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5.2.3 简单复合函数的导数
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.
课标要求
素养要求
在根据复合函数的求导法则求复合函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
复合函数的导数
复合函数的概念
由______________复合而成的函数，称为复合函数
复合函数的
求导法则
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝______，即yx′＝_____
基本初等函数
yu′·ux′
yu′·a
点睛
1.思考辨析，判断正误
√
(1)函数f(x)＝ln(－2x＋1)是由y＝ln
u与u＝－2x＋1复合而成的.(
)
×
提示 f(x)不是复合函数.
(3)设f(x)＝e－x，则f′(x)＝e－x.(
)
×
√
B
3.设f(x)＝sin
2x，则f′(x)＝( )
A.cos
2x
B.2cos
2x
C.－cos
2x
D.－2cos
2x
解析 f′(x)＝cos
2x·(2x)′＝2cos
2x.
B
－2e
4.曲线f(x)＝e－2x＋3在(1，f(1))处的切线的斜率是________.
解析 f′(x)＝－2e－2x＋3，f′(1)＝－2e，即k＝－2e.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 求复合函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
即y′＝3e3x＋2.
(1)求复合函数的导数的步骤
思维升华
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
【训练1】 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x＋3；
解 (1)设y＝u4，u＝2x－1，
则yx′＝yu′ux′＝(u4)′(2x－1)′
＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)设y＝10u，u＝2x＋3，
则yx′＝yu′ux′＝(10u)′(2x＋3)′
＝10uln
10·2＝2·102x＋3·ln
10＝102x＋3·ln
100.
解 (3)yx′＝(e－x)′sin
2x＋e－x·(sin
2x)′＝－e－xsin
2x＋2e－xcos
2x.
题型二 与复合函数有关的切线问题
解此类问题的关键有两个：
(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏.
(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.
思维升华
【训练2】 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是__________.
解析 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.
所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.
因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.
则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，
所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
2x－y＝0
题型三 导数法则的综合应用
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，
解 由例题知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
关于复合函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.
(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.
思维升华
解 设f(x)＝3sin
x，
1.牢记1个知识点
复合函数的导数.
2.求复合函数的导数的5个环节
(1)中间变量的选择应是基本初等函数结构；
(2)关键是正确分析函数的复合层次；
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.
3.注意1个易错点
对复合函数求导不完全.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝( )
C
2.函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a＝( )
A
A.1
B.－1
C.2
D.－2
3.设函数f(x)＝(2
020－2
019x)3，则f′(1)＝( )
A.6
057
B.－6
057
C.2
019
D.－2
019
B
解析 f′(x)＝3×(－2
019)(2
020－2
019x)2，
则f′(1)＝3×(－2
019)＝－6
057.
4.(多选题)下列结论中错误的是(
)
ACD
B
二、填空题
6.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160
km/h.假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行使时间t(s)的关系v＝0.4t＋0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24
m/s时加速度为________(m/s2).
7.6
解析 当v＝24时，0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6(负根舍去)，v′＝0.4＋1.2t，
当t＝6时，v′＝0.4＋1.2×6＝7.6(m/s2).
7.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________.
2
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，
则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
e2
三、解答题
9.求下列函数的导数：
解 (1)设y＝u8，u＝1＋2x2，
∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x
＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.
解
(3)yx′＝(sin
2x－cos
2x)′＝(sin
2x)′－(cos
2x)′
(4)设y＝cos
u，u＝x2，
则yx′＝(cos
u)′·(x2)′＝(－sin
u)·2x＝(－sin
x2)·2x＝－2xsin
x2.
10.已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线.求切线l的方程.
f′(0)＝－1，又f(0)＝1，
∴切点P的坐标为(0，1)，l的斜率为－1，∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
0
－1
解析 由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln
1＋1＋b＝0，故b＝－1.
此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率.
2
将t＝1代入S′(t)，
得S′(1)＝2.25(m/s).
它表示当t＝1
s时，梯子上端下滑的速度为2.25
m/s.
A.y＝2x＋6
B.y＝2x－4
C.y＝3x＋1
D.y＝3x－4
AB
解得b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
本节内容结束5.2.3 简单复合函数的导数
课标要求
素养要求
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.
在根据复合函数的求导法则求复合函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
自主梳理
复合函数的导数
复合函数的概念
由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数
复合函数的求导法则
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝yu′·a
复合函数的求导，关键是弄清是由哪些基本初等函数复合而成的，然后由外及里，层层求导.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)函数f(x)＝ln(－2x＋1)是由y＝ln
u与u＝－2x＋1复合而成的.(√)
(2)f(x)＝2x2－是复合函数.(×)
提示 f(x)不是复合函数.
(3)设f(x)＝e－x，则f′(x)＝e－x.(×)
提示 f′(x)＝－e－x.
(4)设f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(x)＝.(√)
2.设f(x)＝cos
2x－3x，则f′＝( )
A.－5
B.－3
C.－4
D.－
答案 B
解析 f′(x)＝－2sin
2x－3，f′＝－2sin
π－3＝－3.
3.设f(x)＝sin
2x，则f′(x)＝( )
A.cos
2x
B.2cos
2x
C.－cos
2x
D.－2cos
2x
答案 B
解析 f′(x)＝cos
2x·(2x)′＝2cos
2x.
4.曲线f(x)＝e－2x＋3在(1，f(1))处的切线的斜率是________.
答案 －2e
解析 f′(x)＝－2e－2x＋3，f′(1)＝－2e，即k＝－2e.
题型一 求复合函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
(1)y＝；(2)y＝log2(2x＋1)；
(3)y＝e3x＋2；(4)y＝sin.
解 (1)y＝(1－2x)－，
设y＝u－，u＝1－2x，
则yx′＝yu′ux′＝(u－)′(1－2x)′
＝·(－2)＝(1－2x)－.
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则yx′＝yu′ux′＝(log2u)′(2x＋1)′
＝·2＝，
即y′＝.
(3)设y＝eu，u＝3x＋2，
则yx′＝y′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′
＝3eu＝3e3x＋2，
即y′＝3e3x＋2.
(4)设y＝sin
u，u＝2x＋，
则yx′＝yu′ux′＝(sin
u)′′
＝cos
u·2＝2cos.
思维升华 (1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
【训练1】 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝e－x·sin
2x；
(4)y＝.
解 (1)设y＝u4，u＝2x－1，
则yx′＝yu′ux′＝(u4)′(2x－1)′
＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)设y＝10u，u＝2x＋3，
则yx′＝yu′ux′＝(10u)′(2x＋3)′
＝10uln
10·2＝2·102x＋3·ln
10＝102x＋3·ln
100.
(3)yx′＝(e－x)′sin
2x＋e－x·(sin
2x)′
＝－e－xsin
2x＋2e－xcos
2x.
(4)yx′＝
＝＝.
题型二 与复合函数有关的切线问题
【例2】 求曲线y＝在点(1，)处的切线方程.
解 y′＝()′＝(3x2＋1)－·(3x2＋1)′
＝··6x＝，
当x＝1时，y′＝，∴切线的斜率为k＝，
∴在点(1，)处的切线方程为y－＝(x－1)，
即x－y＋1＝0.
思维升华 解此类问题的关键有两个：
(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏.
(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.
【训练2】 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.
答案 2x－y＝0
解析 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.
所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.
因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.
则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，
所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
题型三 导数法则的综合应用
【例3】 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值.
解 因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.
【迁移】 若将本例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝相交”，求实数a的取值范围.
解 由例题知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
∵直线l与圆C：x2＋y2＝相交，
∴圆心到直线l的距离小于半径，
即d＝<，解得a>.
故a的取值范围为.
思维升华 关于复合函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.
(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.
【训练3】 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.
解 设f(x)＝3sin
x，
x＝φ(t)＝t＋，
所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos
x·
＝cos，
将t＝18代入s′(t)，
得s′(18)＝cos＝(m/h).
s′(18)表示当t＝18
h时，潮水的高度上升的速度为
m/h.
1.牢记1个知识点
复合函数的导数.
2.求复合函数的导数的5个环节
(1)中间变量的选择应是基本初等函数结构；
(2)关键是正确分析函数的复合层次；
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.
3.注意1个易错点
对复合函数求导不完全.
一、选择题
1.设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝( )
A.ln
3
B.－ln
3
C.
D.－
答案 C
解析 f′(x)＝，故f′(2)＝.
2.函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a＝( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
答案 A
解析 y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.
3.设函数f(x)＝(2
020－2
019x)3，则f′(1)＝( )
A.6
057
B.－6
057
C.2
019
D.－2
019
答案 B
解析 f′(x)＝3×(－2
019)(2
020－2
019x)2，
则f′(1)＝3×(－2
019)＝－6
057.
4.(多选题)下列结论中错误的是( )
A.若y＝cos
，则y′＝－sin
B.若y＝sin
x2，则y′＝2xcos
x2
C.若y＝cos
5x，则y′＝－sin
5x
D.若y＝xsin
2x，则y′＝xsin
2x
答案 ACD
解析 对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误；
对于B，y＝sin
x2，则y′＝2xcos
x2，故正确；
对于C，y＝cos
5x，则y′＝－5sin
5x，故错误；
对于D，y＝xsin
2x，则y′＝sin
2x＋xcos
2x，故错误.
5.曲线y＝cos在x＝处切线的斜率为( )
A.2
B.－2
C.
D.－
答案 B
解析 设y＝cos
u，u＝2x＋，
yx′＝(cos
u)′′＝－2sin，
故k＝－2sin＝－2.
二、填空题
6.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160
km/h.假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行使时间t(s)的关系v＝0.4t＋0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24
m/s时加速度为________(m/s2).
答案 7.6
解析 当v＝24时，0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6(负根舍去)，v′＝0.4＋1.2t，当t＝6时，v′＝0.4＋1.2×6＝7.6(m/s2).
7.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________.
答案 2
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又y′＝，
∴y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
8.曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
答案 e2
解析 ∵y′＝ex，∴y′|x＝4＝e2.
∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－4)，
整理得：y＝e2x－e2，
切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2，0)，
则切线与坐标轴围成的三角形面积
S＝×|－e2|×|2|＝e2.
三、解答题
9.求下列函数的导数：
(1)y＝(1＋2x2)8；(2)y＝；(3)y＝sin
2x－cos
2x；(4)y＝cos
x2.
解 (1)设y＝u8，u＝1＋2x2，
∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x
＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.
(2)设y＝u－，u＝1－x2，
则yx′＝′(1－x2)′
＝·(－2x)＝x(1－x2)－.
(3)yx′＝(sin
2x－cos
2x)′
＝(sin
2x)′－(cos
2x)′
＝2cos
2x＋2sin
2x＝2sin.
(4)设y＝cos
u，u＝x2，
则yx′＝(cos
u)′·(x2)′
＝(－sin
u)·2x＝(－sin
x2)·2x
＝－2xsin
x2.
10.已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线.求切线l的方程.
解 ∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，
∴f′(x)＝2ax－2＋＝，
f′(0)＝－1，又f(0)＝1，
∴切点P的坐标为(0，1)，l的斜率为－1，∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
11.设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切，则a＝________，b＝________.
答案 0 －1
解析 由曲线y＝f(x)过(0，0)点，
可得ln
1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，
得f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率.
由题意，得＋a＝，故a＝0.
所以a＝0，b＝－1.
12.已知函数f(x)＝＋x2
019＋sin
x(x∈R)，则f(2
019)＋f(－2
019)＋f′(2
019)－f′(－2
019)的值为________.
答案 2
解析 由题意，f′(x)＝＋2
019x2
018＋cos
x，
f′(－x)＝＋2
019(－x)2
018＋cos(－x)
＝＋2
019x2
018＋cos
x＝f′(x)，
∴f′(x)是偶函数，∴f′(x)－f′(－x)＝0，
又f(x)＋f(－x)
＝＋x2
019＋sin
x＋＋(－x)2
019＋sin(－x)＝＋＝2，
∴f(2
019)＋f(－2
019)＋f′(2
019)－f′(－2
019)＝2.
13.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离S(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为S＝S(t)＝5－.求函数在t＝1
s时的导数，并解释它的实际意义.
解 函数S＝5－可以看作函数S＝5－和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量.
由导数公式表可得Sx′＝－x－，xt′＝－18t.
故由复合函数求导法则得
S′t＝S′x·x′t＝·(－18t)＝，
将t＝1代入S′(t)，
得S′(1)＝2.25(m/s).
它表示当t＝1
s时，梯子上端下滑的速度为2.25
m/s.
14.(多选题)若直线l与曲线y＝e2xcos
3x在点(0，1)处的切线平行，且两直线间的距离为，则直线l的方程可能为( )
A.y＝2x＋6
B.y＝2x－4
C.y＝3x＋1
D.y＝3x－4
答案 AB
解析 y′＝e2x(2cos
3x－3sin
3x)，
∴y′|x＝0＝2，
则所求的切线方程为y＝2x＋1.
设直线l的方程为y＝2x＋b，则＝，
解得b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
