安徽省六校教育研究会2022届高三上学期8月第一次素质测试文科数学试题 Word版含答案

安徽省六校教育研究会2022届高三第一次素质测试
文科数学试题
考试时间：120分钟
试卷满分：150分
注意事项：
1.
本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分；请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效.
2.
请先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置.
3.
回答选择题时，请务必使用2B铅笔把你所选的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
4.
回答非选择题时，须在与题号对应的答题框内作答，否则答题无效，注意字迹清楚，卷面整洁.
第Ⅰ卷
选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，满分60分.
1.
设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.
复数，则（
）
A.
B.
4
C.
D.
3.
已知函数，对，则“”是“”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
4.
下列说法正确的是（
）
A.
经过三点确定一个平面
B.
各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥
C.
各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
D.
一个三棱锥四个面可以都为直角三角形
5.
下列函数图像中，不可能是函数的图像是（
）
A.
B.
C.
D.
6.
函数的对称中心坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
7.
命题：数，，能成为等差数列的项（可以不是相邻项），命题：数2，5，7能成为等比数列的项（可以不是相邻项），则命题、的真假情况是（
）
A.
真、真
B.
真、假
C.
假、真
D.
假、假
8.
已知抛物线，点和分别为抛物线上的两个动点，若（为坐标原点），弦恒过定点，则抛物线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
9.
《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，该方法对研究两个整数间关系十分优越，将该方法用算法流程图表示如图，若输入，，则输出的结果为（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
10.
已知，为实数且，则下列所给4个不等式中一定成立的序号是（
）
①
②
③
④
A.
②④
B.
①③
C.
②③④
D.
①②③④
11.
已知，是双曲线：的左右焦点，曲线：与曲线在二、四象限的交点分别是，，四边形的周长和面积满足，则双曲线的离心率是（
）
A.
2
B.
C.
D.
12.
已知定义域为的函数，又当时，，则关于的不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.
13.
若实数，满足约束条件，则的最小值为___________.
14.
立德中学对2022届高三学生的某项指标进行抽样调查，按性别进行分层抽样，抽查男生24人，其平均数和方差分别为12、4，抽查女生16人，其平均数和方差分别为10、6，则本次调查的总样本的方差是__________.
15.
三棱锥中，为边长为3的等边三角形，，，且面面，则三棱锥的外接球的体积为___________.
16.
托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是以其名字命名的重要定理，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，为正三角形，则面积的最大值为___________；四边形的面积为__________.（注：圆内接凸四边形对角互补）
三、解答题
17.
已知数列中，前项和为，且满足，，设.
（Ⅰ）分别求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
18.
在中，角，，的对边分别为，，，为的中线，，，.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的长.
19.
医学统计表明，疾病在老年人中发病率较高.已知某地区老年人的男女比例为，为了解疾病在该地区老年人中发病情况，按分层抽样抽取100名老人作为样本，对这100位老人是否患有疾病进行统计，得条形图如下所示.
（Ⅰ）完成下列列联表，并判断有没有的把握认为患疾病与性别有关？
（Ⅱ）在这100个样本中，将未患疾病老年人按年龄段，，，，分成5组，得频率分布直方图如图二所示.求未患病老年人的中位数（精确到小数点后一位）.
男性
女性
合计
患有疾病
未患疾病
合计
附：，其中.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.
如图，四棱锥中，底面为矩形，，，平面，为的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值；
（Ⅲ）在第二问的条件下，若为线段中点，为线段上的动点，平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.
21.
在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆：过点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线上存在点，且过点的椭圆的两条切线相互垂直，求实数的取值范围.
22.
已知函数，.
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值及函数图像在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（Ⅲ）设，证明：.
安徽六校教育研究会2022届高三第一次素质测试
文科数学参考答案
一、选择题
1-5：CBCDC
6-10：DBBDC
11-12：CA
二、填空题
13.
0
14.
5.76
15.
16.
；
三、解答题
17.
解：（1）由知，
当时，，
两式相减，得
，
即，
当时，满足上式
∴，
.
综上可知：∴，.
（2）由（1）知，
∴.
18.
解：（Ⅰ）在中，由余弦定理，得，
所以，所以，
由正弦定理，得，
所以，
即，
所以.
因为，所以，所以，
又，所以.
（Ⅱ）因为，，所以.
因为，
因为，所以，所以，
在中，，
即，所以.
19.
解：（Ⅰ）由条形图知男性共60人，女性共40人，未患有疾病男性有40人，未患有疾病女性25人，完成列联表如下：
男性
女性
合计
患有疾病
20
15
35
未患疾病
40
25
65
合计
60
40
100
计算：.
所以，没有的把握认为患疾病与性别有关.
（Ⅱ）由频率分布直方图得：，得，
设中位数为，则.
由，得，
平均数
，
即未患病老人的年龄中位数约为74.5，平均数约为74.6.
20.
证明：（Ⅰ）设与的交点为，连结，
∵底面是矩形，∴是的中点，
又∵为的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（Ⅱ）∵，又，∴，
又底面，底面，所以.
在矩形中，，，平面，
所以平面，则直线与平面所成角为，
所以.
所以直线与平面所成角的正切值为.
（Ⅲ）平面与平面互相垂直，理由如下：
因为底面，平面，所以.
因为为正方形，所以.
又，且平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，为线段的中点，所以，
又，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
21.
解：（Ⅰ）由题意，，解得，又，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）①当过点的椭圆的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于轴，易得；
②当过点的椭圆的切线的斜率均存在时，设，，
切线方程为，
代入椭圆方程得，
，
化简得：，
由此得，
设过点的椭圆的切线的斜率分别为，，所以.
因为两条切线相互垂直，所以，即，
由①②知在圆上，又点在直线上，
所以直线与圆有公共点，
所以，所以.
综上所述，的取值范围为.
22.
解：（Ⅰ）由题意得：，
由是函数的极值点，
得，解得，经检验符合题意.
所以，又，
故在点处的切线方程为：.
（Ⅱ）由及在上单调递增，
得在上恒成立，
得在上恒成立，
即在上恒成立，
易得在上，
所以，得.
（Ⅲ）因，
要证，
只需证，
即证，亦即，
设，记，
由（Ⅱ）知在单调递增.
所以.
即，故得证.