(共32张PPT)
26.1.2反比例函数的
图象与性质
人教版
九年级下册
新知导入
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的定义中需要注意什么？
（1）k
是非零常数.
（2）xy
=
k．
一般地，形如
y
=
(
k是常数,
k
≠0
)
的函数叫做反比例函数．
新知导入
我们用什么方法画反比例函数的图象呢？有哪些步骤？
根据
k
的取值，应该如何分类讨论呢？
思考
探究新知
函数图象画法
列
表
描
点
连
线
描点法
例2
画出反比例函数
和
的图象．
探究新知
x
…
-12
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
6
12
…
…
-1.5
-2
6
2
1
…
…
-1
-2
-4
-6
12
4
3
1
…
3
1.5
-6
-3
-1
-0.5
-12
6
-3
2
0.5
列表
探究新知
5
10
x
5
10
-5
-10
-5
-10
y
O
描点连线
想一想
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点,尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一些点,这样既可以方便连线，又可以使图象精确；
2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错．
3.线连时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接；
4.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点；
5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
观察
观察反比例函数y=的图象，回答下面的问题：
(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？
(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
(3)对于反比例函数(k>0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？
小结
（1）函数图象分别位于第一、第三象限；
一般地，当
k
>0
时，对于反比例函数y=由函数图象，并结合解析式，我们可以发现：
（2）在每一个象限内，y随
x
的增大而减小.
观察思考
画出反比例函数
的图象．
第二象限
第四象限
小结
（1）函数图象分别位于第二、第四象限；
（2）在每一个象限内，y随x
的增大而增大.
一般地，当
k
<0
时，对于反比例函数y=，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现：
归纳
位置:
函数的两支曲线分别位于第一、三象限内.
函数的两支曲线分别位于第二、四象限内.
形状：
反比例函数的图象是由两支曲线组成的.
因此称反比例函数的图象为双曲线.
思考
反比例函数的图象在哪两个象限,由什么确定？
当k>0时,两支曲线分别位于第一,三象限内;
当k<0时,两支曲线分别位于第二,四象限内.
由k的符号决定．
归纳
（1）当
k
>
0
时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，y
随
x
的增大而减小.
（2）当
k
<
0
时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限；在每一个象限内，y
随
x
的增大而增大.
一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：
填表
函数
图象形状
图象位置
图象变化
趋势
函数值
增减规律
在每个象限内，y
都随
x
的增大而减小
在每个象限内，y
都随
x
的增大而增大
函数图象的两支分支分别位于第一、三象限
k＞0
k＜0
在每一支曲线上，y
都随
x
的增大而减小
在每一支曲线上，y
都随
x
的增大而增大
函数图象的两支分支分别位于第二、四象限
典例精析
例3
已知反比例函数的图象经过点
A（2，6）．
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y
随
x
的增大如何变化？
（2）点
B（3，4），C（，），D（2，5）是否在这个函数的图象上？
典例精析
解：（1）因为点
A（2，6）在第一象限
，所以这个函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y
随
x
的增大而减小.
（2）设这个反比例函数的解析式为
，因为点
A（2，6）在其图象上，所以点
A
的坐标满足
，即解得
k
=
12.
所以，这个反比例函数的解析式为.
因为点
B，C
的坐标都满足y=，点
D
的坐标不满足，
所以点
B，C
在函数的图象上，点
D
不在这个函数的图象上.
归纳总结
（2）若点（a，b）满足解析式
（即ab
=
k），则点（a，b）在此函数的图象上.
（1）反比例函数的图象上一点的坐标
判断其图象所在的象限.
根据图象说性质.
练一练
1.已知一个反比例函数的图象经过点
A（3，
–
4）.
（1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y
随
x
的增大如何变化？
（2）点
B（
–
3，4），C（
–
2，6），D（3，4）是否在这个函数的图象上？为什么？
（1）第二、第四象限；增大
（2）点
B、C
在这个函数图象上，点
D
不在这个函数的图象上.
典例精析
例4 如下图，它是反比例函数图象的一支，根据图象，回答下列问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数
m
的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点
A（x1，y1）和点
B（x2，y2），如果x1＞x2，那么
y1
和
y2
有怎样的大小关系？
典例精析
解：（1）反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以
m
–
5
＞0
解得
m＞5.
（2）因为
m
–
5
＞
0，所以在这个函数图象的任一支上，y
都随
x
的增大而减小，因此当
x1
＞
x2
时，y1
＜
y2.
练一练
如图是反比例函数y=的图象的一支，根据图象回答问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限，常数
n
的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点
A（a，b），B（a‘，b’），如果
a＜a‘，那么
b
与
b‘
的大小关系如何？为什么？
练一练
解：（1）图象的另一支位于第四象限，n
＜
–
7.
（2）
∵k
=
n
+
7＜0，∴在这个函数图象的任一支上，y
都随
x
的增大而增大，
∴a＜a'
时，b＜b'
.
课堂练习
C
1．反比例函数y＝的图象经过点(2，1)，则下列说法错误的是( )
A．k＝2
B．函数图象分布在第一、三象限
C．当x>0时，y随x的增大而增大
D．当x>0时，y随x的增大而减小
2.已知点A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数y＝－的图象上，则下列关系式正确的是( )
A．x1B．x1<0C．x2D．x2<0A
4.如图，M为反比例函数y＝的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为_
_．
课堂练习
3.反比例函数y=的图象如图所示，则
k_____0，在图象的每一支上，y
随
x
的增大而_______.
＜
增大
4
课堂练习
5．已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(3，a)，点B(14－2a，2)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
课堂练习
解：（1）∵点A(3，a)，点B(14－2a，2)在反比例函数的图象上，
∴3×a＝(14－2a)×2，解得a＝4，则m＝3×4＝12.
故反比例函数的解析式为y＝.
课堂练习
板书设计
反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的性质:
反比例函数
的图象，当k>0时,图象位于第一、三象限，在每一象限内，y的值随x的增大而减小；
当k<0时，图象位于第二、四象限，y的值随x的增大而增大．
2.双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交．
3.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形．
4.在反比例函数
的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），与坐标轴所围成的矩形的面积S矩形=
|k|．
作业布置
1.课后习题3,5题；
2.完成练习册本课时的习题。
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26.1.2反比例函数的图象与性质教学设计
课题
26.1.2反比例函数的图象与性质
单元
26
学科
数学
年级
九
学习目标
【知识与技能】1.
会用描点法画反比例函数的图象；2.
理解反比例函数的性质.【过程与方法】经历实验操作、探索思考、观察分析的过程中，培养学生探究、归纳及概括的能力.【情感态度】在通过画图探究反比例函数图象及其性质过程中，发展学生的合作交流意识，增强求知欲望.
重点
画反比例函数图象，理解反比例函数的简单性质.
难点
理解反比例函数性质，能用性质解决问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
我们知道，一次函数y
=
6x的图象是一条直线，那么反比例函数y
=的图象是什么形状呢？你能用“描点”的方法画出函数的图象？
学生思考、交流，画图
关注学生能否正确画出函数图象，帮助学生尽可能得到其合适的图象.
讲授新课
问题1
在同一坐标系中画出反比例函数y
=和y
=的图象；问题2
反比例函数y
=-和y
=-的图象有什么共同特点？它们之间有什么关系？反比例函数y
=
和y
=-的图象呢？由图象可发现：（1)它们都是由两条曲线组成，并且随|x|的不断增大（或减
小），曲线越来越接近x轴（或y轴），但这两条曲线永不相交；（2)
y
=
和y
=-及y
=
和y
=-的图象分别关于x轴对称，也关于y轴对称.思考
观察函数y
=
和y
=-以及y
=
和y
=-的图象.
(1)你能发现它们的共同特征以及不同点吗？(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限？(3)在每个象限内y随x的变化如何变化？归纳：反比例函数y
=
的图象及其性质：(1)反比例函数y=(为常数，且0)的图象是双曲线；(2)当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x值的增大而减小；(3)当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大.
同学分别交流，找出图象的特征学生独立完成（1)、（2)、（3)题，教师巡视
教师可分别参与讨论，帮助学生获取正确认知.提出个别同学问题，帮助学生加深对构建反比例函数模型的理解.
典例精析
例3
已知反比例函数（）的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x
值的增大如何变化？(2)点B(3，4)，C(
，
)，D（2，5)是否在这个函数的图象上？练习1.已知一个反比例函数的图象经过点
A（3，
–
4）.（1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y
随
x
的增大如何变化？（2）点
B（
–
3，4），C（
–
2，6），D（3，4）是否在这个函数的图象上？为什么？例4
如图是反比例函数的图象的一个分支，根据图象回答下列问题：(1)图象的另一个分支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1
)和点B(x2，y2
)，如果
x1
＞x2，那么y1与y2的大小关系如何？说说你的理由.练习如图是反比例函数y=(n+7)/x的图象的一支，根据图象回答问题：（1）图象的另一支位于哪个象限，常数
n
的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点
A（a，b），B（a‘，b’），如果
a＜a‘，那么
b
与
b‘
的大小关系如何？为什么？
先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法.先让学生自主探索，形成初步认识后，教师再与全班同学一道分析并给出解答过程。
锻炼学生分析问题、解决问题的能力.让学生通过反思加深对反比例函数的图象及其性质的理解.
课堂练习
1．反比例函数y＝的图象经过点(2，1)，则下列说法错误的是( )A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x>0时，y随x的增大而增大D．当x>0时，y随x的增大而减小2.已知点A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数y＝－的图象上，则下列关系式正确的是( )A．x1B．x1<0C．x2D．x2<0k_____0，在图象的每一支上，y
随
x
的增大而_______.4.如图，M为反比例函数y＝的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为_
_．5．已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(3，a)，点B(14－2a，2)．(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
学生自主完成习题，老师订正
让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用
课堂小结
1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？
教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识.
对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书
1.反比例函数的性质:
反比例函数的图象，当k>0时,图象位于第一、三象限，在每一象限内，y的值随x的增大而减小；
当k<0时，图象位于第二、四象限，y的值随x的增大而增大．2.双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交．3.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形．4.在反比例函数的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），与坐标轴所围成的矩形的面积S矩形=
|k|．
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精品试卷·第
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