初中数学湘教版九年级上册3.4相似三角形的判定与性质 同步练习
一、单选题
1．（2021·集美模拟）如图，已知 ∽ ，则下列哪条线段与 的比等于相似比（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∽ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，找出对应边，即可.
2．（2021·抚顺模拟）已知，AB是⊙O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A+∠B=90°
C．∠A+∠B＞90° D．∠A+∠B的值无法确定
【答案】B
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：∵AB是直径，∴∠C是直角，∴∠A+∠B=90°，
用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，
所以在镜中看的角大小没有改变，∴∠A+∠B=90°．
故答案为：B．
【分析】因为AB是直径，则∠C是直角，所以∠A+∠B=90°，用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，只改变图形的大小，不改变图形的形状，所以在镜中看的角大小没有改变，所以∠A与放大镜中的∠B的关系是和仍然为90°．
3．（2021·下城模拟）如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，AC上（不与端点重合），连接DE，若DE∥BC，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
故选：C．
【分析】首先根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，然后得到三角形对应边的比即可得到结果．
4．（2021·海南模拟）能判定 与 相似的条件是（ ）
A．
B． ，且
C． 且
D． ，且
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、 ，
B、 ，且 ，
D、 ，且 ，
均不能判断 与 相似，故错误；
C、 且 ，能判定 与 相似，本选项正确.
故答案为：C.
【分析】相似三角形的判定方法：有两对角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此即可判断得出答案.
5．（2021·湘西）如图，在 中， ， 于点 ， ， ， ，则 的长是（ ）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】证明 ，可得，据此即可求出CD的长.
6．（2021·孝义模拟）如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，OA=2OD，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∵△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积为 ，
故答案为：C．
【分析】先求出△ABC与△DEF的相似比为2：1，再根据△ABC的面积为S，求解即可。
7．（2021·龙港模拟）如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加 可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意；
D、添加 不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BAC，再结合相似三角形的判定方法进行分析即可。
8．（2021·朝阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 的图象上，连结OA，过点A作AB平行于x轴，点B在点A的右侧，连结OB交该函数图象于点C，连结AC．若 ，且 的面积为 ，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，
∴设A( ， )，B( ， )，C( ， )，
过点C作DE⊥ 轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥ 轴于点F，延长BA交 轴于点G，则BG⊥ 轴，
∴CD∥BF，
则△OCD △OBF，
∴ ，
∵OC=2BC，即 ，
∴CD= BF，即 ，
∴ ，
∴点C的坐标为( ， )，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴点B的坐标为( ， )，
∵ ，
，
，
，
∴ ，
解得： ，
故答案为：C．
【分析】过点C作DE⊥ 轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥ 轴于点F，延长BA交 轴于点G，则BG⊥ 轴，CD∥BF，则△OCD △OBF，得出B、C的坐标，因为 ， ， ， ，即可得出k的值。
二、填空题
9．（2021·海南模拟）已知 ，它们的周长分别为 和 ，则 与 面积之比为 .
【答案】9：1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 且它们的周长分别为 和 ，
∴ 与 的相似比为3：1
∴ 与 的面积比为9：1
故答案为：9：1.
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似之比，面积之比等于形似比的平方即可得出结果.
10．（2021九上·海州期末）如图，要使△ACD∽△ABC，只需添加条件 (只要写出一种合适的条件即可).
【答案】∠1=∠ABC或∠2=∠ACB或AC2=AD·AB(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：两个三角形已有公共角∠A，故可采用添加∠1=∠ABC或∠2=∠ACB或AC2=AD·AB这三方法均可.
【分析】 要判定两三角形相似，已知有一组公共角，则再添加一组角或夹公共角的两组边对应成比例，即可证明两个三角形相似．
11．（2020九上·株洲期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 ，在近岸取点 ， ， ，使得 ， ，点 在 上，并且点 ， ， 在同一条直线上．若测得 ， ， ，则河的宽度 等于 ．
【答案】40m
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
∴
即
故答案为：40m
【分析】根据已知条件可得△ABE∽△DCE，再根据相似三角形对应边成比例求出AB的值即可。
12．（2021·徐州）如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴ 与四边形 的面积的比= .
故答案是： .
【分析】证明 ，可得，据此即可求出结论.
13．（2021·南通模拟）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4.那么这两个三角形的周长之比为 .
【答案】5：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，
∴其相似比为5：4，
∴这两个相似三角形的周长的比为5：4.
故答案为：5：4.
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论.
14．（2021·朝阳模拟）如图， 中， ，点D是边 上的一个动点（点D与点 不重合），若再增加一个条件，就能使 与 相似，则这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】答案不唯一，如：
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠DBA=∠CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是DB：BA=AB：BC；
∵∠DBA=∠CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是 ；
故答案为：DB：BA=AB：BC或 ．
【分析】根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可．
15．（2021·绥化）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 垂直于 轴，以 为对称轴作 的轴对称图形，对称轴 与线段 相交于点 ，点 的对应点 恰好落在 的双曲线上．点 的对应点分别是点 ．若点 为 的中点，且 ，则 的值为 ．
【答案】-24
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE=GA，CG=OG，BC=OD，
∵点 为 的中点，
∴AE=OA，
∴ ，
∵MN∥y轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设EG=x，FG=y，则OG=3x，OD=4y，
∴ ，
因为D点和B点关于MN对称，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵点 恰好落在 的双曲线上，
∴ ，
故答案为：-24．
【分析】根据轴对称性质得到AG=AC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出△ABC的面积，根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值即可。
三、解答题
16．（2021·南昌模拟）如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
【答案】证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
17．（2021·顺德模拟）如图，在直角三角形 中， ，作 的内接矩形 ．设 ，求x取何值时矩形的面积最大？
【答案】解：设矩形 为S，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，S有最大值，最大值为300．
即x取15时矩形的面积最大．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设矩形 为S，证明 ，利用相似比得到 ，则用x表示出 ，再利用矩形的面积公式得到 ，然后利用二次函数的性质解决问题．
18．（2019九上·德惠月考）如图，在 中，AB=AC,D、E、B、C在同一条直线上，且 .求证： ∽ .
【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB2=BD CE，
∴ ，即 ，
∴△ABD∽△ECA．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【详解】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB2=BD CE，
∴ ，即 ，
∴△ABD∽△ECA．
【分析】本题关键是找到对应边成比例，利用AB2=BD CE，得到，再通过相等边进行转换即可。
四、作图题
19．（2021九上·金台期末）如图，在 中， ，在 边上利用尺规求作一点 使得 和 相似.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示，点 即为所求.
.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】因为∠B是公共角，所以只需再有一个直角相等即可，于是过点A作AP⊥BC交BC于点P，点P即为所求.
20．（2021·镇海模拟）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1， 是格点三角形（顶点在方格顶点处）.
（1）在图1中画出一个格点 ，使得 与 相似，周长之比为2:1；
（2）在图2中画出一个格点 ，使得 与 相似，面积之比为2:1.
【答案】（1）解：（1）如图，△ 即为所求作.
（2）解：如图，△ 即为所求作.
【知识点】相似三角形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）由相似三角形周长比等于相似比可得把原边长扩大2倍即可；
（2）由相似三角形面积比等于相似比的平方可得把原边长扩大倍即可.
五、综合题
21．（2021·江干模拟）如图，在 中， ， ， ， ， ， ，求：
（1） 与 的度数；
（2） 的长.
【答案】（1）解：∵∠A=65°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴∠AED=∠C=75°，
（2）解：由（1）知，△AED∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴BC= .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两组角对应相等的两个三角形相似可得结果；
（2）由（1）可得 ，代入可得结果.
22．（2021·玉林）如图，在 中，D在 上， ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 可得 ，根据 可得 可得结果；
（2）由（1）可得 ， ，根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ，即可得结果.
23．（2021九上·中方期末）在锐角△ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于F，∠EAF=∠GAC.
（1）求证：△AEF∽△ACG.
（2）求证：∠ADE=∠B.
（3）若AD=3，AB=5，求 .
【答案】（1）证明：如图AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F
∴∠AFE=∠AGC=90°
在ΔAEF与ΔACG中
∠AFE=∠AGC=90°
∠EAF=∠GAC
∴ΔAEF∽ΔACG
（2）证明：由（1）知 ，
∴∠AEF=∠C
在ΔADE与ΔABC中
∵∠AEF=∠D，∠DAE=∠BAC（公共角）
∴∠ADE=∠B
（3）解：由（2）知在ΔADE与ΔABC中
∵∠AEF=∠C
∠DAE=∠BAC（公共角）
ΔADE∽ΔABC
∴
由（1）知
∴
∴
又已知AD=3，AB=5，∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据条件 可得 ∠AFE=∠AGC=90° ，又 ∠EAF=∠GAC ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得出结论；
（2）由（1）知 ，证明得到∠AEF=∠C， 又∠DAE=∠BAC ，根据三角形的内角和定理即可证明∠ADE=∠B；
（3）先证ΔADE∽ΔABC， 得 ，再由 ，得，根据等量代换得出，即可得出答案.
1 / 1初中数学湘教版九年级上册3.4相似三角形的判定与性质 同步练习
一、单选题
1．（2021·集美模拟）如图，已知 ∽ ，则下列哪条线段与 的比等于相似比（ ）.
A． B． C． D．
2．（2021·抚顺模拟）已知，AB是⊙O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A+∠B=90°
C．∠A+∠B＞90° D．∠A+∠B的值无法确定
3．（2021·下城模拟）如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，AC上（不与端点重合），连接DE，若DE∥BC，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·海南模拟）能判定 与 相似的条件是（ ）
A．
B． ，且
C． 且
D． ，且
5．（2021·湘西）如图，在 中， ， 于点 ， ， ， ，则 的长是（ ）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
6．（2021·孝义模拟）如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·龙港模拟）如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
8．（2021·朝阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 的图象上，连结OA，过点A作AB平行于x轴，点B在点A的右侧，连结OB交该函数图象于点C，连结AC．若 ，且 的面积为 ，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
二、填空题
9．（2021·海南模拟）已知 ，它们的周长分别为 和 ，则 与 面积之比为 .
10．（2021九上·海州期末）如图，要使△ACD∽△ABC，只需添加条件 (只要写出一种合适的条件即可).
11．（2020九上·株洲期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 ，在近岸取点 ， ， ，使得 ， ，点 在 上，并且点 ， ， 在同一条直线上．若测得 ， ， ，则河的宽度 等于 ．
12．（2021·徐州）如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为 .
13．（2021·南通模拟）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4.那么这两个三角形的周长之比为 .
14．（2021·朝阳模拟）如图， 中， ，点D是边 上的一个动点（点D与点 不重合），若再增加一个条件，就能使 与 相似，则这个条件可以是 （写出一个即可）．
15．（2021·绥化）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 垂直于 轴，以 为对称轴作 的轴对称图形，对称轴 与线段 相交于点 ，点 的对应点 恰好落在 的双曲线上．点 的对应点分别是点 ．若点 为 的中点，且 ，则 的值为 ．
三、解答题
16．（2021·南昌模拟）如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
17．（2021·顺德模拟）如图，在直角三角形 中， ，作 的内接矩形 ．设 ，求x取何值时矩形的面积最大？
18．（2019九上·德惠月考）如图，在 中，AB=AC,D、E、B、C在同一条直线上，且 .求证： ∽ .
四、作图题
19．（2021九上·金台期末）如图，在 中， ，在 边上利用尺规求作一点 使得 和 相似.（保留作图痕迹，不写作法）
20．（2021·镇海模拟）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1， 是格点三角形（顶点在方格顶点处）.
（1）在图1中画出一个格点 ，使得 与 相似，周长之比为2:1；
（2）在图2中画出一个格点 ，使得 与 相似，面积之比为2:1.
五、综合题
21．（2021·江干模拟）如图，在 中， ， ， ， ， ， ，求：
（1） 与 的度数；
（2） 的长.
22．（2021·玉林）如图，在 中，D在 上， ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值.
23．（2021九上·中方期末）在锐角△ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于F，∠EAF=∠GAC.
（1）求证：△AEF∽△ACG.
（2）求证：∠ADE=∠B.
（3）若AD=3，AB=5，求 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∽ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，找出对应边，即可.
2．【答案】B
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：∵AB是直径，∴∠C是直角，∴∠A+∠B=90°，
用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，
所以在镜中看的角大小没有改变，∴∠A+∠B=90°．
故答案为：B．
【分析】因为AB是直径，则∠C是直角，所以∠A+∠B=90°，用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，只改变图形的大小，不改变图形的形状，所以在镜中看的角大小没有改变，所以∠A与放大镜中的∠B的关系是和仍然为90°．
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
故选：C．
【分析】首先根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，然后得到三角形对应边的比即可得到结果．
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、 ，
B、 ，且 ，
D、 ，且 ，
均不能判断 与 相似，故错误；
C、 且 ，能判定 与 相似，本选项正确.
故答案为：C.
【分析】相似三角形的判定方法：有两对角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此即可判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】证明 ，可得，据此即可求出CD的长.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，OA=2OD，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∵△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积为 ，
故答案为：C．
【分析】先求出△ABC与△DEF的相似比为2：1，再根据△ABC的面积为S，求解即可。
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加 可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意；
D、添加 不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BAC，再结合相似三角形的判定方法进行分析即可。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，
∴设A( ， )，B( ， )，C( ， )，
过点C作DE⊥ 轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥ 轴于点F，延长BA交 轴于点G，则BG⊥ 轴，
∴CD∥BF，
则△OCD △OBF，
∴ ，
∵OC=2BC，即 ，
∴CD= BF，即 ，
∴ ，
∴点C的坐标为( ， )，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴点B的坐标为( ， )，
∵ ，
，
，
，
∴ ，
解得： ，
故答案为：C．
【分析】过点C作DE⊥ 轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥ 轴于点F，延长BA交 轴于点G，则BG⊥ 轴，CD∥BF，则△OCD △OBF，得出B、C的坐标，因为 ， ， ， ，即可得出k的值。
9．【答案】9：1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 且它们的周长分别为 和 ，
∴ 与 的相似比为3：1
∴ 与 的面积比为9：1
故答案为：9：1.
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似之比，面积之比等于形似比的平方即可得出结果.
10．【答案】∠1=∠ABC或∠2=∠ACB或AC2=AD·AB(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：两个三角形已有公共角∠A，故可采用添加∠1=∠ABC或∠2=∠ACB或AC2=AD·AB这三方法均可.
【分析】 要判定两三角形相似，已知有一组公共角，则再添加一组角或夹公共角的两组边对应成比例，即可证明两个三角形相似．
11．【答案】40m
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
∴
即
故答案为：40m
【分析】根据已知条件可得△ABE∽△DCE，再根据相似三角形对应边成比例求出AB的值即可。
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴ 与四边形 的面积的比= .
故答案是： .
【分析】证明 ，可得，据此即可求出结论.
13．【答案】5：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，
∴其相似比为5：4，
∴这两个相似三角形的周长的比为5：4.
故答案为：5：4.
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论.
14．【答案】答案不唯一，如：
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠DBA=∠CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是DB：BA=AB：BC；
∵∠DBA=∠CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是 ；
故答案为：DB：BA=AB：BC或 ．
【分析】根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可．
15．【答案】-24
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE=GA，CG=OG，BC=OD，
∵点 为 的中点，
∴AE=OA，
∴ ，
∵MN∥y轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设EG=x，FG=y，则OG=3x，OD=4y，
∴ ，
因为D点和B点关于MN对称，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵点 恰好落在 的双曲线上，
∴ ，
故答案为：-24．
【分析】根据轴对称性质得到AG=AC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出△ABC的面积，根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值即可。
16．【答案】证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
17．【答案】解：设矩形 为S，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，S有最大值，最大值为300．
即x取15时矩形的面积最大．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设矩形 为S，证明 ，利用相似比得到 ，则用x表示出 ，再利用矩形的面积公式得到 ，然后利用二次函数的性质解决问题．
18．【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB2=BD CE，
∴ ，即 ，
∴△ABD∽△ECA．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【详解】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB2=BD CE，
∴ ，即 ，
∴△ABD∽△ECA．
【分析】本题关键是找到对应边成比例，利用AB2=BD CE，得到，再通过相等边进行转换即可。
19．【答案】解：如图所示，点 即为所求.
.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】因为∠B是公共角，所以只需再有一个直角相等即可，于是过点A作AP⊥BC交BC于点P，点P即为所求.
20．【答案】（1）解：（1）如图，△ 即为所求作.
（2）解：如图，△ 即为所求作.
【知识点】相似三角形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）由相似三角形周长比等于相似比可得把原边长扩大2倍即可；
（2）由相似三角形面积比等于相似比的平方可得把原边长扩大倍即可.
21．【答案】（1）解：∵∠A=65°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴∠AED=∠C=75°，
（2）解：由（1）知，△AED∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴BC= .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两组角对应相等的两个三角形相似可得结果；
（2）由（1）可得 ，代入可得结果.
22．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 可得 ，根据 可得 可得结果；
（2）由（1）可得 ， ，根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ，即可得结果.
23．【答案】（1）证明：如图AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F
∴∠AFE=∠AGC=90°
在ΔAEF与ΔACG中
∠AFE=∠AGC=90°
∠EAF=∠GAC
∴ΔAEF∽ΔACG
（2）证明：由（1）知 ，
∴∠AEF=∠C
在ΔADE与ΔABC中
∵∠AEF=∠D，∠DAE=∠BAC（公共角）
∴∠ADE=∠B
（3）解：由（2）知在ΔADE与ΔABC中
∵∠AEF=∠C
∠DAE=∠BAC（公共角）
ΔADE∽ΔABC
∴
由（1）知
∴
∴
又已知AD=3，AB=5，∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据条件 可得 ∠AFE=∠AGC=90° ，又 ∠EAF=∠GAC ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得出结论；
（2）由（1）知 ，证明得到∠AEF=∠C， 又∠DAE=∠BAC ，根据三角形的内角和定理即可证明∠ADE=∠B；
（3）先证ΔADE∽ΔABC， 得 ，再由 ，得，根据等量代换得出，即可得出答案.
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