北师大版九年级数学上册第一章1.1菱形的性质与判定
同步测试
一.选择题
1.关于菱形的性质,以下说法不正确的是( )
A.四条边相等
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.是轴对称图形
2.菱形的面积为12cm2,一条对角线是6cm,那么菱形的另一条对角线长为(
)
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm
3.下列命题中,正确的是(
)
A.两邻边相等的四边形是菱形
B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线垂直的四边形是菱形
4.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,对角线AC=8,则菱形ABCD的周长为( )
A.32
B.24
C.8
D.16
5.如图,在菱形ABCD中,P、Q分别是AD、AC的中点,如果PQ=3,那么菱形ABCD的周长是( )
A.30
B.24
C.18
D.6
6.
菱形的周长为高的8倍,则它的一组邻角是(
)
A.30°和150°
B.45°和135°
C.60°和120°
D.80°和100°
7.已知菱形的周长为40cm,两条对角线的长度比为3:4,那么两条对角线的长分别为(
)
A.6
cm,8
cm
B.3
cm,4
cm
C.12
cm,16
cm
D.24
cm,32
cm
8.如图,在直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点B的坐标为(﹣1,0),∠BCD=120°,则点D的坐标为( )
A.(2,2)
B.(,2)
C.(3,)
D.(2,)
9.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,那么下列条件中,能判断平行四边形ABCD是菱形的为( )
A.AO=CO
B.AO=BO
C.∠AOB=90°
D.∠BAD=∠ABC
10.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF=2,△DEF的周长为3,则AD的长为( )
A.
B.2
C.+1
D.2﹣1
11.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的值为(
)
A.6.5
B.6
C.5.5
D.5
12.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛,如图中的阴影部分所示,校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示,并在新扩充的部分种上草坪,则扩建后菱形区域的周长为( )
A.20m
B.25m
C.30m
D.35m
二.填空题
13.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.请你添加一个适当的条件:_________,使四边形ABCD成为菱形.
14.如图,已知菱形ABCD,其顶点A、B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC=_____.
15.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中最好的东西,互相以长补短.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=120°.如图,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上,则点C的坐标是 .
16.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,若AC=8,BD=6,则该菱形的周长是 .
17.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA,下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;
②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是菱形;
③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;
④如果AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.
其中,正确的有 .(只填写序号)
18.在菱形ABCD中,∠BAD=120°,AB=2,点E在直线BC上,CE=1,连接AE,则线段AE的长为 .
三.解答题
19.如图,已知AD平分∠BAC,AB=AC.
(1)求证:BD=CD;
(2)若点E在AD上,且BE=DC,求证:四边形BECD是菱形.
20.如图,在?ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,∠AEB=∠AFD,且BE=DF.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若△ABE≌△AEF,求∠B的度数.
21.
如图,△ABC与△CDE都是等边三角形,点E、F分别为AC、BC的中点.
(1)求证:四边形EFCD是菱形;
(2)如果AB=8,求D、F两点间的距离.
22.已知:如图,在菱形ABCD中,F为边AB的中点,FC与对角线BD交于点G,过G作GE⊥BC于点E,∠ADB=∠FCB.
(1)求证:AB=2BE;
(2)求证:DG=CF+GE.
23.如图,在四边形ABCD中,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.
(1)求证:∠BOD=∠C;
(2)若BC=CD,求证:四边形OBCD是菱形.
24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使EF=DE,连接CF,BF.
(1)求证:四边形CFBD是菱形;
(2)连接AE,若CF=,DF=2,求AE的长.
25.如图,由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD.试判断四边形ABCD的形状并证明
北师大版九年级数学上册第一章1.1菱形的性质与判定
答案提示
一.选择题
1.关于菱形的性质,以下说法不正确的是( )
A.四条边相等
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.是轴对称图形
解:A.菱形的四条边相等,正确,不符合题意,
B.菱形的对角线互相垂直且平分,对角线不一定相等,不正确,符合题意,
C.菱形的对角线互相垂直且平分,正确,不符合题意,
D.菱形是轴对称图形,正确,不符合题意,
故选:B.
2.菱形的面积为12cm2,一条对角线是6cm,那么菱形的另一条对角线长为( )
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm
解:设另一条对角线长为xcm,
则×6?x=12,解得x=4.
故选:B.
3.下列命题中,正确的是(
)答案B;
A.两邻边相等的四边形是菱形
B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线垂直的四边形是菱形
4.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,对角线AC=8,则菱形ABCD的周长为( )
A.32
B.24
C.8
D.16
解:连接BD,AC交于点O,如图:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,OA=OC=AC=4,∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°,
∴∠BAO=30°,
∴OB=OA=4,AB=2OB=8,
∴菱形ABCD的周长=4AB=32;
故选:A.
5.如图,在菱形ABCD中,P、Q分别是AD、AC的中点,如果PQ=3,那么菱形ABCD的周长是( )
A.30
B.24
C.18
D.6
解:由题意可知,PQ是△ADC的中位线,
则DC=2PQ=2×3=6,那么菱形ABCD的周长=6×4=24,
故选B.
6.
菱形的周长为高的8倍,则它的一组邻角是(
)
A.30°和150°
B.45°和135°
C.60°和120°
D.80°和100°
解:
由题意可知边长是高的2倍,所以一个内角为30°,另一个内角为150°.故选A;
7.已知菱形的周长为40cm,两条对角线的长度比为3:4,那么两条对角线的长分别为(
)
A.6
cm,8
cm
B.3
cm,4
cm
C.12
cm,16
cm
D.24
cm,32
cm
解:设两条对角线的长为6k,8k.所以有(3k)2+(4k)2=102,∴k=2,所以两条对角线的长为12
,16.
故选C;
8.如图,在直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点B的坐标为(﹣1,0),∠BCD=120°,则点D的坐标为( )
A.(2,2)
B.(,2)
C.(3,)
D.(2,)
解:∵菱形ABCD,∠BCD=120°,∴∠ABC=60°,
∵B(﹣1,0),∴OB=1,OA=,AB=2,
∴A(0,),∴BC=AD=2,∴C(1,0),D(2,),
故选:D.
9.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,那么下列条件中,能判断平行四边形ABCD是菱形的为( )
A.AO=CO
B.AO=BO
C.∠AOB=90°
D.∠BAD=∠ABC
解:A、∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,故选项A不符合题意;
B、∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,
∵AO=BO,∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形,故选项B不符合题意;
C、∵∠AOB=90°,∴AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形,故选项C符合题意;
D、∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,
∵∠BAD=∠ABC,∴∠BAD=∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形,故选项D不符合题意;
故选:C.
10.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF=2,△DEF的周长为3,则AD的长为( )
A.
B.2
C.+1
D.2﹣1
解:如图,连结BD,作DH⊥AB,垂足为H,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,AD∥BC,
∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∠ABC=180°﹣∠A=120°,
∴AD=BD,∠ABD=∠A=∠ADB=60°,
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=120°﹣60°=60°,
∵AE=BF,∴△ADE≌△BDF(SAS),∴DE=DF,∠FDB=∠ADE,
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠EDB+∠ADE=∠ADB=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∵△DEF的周长是3,∴DE=,
设AH=x,则HE=2﹣x,
∵AD=BD,DH⊥AB,∴∠ADH=∠ADB=30°,∴AD=2x,DH=x,
在Rt△DHE中,DH?+HE?=DE?,
∴(x)?+(2﹣x)?=()?,解得:x=(负值舍去),
∴AD=2x=1+,
故选:C.
11.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的值为(
)
A.6.5
B.6
C.5.5
D.5
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=BC=AB=CD,AD∥BC,AB∥CD,
∵EG∥AD,FH∥AB,
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形,
∴AF=OE,AE=OF,OH=GC,CH=OG,
∵AE=AF,∴OE=OF=AE=AF,
∵AE=AF,∴BC-BH=CD-DG,即OH=HC=CG=OG,
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形,
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12,
∴4AE-4(8-AE)=12,解得:AE=5.5,
故选C
12.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛,如图中的阴影部分所示,校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示,并在新扩充的部分种上草坪,则扩建后菱形区域的周长为( )
A.20m
B.25m
C.30m
D.35m
解:
如图,∵花坛是由两个相同的正六边形围成,
∴∠FGM=∠GMN=120°,GM=GF=EF,
∴∠BMG=∠BGM=60°,
∴△BMG是等边三角形,∴BG=GM=2.5(m),
同理可证:AF=EF=2.5(m)
∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5(m),
∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30(m),
故选:C.
二.填空题
13.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.请你添加一个适当的条件:_________,使四边形ABCD成为菱形.
答案:
AB=AD,答案不唯一
解:
添加AB=AD,
∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD为平行四边形,
∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,
故答案为:AB=AD
14.如图,已知菱形ABCD,其顶点A、B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC=_____.
答案:
5;
15.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中最好的东西,互相以长补短.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=120°.如图,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上,则点C的坐标是 (2,) .
解:∵四边形ABCD是菱形,且AB=2,∴CD=AD=AB=2,
∵∠DAB=120°,∴∠OAD=60°,
Rt△AOD中,∠ADO=30°,
∴OAAD1,OD,∴C(2,),
故答案为:(2,).
16.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,若AC=8,BD=6,则该菱形的周长是 20 .
解:四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,BO=OD=3,AO=OC=4,AC⊥BD,
∴AB==5,故菱形的周长为4×5=20.
故答案为:20.
17.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA,下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;
②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是菱形;
③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;
④如果AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.
其中,正确的有 ①③ .(只填写序号)
解:∵DE∥CA,DF∥BA,∴四边形AEDF是平行四边形,故①正确;
∵∠BAC=90°,四边形AEDF是平行四边形,
∴四边形AEDF是矩形,故②错误;
∵AD平分∠BAC,四边形AEDF是平行四边形,
∴四边形AEDF是菱形,故③正确;
∵AB=AC,四边形AEDF是平行四边形,
不能得出AE=AF,故四边形AEDF不一定是菱形,故④错误;
故答案为:①③.
18.在菱形ABCD中,∠BAD=120°,AB=2,点E在直线BC上,CE=1,连接AE,则线段AE的长为 或 .
解:当点E在菱形边BC上时,如图1,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=2,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=BC=2,∠AEC=90°,∠EAC=30°,
∵CE=1,AC=2,∴AE=;
当点E在BC延长线上时,如图2,
过点A作AF⊥BC于点F,∵CE=1,
在Rt△AEF中,AF=,EF=CE+CF=2,
根据勾股定理,得
AE==.
则AE的长为:或.
三.解答题
19.如图,已知AD平分∠BAC,AB=AC.
(1)求证:BD=CD;
(2)若点E在AD上,且BE=DC,求证:四边形BECD是菱形.
证明:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴BD=CD;
(2)∵BD=CD,BE=CD,∴BD=BE,∴∠BED=∠BDE,
∵△ABD≌△ACD,∴∠ADB=∠ADC,∴∠BED=∠ADC,
∴BE∥DC,∴四边形BECD为平行四边形,
又∵BD=CD,∴四边形BECD是菱形.
20.如图,在?ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,∠AEB=∠AFD,且BE=DF.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若△ABE≌△AEF,求∠B的度数.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,
在△ABE和△ADF中,
,
∴△ABE≌△ADF(ASA),∴AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形;
(2)解:由(1)可知,△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF,
∵△ABE≌△AEF,∴∠BAE=∠EAF,AB=AE,
∴∠B=∠AEB,
设∠B=∠AEB=x,则∠BAE=∠EAF=∠DAF=180°﹣2x,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠B+∠BAD=180°,
即x+3(180°﹣2x)=180°,解得:x=72°,
即∠B的度数为72°,
21.
如图,△ABC与△CDE都是等边三角形,点E、F分别为AC、BC的中点.
(1)求证:四边形EFCD是菱形;
(2)如果AB=8,求D、F两点间的距离.
解:(1)证明:∵△ABC与△CDE都是等边三角形
∴AB=AC=BC,ED=DC=EC
∵点E、F分别为AC、BC的中点
∴EF=
AB,EC=AC,FC=BC
∴EF=EC=FC
∴EF=FC=ED=DC,
∴四边形EFCD是菱形.
(2)解:连接DF,与EC相交于点G,
∵四边形EFCD是菱形
∴DF⊥EC,垂足为G
∵EF=AB=4,EF∥AB
∴∠FEG=∠A=60°
在Rt△EFG中,∠EGF=90°
∴DF=2FG=2×4sin∠FEC=8sin60°=4
22.已知:如图,在菱形ABCD中,F为边AB的中点,FC与对角线BD交于点G,过G作GE⊥BC于点E,∠ADB=∠FCB.
(1)求证:AB=2BE;
(2)求证:DG=CF+GE.
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,
∵∠ADB=∠FCB,∴∠FCB=∠DBC,∴GB=GC,
又∵GE⊥BC,∴BC=2BE,∴AB=2BE;
(2)如图,延长CF,DA交于点H,
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∠ABD=∠DBC,
∴∠H=∠FCB,∴∠H=∠ADB,∴DG=HG,
∵点F是AB的中点,∴AF=BF,AB=2BF,∴BF=BE,
在△AFH和△BFC中,
,
∴△AFH≌△BFC(AAS),∴CF=FH,
在△BGF和△BGE中,
,
∴△BGF≌△BGE(SAS),∴FG=GE,
∴DG=HG=HF+FG=FC+GE.
23.如图,在四边形ABCD中,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.
(1)求证:∠BOD=∠C;
(2)若BC=CD,求证:四边形OBCD是菱形.
证明:(1)延长AO到E,
∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO,
又∠BOE=∠ABO+∠BAO,∴∠BOE=2∠BAO,
同理∠DOE=2∠DAO,
∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO),
即∠BOD=2∠BAD,
又∠C=2∠BAD,∴∠BOD=∠C;
(2)连接OC,
∵BC=CD,OA=OB=OD,OC是公共边,
∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC(SSS),
∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO,
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,
∴∠BOC=∠BOD,∠BCO=∠BCD,
又∠BOD=∠BCD,∴∠BOC=∠BCO,∴BO=BC,
又OB=OD,BC=CD,∴OB=BC=CD=DO,
∴四边形OBCD是菱形.
法二,连接OC,
∵BC=CD,OA=OB=OD,OC是公共边,
∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,
∴△OBC≌△ODC(SSS),
∴∠B=∠D,∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO,
∴∠BOD=∠BCD,∴四边形BCDO是平行四边形,
∵BC=CD,∴平行四边形BCDO是菱形.
24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使EF=DE,连接CF,BF.
(1)求证:四边形CFBD是菱形;
(2)连接AE,若CF=,DF=2,求AE的长.
证明:(1)∵点E为BC的中点,∴CE=BE,
又∵EF=DE,∴四边形CFBD是平行四边形,
∵D,E分别是边AB,BC的中点,∠ACB=90°,
∴DE∥AC,∴∠DEB=∠ACB=90°,即DF⊥CB,
∴四边形CFBD是菱形;
(2)∵D,E分别是边AB,BC的中点,∴AC=2DE,
∵DF=2DE=2EF,DF=2,∴AC=2,EF=1,
∵CF=,四边形CFDB是菱形,∴∠CEF=90°,
∴CE===3,
∵∠ACE=90°,∴AE===,
即AE的长是.
25.如图,由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD.试判断四边形ABCD的形状并证明
解:四边形ABCD是菱形.
理由:作AR⊥BC于R,AS⊥CD于S,
由题意知:AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵两个矩形等宽,
∴AR=AS,
∵AR?BC=AS?CD,
∴BC=CD,
∴平行四边形ABCD是菱形