1.2矩形的性质与判定 同步测试 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含解析）

北师大版九年级数学上册第一章1.2矩形的性质与判定
同步测试
一．选择题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对边相等
B．邻边垂直
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
2．菱形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．邻角互补
B．内角和为360°
C．对角线相等
D．对角线相互垂直
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（　　）
A．17
B．18
C．19
D．20
5．如图矩形ABCD中，AD＝6，DC＝3，将长等于宽2倍的可变矩形EFGH（BE＞EF）如图放置，使
E、B、C在同一直线上，则阴影部分面积为（　　）
cm2．
A．8
B．9
C．8
D．9
6．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（　　）
A．8
B．10
C．12
D．18
7．如图已知E为矩形纸片ABCD的边DC上一点，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点C恰好落在边AD上的点F处，若AB＝6，AD＝10，则DE的长为（
）
A．2
B．
C．3
D．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
9．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（　　）
A．16cm
B．22cm
C．26cm
D．22cm或26cm
10．如图，矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
11．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是(
)
A．85°
B．90°
C．95°
D．100°
12．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（
）
A．
B．2
C．
D．
二．填空题
13．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为
　　．
15．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面______（填”合格”或”不合格”）
16．如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为　　．
17．将矩形纸片ABCD按如图34所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为________．
　
18．如图．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝6，点E是AD的中点．连接BE．点M是BE上一动点，取CM的中点为N．连接AN，则AN的最小值是　　．
三．解答题
19．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)过点D作DF⊥AC，交BC于点F，若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，则∠BDF的度数是多少？
20．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
21．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
22．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．
23．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE．
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连接CF，CE．求证：四边形AFCE是矩形．
24．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝10，EC＝，求EF的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y＝x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2．
求证：四边形ABCD是矩形．
北师大版九年级数学上册第一章1.2矩形的性质与判定
答案提示
一．选择题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对边相等
B．邻边垂直
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
解：矩形的性质是：矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且平分，
∵四个角都是直角，∴邻边垂直，
菱形的性质是：菱形的四条边都相等，对边平行，对角线垂直且平分，每条对角线平分一组对角；
∴矩形具有而菱形不具有的性质是邻边垂直．
故选：B．
2．菱形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．邻角互补
B．内角和为360°
C．对角线相等
D．对角线相互垂直
解：A、邻角互补，是菱形和矩形都具有的性质，故A不合题意；
B、菱形和矩形都是四边形，所以内角和都是360°，故B不合题意；
C、对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，故C不合题意；
D、对角线互相垂直，是菱形的性质，不是矩形具有的性质，故D符合题意；
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°,
∵E是AB的中点,AB＝4，
∴CE＝BE＝,
∴△BCE为等边三角形，
∵CD⊥AB,
∴DE＝BD＝,
故选：A．
4．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（　　）
A．17
B．18
C．19
D．20
解:
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，
∴OM=CD=2．5，AC==13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=AC=6．5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6．5+2．5=20，
故选：D．
5．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝3，将长等于宽2倍的可变矩形EFGH（BE＞EF）如图放置，使
E、B、C在同一直线上，则阴影部分面积为（　　）
cm2．
A．8
B．9
C．8
D．9
解：设FG＝2a，GB＝a，
则S阴影＝S△AFG+S矩形ABCD+S矩形EFGB﹣S△ADC﹣S△FEC
＝AG?FG+FG?BG+AD?DC﹣EF?（EB+BC）﹣AD?DC
＝（3﹣a）?2a+2a?a+6×3﹣a?（2a+6）﹣×6×3
＝3a﹣a2+2a2+18﹣a2﹣3a﹣9
＝9，
故选：B．
6．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（　　）
A．8
B．10
C．12
D．18
解:
∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，
∴OA=OB=AC，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=2×6=12．
故选C．
7．如图，已知E为矩形纸片ABCD的边DC上一点，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点C恰好落在边AD上的点F处，若AB＝6，AD＝10，则DE的长为（　　）
A．2
B．
C．3
D．
解：设DE＝x，则CE＝6﹣x，
由翻折的性质得，
∵BC＝BF＝10,AB＝6,∴AF＝8,
∴DF＝AD﹣DF＝10﹣8＝2,
在Rt△DEF中，
∵EF＝CE＝6﹣x，∴DE2+DF2＝EF2,
∴x2+22＝（6﹣x）2，解得：x＝．即DE＝．
故选：B．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
解:
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，
∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．
故选A．
9．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（　　）
A．16cm
B．22cm
C．26cm
D．22cm或26cm
解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，
当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，
∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；
当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，
∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；
故选D．
10．如图，矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
10．【答案】C；【解析】当BP=AB或BP=BC时，∠APE是直角．
11．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是(
)
A．85°
B．90°
C．95°
D．100°
【答案】B；
【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°．
12．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（　　）
A．
B．2
C．
D．
解：连接DH，并延长交EG于N，
∵AD∥EG，
∴∠DAH＝∠AGN，
∵点H是AG的中点，
∴AH＝HG，
在△ADH和△GNH中，
，
∴△ADH≌△GNH（ASA），
∴DH＝HN，NG＝AD＝2，
∵AB＝CD＝EG＝4，BC＝CE＝2，
∴DE＝EN＝2，
又∵∠DEN＝90°，
∴DN＝DE＝2，
∵DE＝EN，DH＝HN，∠DEN＝90°，
∴EH＝DN＝，
故选：A．
二．填空题
13．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
解答:
添加的条件是AC=BD，
理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD．答案不唯一
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为
　4　．
解：∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴DE＝AC＝×8＝4，
故答案为：4．
15．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面______（填”合格”或”不合格”）
解：∵AB=DC=8cm，BC=AD=15cm，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=17cm，AB=8cm，BC=15cm，
∴AC2=AB2+BC2，
∴∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，即四边形是长方形，
故答案为：合格．
16．如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为　4　．
解：∵O为BD的中点，E是BC的中点，
∴OE＝DC，
∵OE＝1，
∴DC＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠BAD＝90°，
∵OA＝2，
∴BD＝2OA＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴矩形ABCD的面积＝AD?DC＝2．
故答案为：4．
17．将矩形纸片ABCD按如图34所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为________．17．　
　
18．如图．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝6，点E是AD的中点．连接BE．点M是BE上一动点，取CM的中点为N．连接AN，则AN的最小值是　3　．
解：取BC的中点N′，连接AN′、DN′，如图所示：
∴BN′＝CN′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AD＝2AB＝6，
∴AB＝BN′＝CN′＝CD＝3，
∴∠AN′B＝∠DN′C＝45°，AN′＝＝3，
∴∠AN′D＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是AD的中点，N′是BC的中点，
∴DE＝BN′，DE∥BN′，
∴四边形BEDN′是平行四边形，
∴BE∥DN′，
∴DN′平分CM，即CM的中点N在DN′上，
∴当N与N′重合时，AN⊥DN′，
根据垂线段最短定理知，AN′的值就是AN的最小值为3．
故答案为：3．
三．解答题
19．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)过点D作DF⊥AC，交BC于点F，若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，则∠BDF的度数是多少？
解：(1)证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC．
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，
∴∠FDC＝36°．
∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°．
∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°
20．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF＝BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠DEB＝90°，
∵AE＝3，DE＝4，DF＝5
∴AD＝＝5，
∴AD＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
21．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵E是OA的中点，∴OE＝OA．
同理OG＝OC．
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，
∴OE＝OG．同理OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵OE＝OA，OG＝OC，
∴EG＝OE＋OG＝AC．同理FH＝BD．
又∵AC＝BD，∴EG＝FH，
∴?EFGH是矩形．
22．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠DOF＝∠BOE，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝BD，OA＝AC，
∴BD＝AC，
∴四边形ABCD是矩形．
23．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE．
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连接CF，CE．求证：四边形AFCE是矩形．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，且D是BC边的中点，
∴AD平分∠BAC，即∠DAB＝∠DAC＝30°．
∵△DAE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，
∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°．
(2)证明：∵△ABC是等边三角形，F是AB边的中点，∴CF⊥AB．
由(1)知∠CAE＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠FAE＝90°，∴AE∥CF．
∵△ABC是等边三角形，且AD，CF分别是BC，AB边的中线，∴AD＝CF．
又∵AD＝AE，∴CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵∠FAE＝90°，∴?AFCE是矩形．
24．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝10，EC＝，求EF的长．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，且AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵菱形AECF的面积＝EC×AB＝AC×EF，
又∵AB＝6，AC＝10，EC＝，
∴×6＝×10×EF，
解得EF＝．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y＝x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠ACD．
又∵BE＝DE，∴△ABE≌△CDE，∴AE＝CE，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝4，∴m＝6．
∵点B在直线y＝x＋1上，∴n＝4，∴A(2，4)，B(6，4)，∴AB∥CD∥x轴．
∵△AEB的面积是2，∴?ABCD的面积是8．
又∵CD＝4，∴?ABCD的高是2，
∴q＝4－2＝2．把q＝2代入直线y＝x＋1得p＝2，∴点D(2，2)，
∴点C(6，2)，∴AD∥BC∥y轴，∴四边形ABCD是矩形．