2021年苏科版数学八年级上册1.3 探索三角形全等的条件——SAS 同步练习（提优版）
一、单选题
1．（2020八上·交城期中）如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=100°，若∠BAE=60°，则∠CAE的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
2．（2020八上·江苏月考）如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（ ）
A．BE=CD B．BE＞CD
C．BE＜CD D．大小关系不确定
3．（2020八上·北京期中）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，则∠EDF等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·同心期末）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（ ）
A．BE+CF＞EF
B．BE+CF=EF
C．BE+CF＜EF
D．BE+CF与EF的大小关 系不能确定.
5．（2020八上·路北月考）在图3所示的3×3正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于（ ）．
A．145° B．180° C．225° D．270°
6．（2020八下·兴宾期中）如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（ ）
A．不变 B．先增大再减小
C．先减小再增大 D．不断增大
7．（2020八下·新昌期中）如图，以 ABCD 的四条边为边，分别向外作正方形，连结 EF，GH，IJ，KL.如果 ABCD 的 面积为 8，则图中阴影部分四个三角形的面积和为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
8．（2020八上·宜春期末）如图1、2、3中，点 、 分别是正 、正方形 、正五边形 中以 点为顶点的相邻两边上的点，且 ， 交 于 点， 的度数分别为 ， ， ，若其余条件不变，在正九边形 中， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020八上·宜兴期中）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2020八上·合肥月考）如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D＋∠E＝180°，若BD＝6，则CE的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．4.5
二、填空题
11．（2019八上·广丰月考）如图，已知 ，要用 判断 ≌ ，需增加一个条件： ．
12．（2016八上·蕲春期中）已知BD为四边ABCD的对角线，AB∥CD，要使△ABD≌△CDB，利用“SAS”可加条件 ．
13．（2020八上·宜春期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件 能用SAS说明△ABC≌△DEF．
14．（2019八上·镇平月考）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE相交于点 P，则∠APE 的度数为 .
15．（2020八上·新田期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
16．（2020八上·通河期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，D为BC边的中点，则中线AD的取值范围是 ．
17．（2020八上·梁子湖期中）等边△ACD和等边△BCE有一个公共顶点C，直线AE与BD交于点F ，直线AE与CD交于点G， 直线CE与BD交于点H，连接GH. 下列结论：①AE=DB；②△BHC≌△EGC；③∠DFA=60°；④△HGC为等边三角形. 其中正确的结论有 .（填序号）
18．（2021八下·崇州期中）如图，△ABC是等边三角形，且AB＝1，点M为直线BC上的一个动点，连接AM，将线段AM绕A点顺时针旋转60°至AD，点N为直线AC上的一个动点，则D、N两点间距离的最小值为 .
三、解答题
19．（2020八上·河西期末）如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你说明DA﹣DB=DC．
20．（2021八上·喀什期末）如图，已知 中， ， ， 是 上一点， 在 的延长线上，且 ， 的延长线与 交于点 .求证： .
21．（2020八上·重庆月考）已知如图等边三角形△ABC，D，E分别是BC，AC上的点.AD、BE交于点N，BM⊥AD于M.若AE=CD，求证：MN= BN.
22．（2020八上·定南期中）如图， 均为等腰直角三角形，连接AE，CD，AE与CD相等吗？说明理由
23．（2020八上·乐陵月考）△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF，BD．观察图形，猜想AF与BD之间的数量和位置关系，并证明你的猜想
24．（2020八上·台前期中）如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的一点，在等边△ABC的外角平分线CE上取一点E，使CE＝BD，连接AE、DE，请判断△ADE的形状，并说明理由.
25．（2020八上·普陀月考）如图：在ΔABC中，∠ACB= ，AC=BC，D在BC延长线上，E是AC上一点，且EC=DC，M、N分别是AD、BE的中点，判断ΔMCN形状并证明.
26．（2020八上·安仁期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．
求证：BC=AB+CD．
27．（2020八上·南充期中）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
28．（2021八上·鄂州期末）在 中， ，点 是直线 上一点（不与 、 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
（1）如图，当点 在线段 上，如果 ，则 度．
（2）设 ， ．
①如图，当点 在线段 上移动时， 、 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点 在线段 的反向延长线上移动时， 、 之间有怎样的数量关系？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2＝100°，
∴∠ADE＝∠AED＝80°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∵AD＝AE，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，
∴∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝40°，
故答案为：A．
【分析】先利用“SAS”证明△AEB≌△ADC，再根据全等三角形的性质及三角形的外角求解即可。
2．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】由全等三角形的判定可证明△BAE≌△DAC，从而得出BE=CD.
∵△ABD与△ACE均为正三角形
∴BA=DA，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°
∴∠BAE=∠DAC
∴△BAE≌△DAC
∴BE=CD
故答案为：A.
【分析】由等边三角形的定义可得BA=DA，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°；于是根据边角边可证△BAE≌△DAC；再根据全等三角形的性质可求解.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∴∠ABC=∠ACB，BF=CD，CE=BD，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，
∴∠EDF=180°-∠CDE-∠BDF=180°-∠BFD-∠BDF=∠B．
又∵ ，
∴∠EDF= ．
故答案为：B．
【分析】根据题意，首先证明△BDF≌△CED（SAS），即可得到∠BFD=∠CDE，所以即可得到∠FDE=∠B，继而由三角形的内角和定理求出答案即可。
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，
在△BED与△CGD中，
∵ ，
∴△BED≌△CGD（SAS），
∴CG=BE，
又∵DE⊥DF，DG=ED
∴FD是EG的垂直平分线，
∴FG=EF
∵GC+CF＞FG
∴BE+CF＞EF
故答案为：A.
【分析】延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，根据SAS可证△BED≌△CGD，利用线段垂直平分线的性质得出FG=EF，根据三角形的三边关系可得GC+CF＞FG，即得BE+CF＞EF.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，在△ABC和△AEF中，
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠5＝∠BCA，
∴∠1+∠5＝∠1+∠BCA＝90°，
在△ABD和△AEH中，
∵AB=AE，∠B=∠E，BD=EH，
∴△ABD≌△AEH（SAS），
∴∠4＝∠BDA，
∴∠2+∠4＝∠2+∠BDA＝90°，
∵∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝90°+90°+45°＝225°．
故答案为：C．
【分析】如图，先根据SAS判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5＝∠BCA，∠4＝∠BDA，然后可得∠1+∠5与∠2+∠4的值，进一步即可求出答案．
6．【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形OEFG是两个边长相等正方形，
∴∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，
∴∠BOC-∠COM=∠EOG-∠COM，
即∠BOM=∠CON，
∵在△BOM和△CON中
，
∴△BOM≌△CON，
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是
S△COM+S△CNO=S△COM+S△BOM=S△BOC= S正方形ABCD，
即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于 S正方形ABCD，
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质可证得∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，可证得∠BOM=∠CON；再利用ASA可证得△BOM≌△CON，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积= S正方形ABCD，由此可证得结论.
7．【答案】C
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABGF和四边形ADLE是正方形，
∴AE=AD，AF=AB，∠FAB=∠EAD=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠EAF=∠ABC，
在△EAF和△ABC中，
∵AE=AD=BC，
∠EAF=∠ABC，
AF=AB，
∴△EAF≌△ABC，
∴S△EAF≌S△ABC= =4，
同理可求：S△BHG= S△CIJ= S△DLK= =4，
∴阴影部分的面积S=S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK=4×4=16.
故答案为：C.
【分析】连接AC，通过证明△EAF≌△ABC，可求S△EAF= =4，同理求出理S△BHG= S△CIJ= S△DLK= =4，即可求出阴影部分四个三角形的面积和.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60 ，
∵在△ABE和△BCD中
，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠APD＝∠BAE＋∠ABD＝∠CBD＋∠ABD＝∠ABC＝60 ，
即∠APD＝60 ，
同理：正四边形时，∠APD＝90 = ，
∴正五边形时，∠APD＝∠ABC＝ ＝108 ，
正六边形时，∠APD＝∠ABC＝ ＝120 ，
依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC＝ ，
∴正九边形 中， 的度= =
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60 ，证△ABE≌△BCD，推出∠BAE＝∠CBD，根据三角形的外角性质推出∠APD＝∠BAE＋∠ABD＝∠ABC＝60 ，同理其它情况也是∠APD等于其中一个角；正四边形时，同样能推出∠APD＝∠ABC＝90 ，正五边形时，∠APD＝∠ABC＝ ＝108 ，正六边形时，∠APD＝∠ABC＝ ＝120 ，依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC＝ ，故可求解.
9．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：设Q是AB的中点，连接DQ，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝4，O为AC中点，
∴AQ＝AO，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD＝OE，
∵点D在直线BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD＝ QB，
∵QB＝ AB＝2，
∴QD＝ ，
∴线段OE的最小值是为 .
故答案为：D.
【分析】设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD＝OE，根据点到直线的距离可知当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值.
10．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长BE使AF＝AD，连接CF，
在△ADB和△ACF中，
∵AD＝AF，∠DAB＝∠FAC，AB＝AC，
∴△ADB≌△ACF（SAS），
∴∠F＝∠D，BD＝CF＝6，
∵∠D＋∠BEC＝180°，∠BEC＋∠FEC＝180°，
∴∠D＝∠FEC，
∴∠F＝∠FEC，
∴CF＝CE＝6，
故答案为：A．
【分析】延长BE使AF＝AD，连接CF，由“SAS”可证△ADB≌△ACF，可得∠F＝∠D，BD＝CF＝6，由平角的性质可得∠F＝∠FEC＝∠D，即可求解．
11．【答案】AB=DC
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵ ，BC=CB，
∴要用 判断 ≌ 需添加 ，
故答案为： .
【分析】根据SAS是两边及夹角对应相等，可知应增加条件 .
12．【答案】AB=CD
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
在△ABD与△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB，
故答案为：AB=CD
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS解答即可．
13．【答案】AC=DF
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】添加AC=DF（答案不唯一）.
证明：因为FB=CE，AC∥DF，
所以BF-CF=EC-CF，∠ACB=∠DFE（内错角相等）
所以BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
，
所以△ABC≌△DEF．
【分析】根据SAS进行判断即可解答.
14．【答案】60
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°.
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠DBE.
∵∠APE=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠ABP+∠DBE.
即∠APE=∠ABD.
∴∠APE=60°.
故答案是：60°.
【分析】根据题干条件：AB=BC，BD=CE，∠ABD=∠C可以判定△ABD≌△BCE，即可得到∠BAD=∠CBE，又知∠APE=∠ABP+∠BAP，故知∠APE=∠ABP+∠CBE=∠ABC，于是可求.
15．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠DBC=∠DCB=20°，
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM和△CDE中，
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=70°=∠MDN，
在△MDN和△EDN中，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN=CN+CE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；
故答案为：4．
【分析】延长AC至点E，使得CE=BM，连接DE，利用“SAS”证明△MDN≌△EDN，得出MN=EN=CN+CE，即可得出结论。
16．【答案】1＜AD＜5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC＝6，
∵AB＝4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5．
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，根据SAS可证△ADC≌△EDB，可得EB＝AC＝6，在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE，即得2＜2AD＜10，据此解答即得.
17．【答案】①③
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC，AE=DB，故①正确；
在△ACG和△DFG中，
∵∠CAE=∠CDB，∠AGC=∠DGF，
∴∠DFA=∠ACD=60°；故③正确；
由于无法判断∠DCE的大小，∴∠DCE与∠ECB不一定相等，故④不正确；
虽然∠AEC=∠DBC，CE=CB，但无法判定△BHC与△EGC全等，故②不正确；
综上，正确的结论是①③.
故答案为：①③.
【分析】利用等边三角形的性质，易证AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠ECB=60°，可推出∠ACE=∠DCB，利用SAS证明△ACE≌△DCB，利用全等三角形的性质可得AE=DB，可对①作出判断；利用全等三角形的性质，可得∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC，再证明∠DFA=∠ACD=60°，可对③作出判断；根据∠AEC=∠DBC，CE=CB，无法判断△BHC与△EGC全等，可对②作出判断；由于无法判断∠DCE的大小，可对④作出判断；综上所述可得出正确结论的序号。
18．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，连接DM，DB，
∵△ABC是等边三角形，AB＝1，BH⊥AC，
∴AH＝HC＝ ，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴BH＝ ，
∵将线段AM绕A点顺时针旋转60°至AD，
∴AD＝AM，∠DAM＝60°＝∠BAC，
∴∠MAC＝∠DAB，且AB＝AC，AD＝AM，
∴△ABD≌△ACM（SAS）
∴∠ABD＝∠ACB＝60°，
∴点D在∠ABC的外角的平分线上，
∵∠ABD＝∠BAC＝60°，
∴AC∥BD，
∴当DN⊥AC时，D、N两点间距离的最小值为BH＝ ，
故答案为： .
【分析】过点B作BH⊥AC于H，连接DM，DB，根据等边三角形的性质结合勾股定理即可求出BH的长，再运用旋转的性质得出AD＝AM，∠DAM＝60°＝∠BAC，在根据全等三角形的判定（SAS）即可得到△ABD≌△ACM，又因为点D在∠ABC的外角的平分线上，则当DN⊥AC时，D、N两点间距离最小.
19．【答案】解：△ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC，BE=BD=DE（等边三角形的边相等），
∠ABC=∠EBD=60°（等边三角形的角是60°）．
∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBD﹣∠EBC
∠ABE=CBD （等式的性质），
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE=DC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD﹣DE=AE（线段的和差）
∴AD﹣BD=DC（等量代换）．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，BD、BE、DE的关系，根据三角形全等的判定，可得△ABE与△CBD的关系，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，根据线段的和差，等量代换，可得证明结果．
20．【答案】证明：∵
∴
在 和 中，
∴
∴
∵ 中， ，
∴ ，
∴
∴
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据SAS判断出△ACE≌△BCD，然后根据全等三角形的对应角相等得出∠CAE=∠CBD，进而根据直角三角形的两锐角互余及垂直的定义可以证明结论.
21．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°.
在△ABE和△CAD中 ，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，
∵BM⊥AD，即∠AMB=90°，
∵∠BNM=60°，
∴∠NBM=30°，
∴MN= BN.
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由等边三角形的性质可得AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，用边角边可证△ABE≌△CAD，由全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可求解.
22．【答案】解： ，
理由如下： 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质得到角、边相等，再利用“SAS”证明三角形全等，利用全等的性质求解即可。
23．【答案】解：猜想：AF=BD且AF⊥BD．
证明：设AF与DC交于点G，
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF，
∴△ACF≌△BCD，
∴AF=BD，
∴∠AFC=∠BDC，
∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=∠DGA，
∴∠BDC+∠DGA=90°，
∴AF⊥BD，
∴AF=BD且AF⊥BD．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据题意利用等腰直角三角形性质和正方形的性质构造全等条件证明△ACF≌△BCD，然后利用全等三角形的性质进行分析证明．
24．【答案】解：△ADE是等边三角形.
理由：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC.
∴∠ACF＝120°.
∵CE平分∠ACF，
∴∠4＝ ∠ACF＝60°，
∴∠B＝∠4.
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠1＝∠3.
∵∠1+∠2＝60°，
∴∠2+∠3＝60°.
即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由等边三角形的性质和已知条件用边角边可证△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得AD＝AE，∠1＝∠3，于是∠DAE=∠2+∠3=∠1+∠2=60度，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△ADE是等边三角形.
25．【答案】解：结论；△MCN是等腰直角三角形．
理由：在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAM，
∵在Rt△BCE和Rt△ACD中，BN=NE．AM=MD，
∴CN=BN=EN，CM=AM=MD，
∴CN=CM，∠NCB=∠CBE，∠MCA=∠CAM，
∴∠NCB=∠MCA，
∴∠MCN=∠ACB=90°，
∴△MCN是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用“SAS”证出 △BCE≌△ACD ，得到BE=AD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求解即可。
26．【答案】证明：在线段BC上截取BE=BA，连接DE，如下图所示：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中： ，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴∠DEB=∠BAD=108°，
∴∠DEC=180°-108°=72°，
又AB=AC，∴∠C=∠ABC=(180°-108°)÷2=36°，
∴∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CD=CE，
∴BC=BE+CE=AB+CD．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据全等三角形的判定及三角形的内角和作答即可。
27．【答案】解：在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AB=AC+CD，
∴CD=EB，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△CAD和△EAD中
∵ ，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴∠C=∠AED，CD=DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∵∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，
∴∠C=2∠B．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】 在AB上截取AE=AC，连接DE， 结合已知可得CD=EB，利用角平分线的定义可得 ∠CAD=∠EAD， 根据SAS可证△CAD≌△EAD，可得∠C=∠AED，CD=DE=BE，从而求出∠B=∠EDB，根据三角形外角的性质可得∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，即得∠C=2∠B．
28．【答案】（1）90
（2）① ．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB=β，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
② 当点 在射线 的反向延长线上时， ．
理由如下：
∵ ，
∴ ，
在△ABD与△ACE中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可证得∠ABC=∠ACB，再证明∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△BAD≌△CAE；然后利用全等三角形的性质可可求出∠ACE的度数，根据∠BCE=∠ACB+∠ACE，可求出∠BCE的度数.
（2）①利用已知条件易证∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，再利用全等三角形的性质可推出∠B=∠ACE及∠B+∠ACB=β；然后根据α+∠B+∠ACB=180°，可求出α+β的值；②利用已知条件易证∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，再利用全等三角形的性质可推出∠ABD=∠ACE；然后证明∠BAC=∠BCE，由此可证得结论.
1 / 12021年苏科版数学八年级上册1.3 探索三角形全等的条件——SAS 同步练习（提优版）
一、单选题
1．（2020八上·交城期中）如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=100°，若∠BAE=60°，则∠CAE的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2＝100°，
∴∠ADE＝∠AED＝80°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∵AD＝AE，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，
∴∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝40°，
故答案为：A．
【分析】先利用“SAS”证明△AEB≌△ADC，再根据全等三角形的性质及三角形的外角求解即可。
2．（2020八上·江苏月考）如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（ ）
A．BE=CD B．BE＞CD
C．BE＜CD D．大小关系不确定
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】由全等三角形的判定可证明△BAE≌△DAC，从而得出BE=CD.
∵△ABD与△ACE均为正三角形
∴BA=DA，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°
∴∠BAE=∠DAC
∴△BAE≌△DAC
∴BE=CD
故答案为：A.
【分析】由等边三角形的定义可得BA=DA，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°；于是根据边角边可证△BAE≌△DAC；再根据全等三角形的性质可求解.
3．（2020八上·北京期中）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，则∠EDF等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∴∠ABC=∠ACB，BF=CD，CE=BD，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，
∴∠EDF=180°-∠CDE-∠BDF=180°-∠BFD-∠BDF=∠B．
又∵ ，
∴∠EDF= ．
故答案为：B．
【分析】根据题意，首先证明△BDF≌△CED（SAS），即可得到∠BFD=∠CDE，所以即可得到∠FDE=∠B，继而由三角形的内角和定理求出答案即可。
4．（2021八上·同心期末）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（ ）
A．BE+CF＞EF
B．BE+CF=EF
C．BE+CF＜EF
D．BE+CF与EF的大小关 系不能确定.
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，
在△BED与△CGD中，
∵ ，
∴△BED≌△CGD（SAS），
∴CG=BE，
又∵DE⊥DF，DG=ED
∴FD是EG的垂直平分线，
∴FG=EF
∵GC+CF＞FG
∴BE+CF＞EF
故答案为：A.
【分析】延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，根据SAS可证△BED≌△CGD，利用线段垂直平分线的性质得出FG=EF，根据三角形的三边关系可得GC+CF＞FG，即得BE+CF＞EF.
5．（2020八上·路北月考）在图3所示的3×3正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于（ ）．
A．145° B．180° C．225° D．270°
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，在△ABC和△AEF中，
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠5＝∠BCA，
∴∠1+∠5＝∠1+∠BCA＝90°，
在△ABD和△AEH中，
∵AB=AE，∠B=∠E，BD=EH，
∴△ABD≌△AEH（SAS），
∴∠4＝∠BDA，
∴∠2+∠4＝∠2+∠BDA＝90°，
∵∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝90°+90°+45°＝225°．
故答案为：C．
【分析】如图，先根据SAS判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5＝∠BCA，∠4＝∠BDA，然后可得∠1+∠5与∠2+∠4的值，进一步即可求出答案．
6．（2020八下·兴宾期中）如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（ ）
A．不变 B．先增大再减小
C．先减小再增大 D．不断增大
【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形OEFG是两个边长相等正方形，
∴∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，
∴∠BOC-∠COM=∠EOG-∠COM，
即∠BOM=∠CON，
∵在△BOM和△CON中
，
∴△BOM≌△CON，
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是
S△COM+S△CNO=S△COM+S△BOM=S△BOC= S正方形ABCD，
即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于 S正方形ABCD，
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质可证得∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，可证得∠BOM=∠CON；再利用ASA可证得△BOM≌△CON，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积= S正方形ABCD，由此可证得结论.
7．（2020八下·新昌期中）如图，以 ABCD 的四条边为边，分别向外作正方形，连结 EF，GH，IJ，KL.如果 ABCD 的 面积为 8，则图中阴影部分四个三角形的面积和为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABGF和四边形ADLE是正方形，
∴AE=AD，AF=AB，∠FAB=∠EAD=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠EAF=∠ABC，
在△EAF和△ABC中，
∵AE=AD=BC，
∠EAF=∠ABC，
AF=AB，
∴△EAF≌△ABC，
∴S△EAF≌S△ABC= =4，
同理可求：S△BHG= S△CIJ= S△DLK= =4，
∴阴影部分的面积S=S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK=4×4=16.
故答案为：C.
【分析】连接AC，通过证明△EAF≌△ABC，可求S△EAF= =4，同理求出理S△BHG= S△CIJ= S△DLK= =4，即可求出阴影部分四个三角形的面积和.
8．（2020八上·宜春期末）如图1、2、3中，点 、 分别是正 、正方形 、正五边形 中以 点为顶点的相邻两边上的点，且 ， 交 于 点， 的度数分别为 ， ， ，若其余条件不变，在正九边形 中， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60 ，
∵在△ABE和△BCD中
，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠APD＝∠BAE＋∠ABD＝∠CBD＋∠ABD＝∠ABC＝60 ，
即∠APD＝60 ，
同理：正四边形时，∠APD＝90 = ，
∴正五边形时，∠APD＝∠ABC＝ ＝108 ，
正六边形时，∠APD＝∠ABC＝ ＝120 ，
依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC＝ ，
∴正九边形 中， 的度= =
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60 ，证△ABE≌△BCD，推出∠BAE＝∠CBD，根据三角形的外角性质推出∠APD＝∠BAE＋∠ABD＝∠ABC＝60 ，同理其它情况也是∠APD等于其中一个角；正四边形时，同样能推出∠APD＝∠ABC＝90 ，正五边形时，∠APD＝∠ABC＝ ＝108 ，正六边形时，∠APD＝∠ABC＝ ＝120 ，依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC＝ ，故可求解.
9．（2020八上·宜兴期中）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：设Q是AB的中点，连接DQ，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝4，O为AC中点，
∴AQ＝AO，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD＝OE，
∵点D在直线BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD＝ QB，
∵QB＝ AB＝2，
∴QD＝ ，
∴线段OE的最小值是为 .
故答案为：D.
【分析】设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD＝OE，根据点到直线的距离可知当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值.
10．（2020八上·合肥月考）如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D＋∠E＝180°，若BD＝6，则CE的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．4.5
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长BE使AF＝AD，连接CF，
在△ADB和△ACF中，
∵AD＝AF，∠DAB＝∠FAC，AB＝AC，
∴△ADB≌△ACF（SAS），
∴∠F＝∠D，BD＝CF＝6，
∵∠D＋∠BEC＝180°，∠BEC＋∠FEC＝180°，
∴∠D＝∠FEC，
∴∠F＝∠FEC，
∴CF＝CE＝6，
故答案为：A．
【分析】延长BE使AF＝AD，连接CF，由“SAS”可证△ADB≌△ACF，可得∠F＝∠D，BD＝CF＝6，由平角的性质可得∠F＝∠FEC＝∠D，即可求解．
二、填空题
11．（2019八上·广丰月考）如图，已知 ，要用 判断 ≌ ，需增加一个条件： ．
【答案】AB=DC
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵ ，BC=CB，
∴要用 判断 ≌ 需添加 ，
故答案为： .
【分析】根据SAS是两边及夹角对应相等，可知应增加条件 .
12．（2016八上·蕲春期中）已知BD为四边ABCD的对角线，AB∥CD，要使△ABD≌△CDB，利用“SAS”可加条件 ．
【答案】AB=CD
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
在△ABD与△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB，
故答案为：AB=CD
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS解答即可．
13．（2020八上·宜春期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件 能用SAS说明△ABC≌△DEF．
【答案】AC=DF
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】添加AC=DF（答案不唯一）.
证明：因为FB=CE，AC∥DF，
所以BF-CF=EC-CF，∠ACB=∠DFE（内错角相等）
所以BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
，
所以△ABC≌△DEF．
【分析】根据SAS进行判断即可解答.
14．（2019八上·镇平月考）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE相交于点 P，则∠APE 的度数为 .
【答案】60
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°.
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠DBE.
∵∠APE=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠ABP+∠DBE.
即∠APE=∠ABD.
∴∠APE=60°.
故答案是：60°.
【分析】根据题干条件：AB=BC，BD=CE，∠ABD=∠C可以判定△ABD≌△BCE，即可得到∠BAD=∠CBE，又知∠APE=∠ABP+∠BAP，故知∠APE=∠ABP+∠CBE=∠ABC，于是可求.
15．（2020八上·新田期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠DBC=∠DCB=20°，
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM和△CDE中，
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=70°=∠MDN，
在△MDN和△EDN中，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN=CN+CE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；
故答案为：4．
【分析】延长AC至点E，使得CE=BM，连接DE，利用“SAS”证明△MDN≌△EDN，得出MN=EN=CN+CE，即可得出结论。
16．（2020八上·通河期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，D为BC边的中点，则中线AD的取值范围是 ．
【答案】1＜AD＜5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC＝6，
∵AB＝4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5．
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，根据SAS可证△ADC≌△EDB，可得EB＝AC＝6，在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE，即得2＜2AD＜10，据此解答即得.
17．（2020八上·梁子湖期中）等边△ACD和等边△BCE有一个公共顶点C，直线AE与BD交于点F ，直线AE与CD交于点G， 直线CE与BD交于点H，连接GH. 下列结论：①AE=DB；②△BHC≌△EGC；③∠DFA=60°；④△HGC为等边三角形. 其中正确的结论有 .（填序号）
【答案】①③
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC，AE=DB，故①正确；
在△ACG和△DFG中，
∵∠CAE=∠CDB，∠AGC=∠DGF，
∴∠DFA=∠ACD=60°；故③正确；
由于无法判断∠DCE的大小，∴∠DCE与∠ECB不一定相等，故④不正确；
虽然∠AEC=∠DBC，CE=CB，但无法判定△BHC与△EGC全等，故②不正确；
综上，正确的结论是①③.
故答案为：①③.
【分析】利用等边三角形的性质，易证AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠ECB=60°，可推出∠ACE=∠DCB，利用SAS证明△ACE≌△DCB，利用全等三角形的性质可得AE=DB，可对①作出判断；利用全等三角形的性质，可得∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC，再证明∠DFA=∠ACD=60°，可对③作出判断；根据∠AEC=∠DBC，CE=CB，无法判断△BHC与△EGC全等，可对②作出判断；由于无法判断∠DCE的大小，可对④作出判断；综上所述可得出正确结论的序号。
18．（2021八下·崇州期中）如图，△ABC是等边三角形，且AB＝1，点M为直线BC上的一个动点，连接AM，将线段AM绕A点顺时针旋转60°至AD，点N为直线AC上的一个动点，则D、N两点间距离的最小值为 .
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，连接DM，DB，
∵△ABC是等边三角形，AB＝1，BH⊥AC，
∴AH＝HC＝ ，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴BH＝ ，
∵将线段AM绕A点顺时针旋转60°至AD，
∴AD＝AM，∠DAM＝60°＝∠BAC，
∴∠MAC＝∠DAB，且AB＝AC，AD＝AM，
∴△ABD≌△ACM（SAS）
∴∠ABD＝∠ACB＝60°，
∴点D在∠ABC的外角的平分线上，
∵∠ABD＝∠BAC＝60°，
∴AC∥BD，
∴当DN⊥AC时，D、N两点间距离的最小值为BH＝ ，
故答案为： .
【分析】过点B作BH⊥AC于H，连接DM，DB，根据等边三角形的性质结合勾股定理即可求出BH的长，再运用旋转的性质得出AD＝AM，∠DAM＝60°＝∠BAC，在根据全等三角形的判定（SAS）即可得到△ABD≌△ACM，又因为点D在∠ABC的外角的平分线上，则当DN⊥AC时，D、N两点间距离最小.
三、解答题
19．（2020八上·河西期末）如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你说明DA﹣DB=DC．
【答案】解：△ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC，BE=BD=DE（等边三角形的边相等），
∠ABC=∠EBD=60°（等边三角形的角是60°）．
∴∠ABC﹣∠EBC=∠EBD﹣∠EBC
∠ABE=CBD （等式的性质），
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE=DC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD﹣DE=AE（线段的和差）
∴AD﹣BD=DC（等量代换）．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，BD、BE、DE的关系，根据三角形全等的判定，可得△ABE与△CBD的关系，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，根据线段的和差，等量代换，可得证明结果．
20．（2021八上·喀什期末）如图，已知 中， ， ， 是 上一点， 在 的延长线上，且 ， 的延长线与 交于点 .求证： .
【答案】证明：∵
∴
在 和 中，
∴
∴
∵ 中， ，
∴ ，
∴
∴
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据SAS判断出△ACE≌△BCD，然后根据全等三角形的对应角相等得出∠CAE=∠CBD，进而根据直角三角形的两锐角互余及垂直的定义可以证明结论.
21．（2020八上·重庆月考）已知如图等边三角形△ABC，D，E分别是BC，AC上的点.AD、BE交于点N，BM⊥AD于M.若AE=CD，求证：MN= BN.
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°.
在△ABE和△CAD中 ，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，
∵BM⊥AD，即∠AMB=90°，
∵∠BNM=60°，
∴∠NBM=30°，
∴MN= BN.
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由等边三角形的性质可得AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，用边角边可证△ABE≌△CAD，由全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可求解.
22．（2020八上·定南期中）如图， 均为等腰直角三角形，连接AE，CD，AE与CD相等吗？说明理由
【答案】解： ，
理由如下： 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质得到角、边相等，再利用“SAS”证明三角形全等，利用全等的性质求解即可。
23．（2020八上·乐陵月考）△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF，BD．观察图形，猜想AF与BD之间的数量和位置关系，并证明你的猜想
【答案】解：猜想：AF=BD且AF⊥BD．
证明：设AF与DC交于点G，
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF，
∴△ACF≌△BCD，
∴AF=BD，
∴∠AFC=∠BDC，
∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=∠DGA，
∴∠BDC+∠DGA=90°，
∴AF⊥BD，
∴AF=BD且AF⊥BD．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据题意利用等腰直角三角形性质和正方形的性质构造全等条件证明△ACF≌△BCD，然后利用全等三角形的性质进行分析证明．
24．（2020八上·台前期中）如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的一点，在等边△ABC的外角平分线CE上取一点E，使CE＝BD，连接AE、DE，请判断△ADE的形状，并说明理由.
【答案】解：△ADE是等边三角形.
理由：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC.
∴∠ACF＝120°.
∵CE平分∠ACF，
∴∠4＝ ∠ACF＝60°，
∴∠B＝∠4.
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠1＝∠3.
∵∠1+∠2＝60°，
∴∠2+∠3＝60°.
即∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由等边三角形的性质和已知条件用边角边可证△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得AD＝AE，∠1＝∠3，于是∠DAE=∠2+∠3=∠1+∠2=60度，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△ADE是等边三角形.
25．（2020八上·普陀月考）如图：在ΔABC中，∠ACB= ，AC=BC，D在BC延长线上，E是AC上一点，且EC=DC，M、N分别是AD、BE的中点，判断ΔMCN形状并证明.
【答案】解：结论；△MCN是等腰直角三角形．
理由：在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAM，
∵在Rt△BCE和Rt△ACD中，BN=NE．AM=MD，
∴CN=BN=EN，CM=AM=MD，
∴CN=CM，∠NCB=∠CBE，∠MCA=∠CAM，
∴∠NCB=∠MCA，
∴∠MCN=∠ACB=90°，
∴△MCN是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用“SAS”证出 △BCE≌△ACD ，得到BE=AD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求解即可。
26．（2020八上·安仁期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．
求证：BC=AB+CD．
【答案】证明：在线段BC上截取BE=BA，连接DE，如下图所示：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中： ，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴∠DEB=∠BAD=108°，
∴∠DEC=180°-108°=72°，
又AB=AC，∴∠C=∠ABC=(180°-108°)÷2=36°，
∴∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CD=CE，
∴BC=BE+CE=AB+CD．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据全等三角形的判定及三角形的内角和作答即可。
27．（2020八上·南充期中）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
【答案】解：在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AB=AC+CD，
∴CD=EB，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△CAD和△EAD中
∵ ，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴∠C=∠AED，CD=DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∵∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，
∴∠C=2∠B．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】 在AB上截取AE=AC，连接DE， 结合已知可得CD=EB，利用角平分线的定义可得 ∠CAD=∠EAD， 根据SAS可证△CAD≌△EAD，可得∠C=∠AED，CD=DE=BE，从而求出∠B=∠EDB，根据三角形外角的性质可得∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，即得∠C=2∠B．
28．（2021八上·鄂州期末）在 中， ，点 是直线 上一点（不与 、 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
（1）如图，当点 在线段 上，如果 ，则 度．
（2）设 ， ．
①如图，当点 在线段 上移动时， 、 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点 在线段 的反向延长线上移动时， 、 之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）90
（2）① ．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB=β，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
② 当点 在射线 的反向延长线上时， ．
理由如下：
∵ ，
∴ ，
在△ABD与△ACE中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可证得∠ABC=∠ACB，再证明∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△BAD≌△CAE；然后利用全等三角形的性质可可求出∠ACE的度数，根据∠BCE=∠ACB+∠ACE，可求出∠BCE的度数.
（2）①利用已知条件易证∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，再利用全等三角形的性质可推出∠B=∠ACE及∠B+∠ACB=β；然后根据α+∠B+∠ACB=180°，可求出α+β的值；②利用已知条件易证∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，再利用全等三角形的性质可推出∠ABD=∠ACE；然后证明∠BAC=∠BCE，由此可证得结论.
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