初中数学湘教版九年级上册3.2平行线分线段成比例 同步练习
一、单选题
1．（2021·福建模拟）如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】由平行线分线段成比例可得结果.
2．（2021九下·咸宁月考）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DF＝6，则EF的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由题意， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行解答即可.
3．（2021·道外模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△ABF∽△EDF
∴ ，
∴选项A不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF
∴
∴选项B符合题意；
∵
∴ ，即
∴选项C不符合题意；
∵
∴
∴选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的性质与判定对每个选项一一判断求解即可。
4．（2021·肥东模拟）如图，AB//CD//EF，下列等式成立的是（ ）
A．AC·CE=BD·DF B．AC·AE=BD·BF
C．AC·DF=CE·BD D．CD2=AB·EF
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB//CD//EF，
∴ ， ，
∴AC DF=BD CE；AC BF=BD AE．
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质列出比例式即可求解。
5．（2018·梧州）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F，
∵DF∥CE，
∴ = ，
而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，
∴ = ，则 CE= DF，
∵DF∥AE，
∴ = ，
∵AG：GD=4：1，
∴ = ，则 AE=4DF，
∴ = ，
故答案为：D．
【分析】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F，根据平行线分线段成比例得出，而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，故 CE= DF，再根据平行线分线段成比例得出，又AG：GD=4：1，故AE=4DF，从而得出答案。
二、填空题
6．（2021·无锡模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为 .
【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵直线l1∥l2∥l3，
∴根据平行线分线段成比例定理可得：
∴ ，
解得： ，
经检验， 是上述分式方程的解，
故答案为：9.
【分析】由于直线l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例定理可得：, 然后代入数值计算即可.
7．（2021九上·宜宾期末）如图， ，若 ， ，则 .
【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ， ，
故答案为：4.
【分析】利用平行线分线段成比例可得由比例性质可得，代入可得结果.
8．（2021·任城模拟）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为 ．
【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，
∴ ，
∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，
∴EF＝ ＝4，
故答案为：4．
【分析】根据平行线分线段成比例额定理列出比例式，代入计算。
9．（2021·石城模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线 ，
∴ ，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知数据求解即可．
10．如图所示，在△ABC中，已知BD＝2DC，AM＝3MD，过M作直线交AB，AC于P，Q两点．则 ＝ ．
【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点B作NB⊥PQ于点N，过点D作DG⊥PQ于点G，过点C作CH⊥PQ于点H，
∴BN∥AK
∵AM=3MD，
∴
设DG=a，则AK=3a，
设BN=x，CH=y
∵AK∥BN
∴
∴
∵AK∥CH
∴
∴
由BD=2CD，可得
∴3a=2y+x
原式=
故答案为：4.
【分析】过点B作NB⊥PQ于点N，过点D作DG⊥PQ于点G，过点C作CH⊥PQ于点H，设它们的长度分别为x，3a，a，y，利用平行线分线段成比例，即可推出结论。
11．如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且 = = ，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn﹣1，连接NB，NP1，NP2，…，NPn﹣1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是 ．（用含有S与n的式子表示）
【答案】 S
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： 连接MN，
设BN交MP1于O1，MP2交NP1于O2，MP3交NP2于O3．
∵ = = ，
∴MN∥BC，
∴ = = ，
∵点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点，
∴MN=BP1=P1P2=P2P3，
∴四边形MNP1B，四边形MNP2P1，四边形MNP3P2都是平行四边形，
易知S△ABN= S，S△BCN= S，S△MNB= S，
∴ = = = S，
∴S阴=S△NBC﹣（n﹣1） ﹣ = S﹣（n﹣1） S﹣ S= S，
故答案为 S．
【分析】连接MN，设BN交MP1于O1，MP2交NP1于O2，MP3交NP2于O3，利用平行线分线段成比例，可得出，，根据已知可证四边形MNP1B，四边形MNP2P1，四边形MNP3P2都是平行四边形，就可用含s和n的代数式表示出△ABN、△BCN、△NMB的面积及△BP1O1的面积，然后就可求出阴影部分的面积。
三、解答题
12．（2020九上·利辛期中）如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
【答案】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴ ，
∵AF：BF=1：2，
∴ = ，
∴ ，
即FE= BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD= BC，
∵FE∥BD，
∴ ．
即FN：ND=2：3．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】 过点F作FE∥BD，交AC于点E ，再根据平行线分线段成比例进行作答即可。
13．（2020九上·包河月考）如图，已知l1//l2//l3，AB=3、BC=5、DF=12，求DE的长。
【答案】解：∵l1∥l2∥l3
∴AB：BC=DE：EF
∵AB=3，BC=5，DF=12
∴3:5=DE：（12-DE）
∴DE=4.5
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据题意，由平行线段分线段成比例，计算得到答案即可。
14．如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．
【答案】解：取AD的中点G，并连接EG在△ABD中，E是AB的中点，由题知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD= S△DEC= x，S△ACE= x+4x= x，又因为E是AB中点，所以S△ACE= S△ABC=20，∴ x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE= x=8，∴S AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】首先取AD的中点G，并连接EG，由中位线定理可得EG∥BD，即可得到CF：FE的值，进而得到S△DFC：S△DFE的比值；设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x，根据AD：DC的值可求得S△EAD：S△ECD的比值，进而用含x的代数式表示出S△EAD、S△ACE；然后结合三角形面积建立方程求得x值，即可由S四边形AEFD=S△ADE+S△DEF，可求得答案。
四、作图题
15．（2020九上·江苏期中）如图，已知点P为∠ABC内一点，利用直尺和圆规确定一条过点P的直线，分别交AB、BC于点E、F，使得BE＝BF.（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：①截取BM=BN，②作平行四边形PMNG.
直线EF即为所求.（也可以作∠B的平分线，过P作角平分线的垂线即可）
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】①截取BM=BN，②以MN与MP为邻边作平行四边形PMNG，直线EF即为所求.（也可以作∠B的平分线，过P作角平分线的垂线即可）
16．（2020·武汉模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.点A、B、C是格点，D为线段AC与某一格线的交点.
（1）AB＝ ； ＝ ；
（2）请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由.试找一点M使DM∥AB，且DM＝AB.
【答案】（1）；2
（2）解：取格点K，连接BK得到点M，连接DM即可.
如图，线段DM即为所求.
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】（1）解：如图，AE∥DF，
AB＝ ＝ ，
由平行线等分线段定理可知：
故答案为： ，2.
【分析】（1）由网格图的特征和勾股定理可求得AB的长，由网格图的特征可知EF=2，FC=1，AE∥DF，根据平行线分线段成比例定理可得比例式求解；
（2） 取格点K，连接BK得到点M，根据平行线的性质连接DM即可 .
五、综合题
17．（2020九上·慈溪月考）如图，已知AB∥CD，AD、BC 交于点E.
（1）写出所有比值等于 的两条线段之比.
（2）若AE=3，DE=6，BC=12，求CE的长.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴；
∴等于 的两条线段之比有： DE：CE，AD：BC.
（2）解：∵，
解得CE=8.
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例的性质列式即可；
（2）根据（1）的比例式，代入有关线段值，求解即可.
18．（2021·浦东模拟）如图，已知AD BE CF，它们依次交直线 、 于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求 的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
【答案】（1）解：∵AD BE CF，
∴ ，
∵AB=6，BC=8，
∴ ，
故 的值为
（2）解：如图，过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，
∵AG DF，AD BE CF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BE CF，
∴ ，
∴ ，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据AD BE CF可得 ，由此计算即可；
（2）过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
19．（2017九上·东莞月考）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
【答案】（1）解：成立．证明：∵ AB∥EF，
所以 ，
∵CD∥EF，∴ ，
∴ =1，
∴ ，
（2）解：关系式为： ，证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K，
由题设可得： ，
∴ ，又∵ BD AM=S△ABD， =S△BCD∴ BD EN=S△BED，
∴ .
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例，由 AB∥EF和CD∥EF得出对应相等成比例，然后相加并整理就可证得结论。
（2）分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K，再把各面积用边表示出来，即可找到关系，就可证得结论。
1 / 1初中数学湘教版九年级上册3.2平行线分线段成比例 同步练习
一、单选题
1．（2021·福建模拟）如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九下·咸宁月考）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DF＝6，则EF的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
3．（2021·道外模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·肥东模拟）如图，AB//CD//EF，下列等式成立的是（ ）
A．AC·CE=BD·DF B．AC·AE=BD·BF
C．AC·DF=CE·BD D．CD2=AB·EF
5．（2018·梧州）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
二、填空题
6．（2021·无锡模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为 .
7．（2021九上·宜宾期末）如图， ，若 ， ，则 .
8．（2021·任城模拟）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为 ．
9．（2021·石城模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为 ．
10．如图所示，在△ABC中，已知BD＝2DC，AM＝3MD，过M作直线交AB，AC于P，Q两点．则 ＝ ．
11．如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且 = = ，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn﹣1，连接NB，NP1，NP2，…，NPn﹣1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是 ．（用含有S与n的式子表示）
三、解答题
12．（2020九上·利辛期中）如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
13．（2020九上·包河月考）如图，已知l1//l2//l3，AB=3、BC=5、DF=12，求DE的长。
14．如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．
四、作图题
15．（2020九上·江苏期中）如图，已知点P为∠ABC内一点，利用直尺和圆规确定一条过点P的直线，分别交AB、BC于点E、F，使得BE＝BF.（不写作法，保留作图痕迹）
16．（2020·武汉模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.点A、B、C是格点，D为线段AC与某一格线的交点.
（1）AB＝ ； ＝ ；
（2）请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由.试找一点M使DM∥AB，且DM＝AB.
五、综合题
17．（2020九上·慈溪月考）如图，已知AB∥CD，AD、BC 交于点E.
（1）写出所有比值等于 的两条线段之比.
（2）若AE=3，DE=6，BC=12，求CE的长.
18．（2021·浦东模拟）如图，已知AD BE CF，它们依次交直线 、 于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求 的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
19．（2017九上·东莞月考）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】由平行线分线段成比例可得结果.
2．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由题意， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行解答即可.
3．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△ABF∽△EDF
∴ ，
∴选项A不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF
∴
∴选项B符合题意；
∵
∴ ，即
∴选项C不符合题意；
∵
∴
∴选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的性质与判定对每个选项一一判断求解即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB//CD//EF，
∴ ， ，
∴AC DF=BD CE；AC BF=BD AE．
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质列出比例式即可求解。
5．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F，
∵DF∥CE，
∴ = ，
而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，
∴ = ，则 CE= DF，
∵DF∥AE，
∴ = ，
∵AG：GD=4：1，
∴ = ，则 AE=4DF，
∴ = ，
故答案为：D．
【分析】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F，根据平行线分线段成比例得出，而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，故 CE= DF，再根据平行线分线段成比例得出，又AG：GD=4：1，故AE=4DF，从而得出答案。
6．【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵直线l1∥l2∥l3，
∴根据平行线分线段成比例定理可得：
∴ ，
解得： ，
经检验， 是上述分式方程的解，
故答案为：9.
【分析】由于直线l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例定理可得：, 然后代入数值计算即可.
7．【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ， ，
故答案为：4.
【分析】利用平行线分线段成比例可得由比例性质可得，代入可得结果.
8．【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，
∴ ，
∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，
∴EF＝ ＝4，
故答案为：4．
【分析】根据平行线分线段成比例额定理列出比例式，代入计算。
9．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线 ，
∴ ，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知数据求解即可．
10．【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点B作NB⊥PQ于点N，过点D作DG⊥PQ于点G，过点C作CH⊥PQ于点H，
∴BN∥AK
∵AM=3MD，
∴
设DG=a，则AK=3a，
设BN=x，CH=y
∵AK∥BN
∴
∴
∵AK∥CH
∴
∴
由BD=2CD，可得
∴3a=2y+x
原式=
故答案为：4.
【分析】过点B作NB⊥PQ于点N，过点D作DG⊥PQ于点G，过点C作CH⊥PQ于点H，设它们的长度分别为x，3a，a，y，利用平行线分线段成比例，即可推出结论。
11．【答案】 S
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： 连接MN，
设BN交MP1于O1，MP2交NP1于O2，MP3交NP2于O3．
∵ = = ，
∴MN∥BC，
∴ = = ，
∵点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点，
∴MN=BP1=P1P2=P2P3，
∴四边形MNP1B，四边形MNP2P1，四边形MNP3P2都是平行四边形，
易知S△ABN= S，S△BCN= S，S△MNB= S，
∴ = = = S，
∴S阴=S△NBC﹣（n﹣1） ﹣ = S﹣（n﹣1） S﹣ S= S，
故答案为 S．
【分析】连接MN，设BN交MP1于O1，MP2交NP1于O2，MP3交NP2于O3，利用平行线分线段成比例，可得出，，根据已知可证四边形MNP1B，四边形MNP2P1，四边形MNP3P2都是平行四边形，就可用含s和n的代数式表示出△ABN、△BCN、△NMB的面积及△BP1O1的面积，然后就可求出阴影部分的面积。
12．【答案】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴ ，
∵AF：BF=1：2，
∴ = ，
∴ ，
即FE= BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD= BC，
∵FE∥BD，
∴ ．
即FN：ND=2：3．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】 过点F作FE∥BD，交AC于点E ，再根据平行线分线段成比例进行作答即可。
13．【答案】解：∵l1∥l2∥l3
∴AB：BC=DE：EF
∵AB=3，BC=5，DF=12
∴3:5=DE：（12-DE）
∴DE=4.5
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据题意，由平行线段分线段成比例，计算得到答案即可。
14．【答案】解：取AD的中点G，并连接EG在△ABD中，E是AB的中点，由题知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD= S△DEC= x，S△ACE= x+4x= x，又因为E是AB中点，所以S△ACE= S△ABC=20，∴ x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE= x=8，∴S AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】首先取AD的中点G，并连接EG，由中位线定理可得EG∥BD，即可得到CF：FE的值，进而得到S△DFC：S△DFE的比值；设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x，根据AD：DC的值可求得S△EAD：S△ECD的比值，进而用含x的代数式表示出S△EAD、S△ACE；然后结合三角形面积建立方程求得x值，即可由S四边形AEFD=S△ADE+S△DEF，可求得答案。
15．【答案】解：①截取BM=BN，②作平行四边形PMNG.
直线EF即为所求.（也可以作∠B的平分线，过P作角平分线的垂线即可）
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】①截取BM=BN，②以MN与MP为邻边作平行四边形PMNG，直线EF即为所求.（也可以作∠B的平分线，过P作角平分线的垂线即可）
16．【答案】（1）；2
（2）解：取格点K，连接BK得到点M，连接DM即可.
如图，线段DM即为所求.
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】（1）解：如图，AE∥DF，
AB＝ ＝ ，
由平行线等分线段定理可知：
故答案为： ，2.
【分析】（1）由网格图的特征和勾股定理可求得AB的长，由网格图的特征可知EF=2，FC=1，AE∥DF，根据平行线分线段成比例定理可得比例式求解；
（2） 取格点K，连接BK得到点M，根据平行线的性质连接DM即可 .
17．【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴；
∴等于 的两条线段之比有： DE：CE，AD：BC.
（2）解：∵，
解得CE=8.
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例的性质列式即可；
（2）根据（1）的比例式，代入有关线段值，求解即可.
18．【答案】（1）解：∵AD BE CF，
∴ ，
∵AB=6，BC=8，
∴ ，
故 的值为
（2）解：如图，过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，
∵AG DF，AD BE CF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BE CF，
∴ ，
∴ ，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据AD BE CF可得 ，由此计算即可；
（2）过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
19．【答案】（1）解：成立．证明：∵ AB∥EF，
所以 ，
∵CD∥EF，∴ ，
∴ =1，
∴ ，
（2）解：关系式为： ，证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K，
由题设可得： ，
∴ ，又∵ BD AM=S△ABD， =S△BCD∴ BD EN=S△BED，
∴ .
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例，由 AB∥EF和CD∥EF得出对应相等成比例，然后相加并整理就可证得结论。
（2）分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K，再把各面积用边表示出来，即可找到关系，就可证得结论。
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