1.1 菱形的性质与判定同步测试 2021--2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含解析）

北师大版九年级数学上册第一章1.1菱形的性质与判定
同步测试
一．选择题
1．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．是轴对称图形
2．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（
）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
3．下列命题中，正确的是(
)
A．两邻边相等的四边形是菱形
B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线垂直的四边形是菱形
4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝8，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．32
B．24
C．8
D．16
5．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（　　）
A．30
B．24
C．18
D．6
6．
菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（
）
A．30°和150°
B．45°和135°
C．60°和120°
D．80°和100°
7．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（
）
A．6
cm，8
cm
B．3
cm，4
cm
C．12
cm，16
cm
D．24
cm，32
cm
8．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（　　）
A．（2，2）
B．（，2）
C．（3，）
D．（2，）
9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断平行四边形ABCD是菱形的为（　　）
A．AO＝CO
B．AO＝BO
C．∠AOB＝90°
D．∠BAD＝∠ABC
10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（　　）
A．
B．2
C．+1
D．2﹣1
11．如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（
）
A．6．5
B．6
C．5．5
D．5
12．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2．5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（　　）
A．20m
B．25m
C．30m
D．35m
二．填空题
13．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，使四边形ABCD成为菱形．
14．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____．
15．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是　　．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则该菱形的周长是　　．
17．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有　　．（只填写序号）
18．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，点E在直线BC上，CE＝1，连接AE，则线段AE的长为　　．
三．解答题
19．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若点E在AD上，且BE＝DC，求证：四边形BECD是菱形．
20．如图，在?ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若△ABE≌△AEF，求∠B的度数．
21．
如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．
22．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD交于点G，过G作GE⊥BC于点E，∠ADB＝∠FCB．
（1）求证：AB＝2BE；
（2）求证：DG＝CF+GE．
23．如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．
（1）求证：∠BOD＝∠C；
（2）若BC＝CD，求证：四边形OBCD是菱形．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．
（1）求证：四边形CFBD是菱形；
（2）连接AE，若CF＝，DF＝2，求AE的长．
25．如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明
北师大版九年级数学上册第一章1.1菱形的性质与判定
答案提示
一．选择题
1．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．是轴对称图形
解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：B．
2．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
解：设另一条对角线长为xcm，
则×6?x＝12，解得x＝4．
故选：B．
3．下列命题中，正确的是(
)答案B；
A．两邻边相等的四边形是菱形
B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线垂直的四边形是菱形
4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝8，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．32
B．24
C．8
D．16
解：连接BD，AC交于点O，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB＝OA＝4，AB＝2OB＝8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝32；
故选：A．
5．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（　　）
A．30
B．24
C．18
D．6
解：由题意可知，PQ是△ADC的中位线，
则DC=2PQ=2×3=6，那么菱形ABCD的周长=6×4=24，
故选B．
6．
菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（
）
A．30°和150°
B．45°和135°
C．60°和120°
D．80°和100°
解：
由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°．故选A；
7．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（
）
A．6
cm，8
cm
B．3
cm，4
cm
C．12
cm，16
cm
D．24
cm，32
cm
解：设两条对角线的长为6k，8k．所以有(3k)2+(4k)2=102，∴k=2，所以两条对角线的长为12
，16．
故选C；
8．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（　　）
A．（2，2）
B．（，2）
C．（3，）
D．（2，）
解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），∴OB＝1，OA＝，AB＝2，
∴A（0，），∴BC＝AD＝2，∴C（1，0），D（2，），
故选：D．
9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断平行四边形ABCD是菱形的为（　　）
A．AO＝CO
B．AO＝BO
C．∠AOB＝90°
D．∠BAD＝∠ABC
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AO＝BO，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠ABC，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（　　）
A．
B．2
C．+1
D．2﹣1
解：如图，连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD,AD∥BC,
∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,
∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,
∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，
∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,
∴△DEF是等边三角形，
∵△DEF的周长是3，∴DE＝,
设AH＝x,则HE＝2﹣x，
∵AD＝BD,DH⊥AB,∴∠ADH＝∠ADB＝30°,∴AD＝2x,DH＝x，
在Rt△DHE中，DH?+HE?＝DE?,
∴（x）?+(2﹣x)?＝()?,解得：x＝(负值舍去），
∴AD＝2x＝1+，
故选：C．
11．如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（
）
A．6．5
B．6
C．5．5
D．5
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，
∵AE=AF，∴OE=OF=AE=AF，
∵AE=AF，∴BC-BH=CD-DG，即OH=HC=CG=OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE-4（8-AE）=12，解得：AE=5．5，
故选C
12．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2．5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（　　）
A．20m
B．25m
C．30m
D．35m
解：
如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，
∴∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2．5（m），
同理可证：AF=EF=2．5（m）
∴AB=BG+GF+AF=2．5×3=7．5（m），
∴扩建后菱形区域的周长为7．5×4=30（m），
故选：C．
二．填空题
13．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，使四边形ABCD成为菱形．
答案：
AB=AD，答案不唯一
解：
添加AB=AD，
∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：AB=AD
14．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____．
答案：
5；
15．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是　（2，）　．
解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，
∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，
Rt△AOD中，∠ADO＝30°，
∴OAAD1，OD，∴C（2，），
故答案为：（2，）．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则该菱形的周长是　20　．
解：四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，故菱形的周长为4×5＝20．
故答案为：20．
17．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有　①③　．（只填写序号）
解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
18．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，点E在直线BC上，CE＝1，连接AE，则线段AE的长为　或　．
解：当点E在菱形边BC上时，如图1，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝2，∠AEC＝90°，∠EAC＝30°，
∵CE＝1，AC＝2，∴AE＝；
当点E在BC延长线上时，如图2，
过点A作AF⊥BC于点F，∵CE＝1，
在Rt△AEF中，AF＝，EF＝CE+CF＝2，
根据勾股定理，得
AE＝＝．
则AE的长为：或．
三．解答题
19．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若点E在AD上，且BE＝DC，求证：四边形BECD是菱形．
证明：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD；
（2）∵BD＝CD，BE＝CD，∴BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE，
∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC，∴∠BED＝∠ADC，
∴BE∥DC，∴四边形BECD为平行四边形，
又∵BD＝CD，∴四边形BECD是菱形．
20．如图，在?ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若△ABE≌△AEF，求∠B的度数．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF，
∵△ABE≌△AEF，∴∠BAE＝∠EAF，AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
设∠B＝∠AEB＝x，则∠BAE＝∠EAF＝∠DAF＝180°﹣2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
即x+3（180°﹣2x）＝180°，解得：x＝72°，
即∠B的度数为72°，
21．
如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．
解：（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形
∴AB=AC=BC，ED=DC=EC
∵点E、F分别为AC、BC的中点
∴EF=
AB，EC=AC，FC=BC
∴EF=EC=FC
∴EF=FC=ED=DC，
∴四边形EFCD是菱形．
（2）解：连接DF，与EC相交于点G，
∵四边形EFCD是菱形
∴DF⊥EC，垂足为G
∵EF=AB=4，EF∥AB
∴∠FEG=∠A=60°
在Rt△EFG中，∠EGF=90°
∴DF=2FG=2×4sin∠FEC=8sin60°=4
22．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD交于点G，过G作GE⊥BC于点E，∠ADB＝∠FCB．
（1）求证：AB＝2BE；
（2）求证：DG＝CF+GE．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠FCB，∴∠FCB＝∠DBC，∴GB＝GC，
又∵GE⊥BC，∴BC＝2BE，∴AB＝2BE；
（2）如图，延长CF，DA交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠H＝∠FCB，∴∠H＝∠ADB，∴DG＝HG，
∵点F是AB的中点，∴AF＝BF，AB＝2BF，∴BF＝BE，
在△AFH和△BFC中，
，
∴△AFH≌△BFC（AAS），∴CF＝FH，
在△BGF和△BGE中，
，
∴△BGF≌△BGE（SAS），∴FG＝GE，
∴DG＝HG＝HF+FG＝FC+GE．
23．如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．
（1）求证：∠BOD＝∠C；
（2）若BC＝CD，求证：四边形OBCD是菱形．
证明：（1）延长AO到E，
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，
又∠BOE＝∠ABO+∠BAO，∴∠BOE＝2∠BAO，
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE＝2∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO），
即∠BOD＝2∠BAD，
又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C；
（2）连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，
又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，
又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四边形OBCD是菱形．
法二，连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠B＝∠D，∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∴∠BOD＝∠BCD，∴四边形BCDO是平行四边形，
∵BC＝CD，∴平行四边形BCDO是菱形．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．
（1）求证：四边形CFBD是菱形；
（2）连接AE，若CF＝，DF＝2，求AE的长．
证明：（1）∵点E为BC的中点，∴CE＝BE，
又∵EF＝DE，∴四边形CFBD是平行四边形，
∵D，E分别是边AB，BC的中点，∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°，即DF⊥CB，
∴四边形CFBD是菱形；
（2）∵D，E分别是边AB，BC的中点，∴AC＝2DE，
∵DF＝2DE＝2EF，DF＝2，∴AC＝2，EF＝1，
∵CF＝，四边形CFDB是菱形，∴∠CEF＝90°，
∴CE＝＝＝3，
∵∠ACE＝90°，∴AE＝＝＝，
即AE的长是．
25．如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明
解：四边形ABCD是菱形．
理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS，
∵AR?BC=AS?CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形