
D．64个
10．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15．如图所示．
一般地，将连续的正整数1，2，3，…填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上的数的和为，如图三阶幻方记为，那么的值为（　　）
A．670
B．671
C．672
D．675
11．已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．设，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
第II卷选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）．
13．已知向量，满足，，则__________．
14．在棱长为2的正四面体中，是的高线，则异面直线和夹角的正弦值为__________．
15．正割（secant）及余割（cosecant）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知，且对任意的实数均成立，则的最小值为__________．
16．已知函数，设，且函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为__________．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（本小题满分10分）已知数列的前项和为，且满足，
设．
（1）分别求和的通项公式；
（2）求数列的前前项和．
18．（本小题满分12分）三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）求；
（2）若，求的面积最大值．
19．（本小题满分12分）近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为．为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．
（1）用表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望；
（2）设为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件发生的概率．
20．（本小题满分12分）如图，在多面体中，底面是等腰直角三角形，，四边形为矩形，面，，，N为中点，面交于点．
（1）求长；
（2）求二面角的余弦值．
21．本小题满分12分）．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左右焦点，为椭圆上的一个动点，且面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于A，B两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，，记直线，，的斜率分别为，，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由．
22．本小题满分12分）设，满足，证明：
（1）对任意正数，有；
（2）对任意正数a，b，有．
安徽六校教育研究会2022届高三第一次素质考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
C
D
B
A
B
C
B
B
B
D
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．
14．
15．9
16．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（1）由知，
当时，
两式相减，得
即
当时，
故时也适合上式
∴
综上：
（2）由（1）知
18．（1）∵
∴
∴
∴
∵，∴
（2）由，及余弦定理知
（当且仅当时“=”成立）
故
∴
故面积的最大值为
19．解：（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且
所以，随机变量的分布列为：
X
0
1
2
3
P
随机变量的数学期望
.
B为事件“抽取的3名学生中，不近视2人，近视1人”；设为事件“抽取的3名学生中，不近视1人，近视2人”，则，且与互斥，从而．
20．延长，交于一点，连接，
∵且
∴为中点，
∴为的中线，
∵为的中点知，
∴为的中线
∵
∴为的重心
故
由知
（2）如图以为原点，，分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系，则
，，，
，，．
设面的法向量为
知即
令，得
同理设面的法向量为
知即
令，得
故面的一个法向量为
由图知二面角为锐角
∴
21．（1）由椭圆的离心率为及的面积最大值为可得方程组
，解得，．
故椭圆的方程为：
（2）设，由轴，得，
设直线的方程为，与椭圆联立，
，代入消元得，
∴，
∴
∴
22．（1）令，则，且．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值．故对任意，有，结论得证．
（2）令，则，且
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值．
而，其中，
故对任意，有，特别，结论得证．