初中数学湘教版九年级上册3.1比例线段 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·泰山期末）下面四组线段中，成比例的是（ ）
A．a=2，b=3，c=4，d=5 B．a=1，b=2，c=2，d=4
C．a=4，b=6，c=8，d=10 D．a= ，b= ，c=3，d=
2．（2021·丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
3．（2021·漳浦模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为 ，则小凡的身高约为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·顺城模拟）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2021九下·东坡开学考）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．3cm，6cm，0.2dm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cm D．12cm，8cm，15cm，10cm
6．（2021八下·相城期末）如果 ，那么 的值是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
7．（2021八下·龙口期末）已知点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10，那么AB的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2021八下·天桥期末）如果 ＝ ，那么 ＝ ；
9．（2021八上·港南期末）已知 ，则 ．
10．（2020八上·高唐期末）已知线段c是线段a、b的比例中项，若 ， ，则 ．
11．（2020八下·黄石期中）已知线段AB=10，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC= .
12．（2020八下·曹县月考）已知a，b，c，d是成比例线段，a=3cm，b=2cm，d=6cm，则线段c的长为 cm。
13．（2020八上·肇州期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“ ”或“ ”或“ ”）．
三、计算题
14．（2020九上·利辛期中）若a：b=1：2，求（a+b）：a的值．
15．（2021·静安模拟）已知线段x、y满足 求 的值．
四、解答题
16．（2021九上·北仑月考）已知线段c是线段a，b的比例中项，若 ， ，求线段c的长.
17．（2020九上·南山期中）已知a：b：c＝2：3：5，如果3a－b+c＝24，求a，b，c的值．
18．实践证明，节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响效果及审美效果最好．如下图，假设线段AB为舞台前沿，你能为主持人找出一个最佳位置C吗？
五、作图题
19．（2021九上·凤翔期末）如图，小丽在观察某建筑物 ，请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物 在阳光下的投影.
六、综合题
20．（2021八上·沙坪坝期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且 ，求证： .
证明：∵ ，
∴ .
∴ .
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且a≠b，c≠d，证明 .
21．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4， 。
（1）求AD的长；
（2）试问 能成立吗？请说明理由。
22．（2021九上·和平期末）为了测得图1和图2中旗杆的高度，在太阳光下同一时刻小明和小红分别做了如下操作，测得竹竿 长0.9米，其影长 为1米.
（1）如图1，若小明测得旗杆影 长为3米，求图1中旗杆高 B为多少米（ ， ，点 、 、 在一条直线上）；
（2）如图2，若小红测得旗杆落在地面上的影长 为3米，落在墙上的影子 的高为1.1米，则直接写出图2中旗杆高 为 米（ ， ）.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】，所以选项错误；
，所以选项正确；
，所以选项错误；
，所以选项错误。
故答案为：B。
【分析】根据成比例线段的概念进行求解即可。
2．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，
阻力×阻力臂是定值，即水桶的重力和水桶随杆的拉力作用点到支点的杆长固定不变，
∴动力越小，动力臂越大，即阻力越小，压力的作用点到支点的距离越远，
∴F乙最小，
∴乙同学到到支点的距离最远.
故答案为：B.
【分析】利用杠杆原理可知阻力×阻力臂=动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杠杆的拉力点到支点的杆长乘积为定值进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得：
头顶至肚脐的长度为 ，
∴ ，
∴小凡的身高约为 ；
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割比求出头顶至肚脐的长度为 ，然后再加上 肚脐至足底的长度即得结论.
4．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故答案为：B．
【分析】由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．
5．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵ 2：3≠4：5，
∴这四条线段不成比例，故A不符合题意；
B、∵3:0.2≠6:5，
∴这四条线段不成比例，故B不符合题意；
∵ 2：4≠6：8，
∴这四条线段不成比例，故C不符合题意；
∵ 8：10=4：5，12：15=4:5
∴8：10=12：15
∴这四条线段不成比例，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别求出各选项中较小的两条线段之比及较大的两条线段之比，若线段，则是成比例的线段，由此可得答案.
6．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴b=2a，
∴原式= = =-3.
故答案为：B.
【分析】利用比例的性质，由 得b=2a，然后把b=2a代入 中进行分式的混合运算即可.
7．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】由黄金分割比的定义可知
又AC＝10，
则
故答案为：B．
【分析】先求出，再根据AC＝10，计算求解即可。
8．【答案】5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴设x=3k，y=k，
∴ ；
故答案为5
【分析】根据已知条件求得x=3y，再代入求值。
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】 ，
设 则
故答案为：
【分析】 根据x：y：z=2：3：4，设 则 再代入代数式求值可得答案．
10．【答案】27
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：由比例中项可知
c2=ab，
又a=3 ，c=9
即92=3b，
∴b=27，
故答案为:27 ．
【分析】根据比例中项的性质求解即可。
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】由于C为线段AB=10的黄金分割点，
且AC＞BC，AC为较长线段；
则AC=10× = .
【分析】根据黄金分割点且AC＞BC，可得AC= AB，据此解答即可.
12．【答案】9
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵四条线段成比例
∴a:b=c:d
∴3:2=c：6
∴c=9
【分析】根据线段成比例的定义，将值代入，即可得到答案。
13．【答案】=
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：＝．
【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案．
14．【答案】解：∵a：b=1：2，
∴b=2a，
∴（a+b）：a=（a+2a）：a=3．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据已知条件可得 b=2a ，再代入式子求解即可。
15．【答案】解： ，
．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵x、y表示线段，
∴负值不符合题意，
∴ ．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y2，化为 ，然后解一元二次方程，即可求解．
16．【答案】解：
∵c＞0，∴
【知识点】比例线段
【解析】【分析】由已知条件：线段c是线段a，b的比例中项，可得到c2=ab，将a，b代入可求出线段c的值.
17．【答案】解：设a=2k，b=3k，c=5k（k≠0），则
6k-3k+5k=24，
解得k=3．
则a=2k=6，
b=3k=9，
c=5k=15．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】 设a=2k，b=3k，c=5k（k≠0）,由3a－b+c＝24，可得6k-3k+5k=24，据此求出k值，从而求出结论.
18．【答案】解：距点A至少是1- ≈0.4或距点B至少是1- ≈0.4，故最佳位置C在距A点或B点 AB处，如图所示：
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】利用黄金分割的定义解答即可。
19．【答案】解：如图：线段 即为 的影子.
【知识点】平行投影
【解析】【分析】直接利用平行投影作图即可.
20．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）根据题干提供的方法 计算即可；
（2）先在等式两边同时减去1再结合 计算即可.
21．【答案】（1）解：设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，
x：12-x=6：4，
解得x=7.2，
∴AD=7.2
（2）解：能，
由AB＝12，AD＝ ，
故DB＝ .
于是 ，
又 ，
故 .
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）由题意设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，将AD、DB、AE、EC代入已知的比例式计算即可求解；
（2）由（1）中计算的AD可求得BD的长，分别计算DB：AB和EC：AC的值即可判断。
22．【答案】（1）解：根据题意得： ，
解得： ，
即图（1）中的旗杆为2.7米；
（2）3.8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，旗杆高为h，
∵竹竿CD长0.9米，其影长CE为1米，
∴ ，解得： ，
∴旗杆的影长为： ，
∴ ，
解得： 米，
故答案为：3.8米.
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可求解；
（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，旗杆高为h，根据相似三角形的性质即可求解．
1 / 1初中数学湘教版九年级上册3.1比例线段 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·泰山期末）下面四组线段中，成比例的是（ ）
A．a=2，b=3，c=4，d=5 B．a=1，b=2，c=2，d=4
C．a=4，b=6，c=8，d=10 D．a= ，b= ，c=3，d=
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】，所以选项错误；
，所以选项正确；
，所以选项错误；
，所以选项错误。
故答案为：B。
【分析】根据成比例线段的概念进行求解即可。
2．（2021·丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，
阻力×阻力臂是定值，即水桶的重力和水桶随杆的拉力作用点到支点的杆长固定不变，
∴动力越小，动力臂越大，即阻力越小，压力的作用点到支点的距离越远，
∴F乙最小，
∴乙同学到到支点的距离最远.
故答案为：B.
【分析】利用杠杆原理可知阻力×阻力臂=动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杠杆的拉力点到支点的杆长乘积为定值进行判断即可.
3．（2021·漳浦模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为 ，则小凡的身高约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得：
头顶至肚脐的长度为 ，
∴ ，
∴小凡的身高约为 ；
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割比求出头顶至肚脐的长度为 ，然后再加上 肚脐至足底的长度即得结论.
4．（2021·顺城模拟）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故答案为：B．
【分析】由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．
5．（2021九下·东坡开学考）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．3cm，6cm，0.2dm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cm D．12cm，8cm，15cm，10cm
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵ 2：3≠4：5，
∴这四条线段不成比例，故A不符合题意；
B、∵3:0.2≠6:5，
∴这四条线段不成比例，故B不符合题意；
∵ 2：4≠6：8，
∴这四条线段不成比例，故C不符合题意；
∵ 8：10=4：5，12：15=4:5
∴8：10=12：15
∴这四条线段不成比例，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别求出各选项中较小的两条线段之比及较大的两条线段之比，若线段，则是成比例的线段，由此可得答案.
6．（2021八下·相城期末）如果 ，那么 的值是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴b=2a，
∴原式= = =-3.
故答案为：B.
【分析】利用比例的性质，由 得b=2a，然后把b=2a代入 中进行分式的混合运算即可.
7．（2021八下·龙口期末）已知点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10，那么AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】由黄金分割比的定义可知
又AC＝10，
则
故答案为：B．
【分析】先求出，再根据AC＝10，计算求解即可。
二、填空题
8．（2021八下·天桥期末）如果 ＝ ，那么 ＝ ；
【答案】5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴设x=3k，y=k，
∴ ；
故答案为5
【分析】根据已知条件求得x=3y，再代入求值。
9．（2021八上·港南期末）已知 ，则 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】 ，
设 则
故答案为：
【分析】 根据x：y：z=2：3：4，设 则 再代入代数式求值可得答案．
10．（2020八上·高唐期末）已知线段c是线段a、b的比例中项，若 ， ，则 ．
【答案】27
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：由比例中项可知
c2=ab，
又a=3 ，c=9
即92=3b，
∴b=27，
故答案为:27 ．
【分析】根据比例中项的性质求解即可。
11．（2020八下·黄石期中）已知线段AB=10，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC= .
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】由于C为线段AB=10的黄金分割点，
且AC＞BC，AC为较长线段；
则AC=10× = .
【分析】根据黄金分割点且AC＞BC，可得AC= AB，据此解答即可.
12．（2020八下·曹县月考）已知a，b，c，d是成比例线段，a=3cm，b=2cm，d=6cm，则线段c的长为 cm。
【答案】9
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵四条线段成比例
∴a:b=c:d
∴3:2=c：6
∴c=9
【分析】根据线段成比例的定义，将值代入，即可得到答案。
13．（2020八上·肇州期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“ ”或“ ”或“ ”）．
【答案】=
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：＝．
【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案．
三、计算题
14．（2020九上·利辛期中）若a：b=1：2，求（a+b）：a的值．
【答案】解：∵a：b=1：2，
∴b=2a，
∴（a+b）：a=（a+2a）：a=3．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据已知条件可得 b=2a ，再代入式子求解即可。
15．（2021·静安模拟）已知线段x、y满足 求 的值．
【答案】解： ，
．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵x、y表示线段，
∴负值不符合题意，
∴ ．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y2，化为 ，然后解一元二次方程，即可求解．
四、解答题
16．（2021九上·北仑月考）已知线段c是线段a，b的比例中项，若 ， ，求线段c的长.
【答案】解：
∵c＞0，∴
【知识点】比例线段
【解析】【分析】由已知条件：线段c是线段a，b的比例中项，可得到c2=ab，将a，b代入可求出线段c的值.
17．（2020九上·南山期中）已知a：b：c＝2：3：5，如果3a－b+c＝24，求a，b，c的值．
【答案】解：设a=2k，b=3k，c=5k（k≠0），则
6k-3k+5k=24，
解得k=3．
则a=2k=6，
b=3k=9，
c=5k=15．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】 设a=2k，b=3k，c=5k（k≠0）,由3a－b+c＝24，可得6k-3k+5k=24，据此求出k值，从而求出结论.
18．实践证明，节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响效果及审美效果最好．如下图，假设线段AB为舞台前沿，你能为主持人找出一个最佳位置C吗？
【答案】解：距点A至少是1- ≈0.4或距点B至少是1- ≈0.4，故最佳位置C在距A点或B点 AB处，如图所示：
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】利用黄金分割的定义解答即可。
五、作图题
19．（2021九上·凤翔期末）如图，小丽在观察某建筑物 ，请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物 在阳光下的投影.
【答案】解：如图：线段 即为 的影子.
【知识点】平行投影
【解析】【分析】直接利用平行投影作图即可.
六、综合题
20．（2021八上·沙坪坝期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且 ，求证： .
证明：∵ ，
∴ .
∴ .
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且a≠b，c≠d，证明 .
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）根据题干提供的方法 计算即可；
（2）先在等式两边同时减去1再结合 计算即可.
21．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4， 。
（1）求AD的长；
（2）试问 能成立吗？请说明理由。
【答案】（1）解：设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，
x：12-x=6：4，
解得x=7.2，
∴AD=7.2
（2）解：能，
由AB＝12，AD＝ ，
故DB＝ .
于是 ，
又 ，
故 .
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）由题意设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，将AD、DB、AE、EC代入已知的比例式计算即可求解；
（2）由（1）中计算的AD可求得BD的长，分别计算DB：AB和EC：AC的值即可判断。
22．（2021九上·和平期末）为了测得图1和图2中旗杆的高度，在太阳光下同一时刻小明和小红分别做了如下操作，测得竹竿 长0.9米，其影长 为1米.
（1）如图1，若小明测得旗杆影 长为3米，求图1中旗杆高 B为多少米（ ， ，点 、 、 在一条直线上）；
（2）如图2，若小红测得旗杆落在地面上的影长 为3米，落在墙上的影子 的高为1.1米，则直接写出图2中旗杆高 为 米（ ， ）.
【答案】（1）解：根据题意得： ，
解得： ，
即图（1）中的旗杆为2.7米；
（2）3.8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，旗杆高为h，
∵竹竿CD长0.9米，其影长CE为1米，
∴ ，解得： ，
∴旗杆的影长为： ，
∴ ，
解得： 米，
故答案为：3.8米.
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可求解；
（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，旗杆高为h，根据相似三角形的性质即可求解．
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