5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
课标要求
素养要求
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.
在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
自主梳理
导数的四则运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
差的导数
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
积的导数
[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的导数
′＝(g(x)≠0)
对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(×)
提示 由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋C.
(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1).(√)
(3)当g(x)≠0时，′＝.(√)
(4)函数f(x)＝xln
x的导数是f′(x)＝x.(×)
提示 f′(x)＝(x)′ln
x＋x(ln
x)′＝ln
x＋1.
2.
(多选题)下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋
B.(sin
x＋cos
x)′＝cos
x－sin
x
C.′＝
D.(x2cos
x)′＝－2xsin
x
答案 BC
解析 A中′＝1－，A不正确；
D中，(x2cos
x)′＝2xcos
x－x2sin
x，D不正确；B，C正确.
3.设f(x)＝x3＋ax2－2x＋b，若f′(1)＝4，则a的值是( )
A.
B.
C.－1
D.－
答案 B
解析 f′(x)＝3x2＋2ax－2，故f′(1)＝3＋2a－2＝4，解得a＝.
4.设f(x)＝，则f′(0)＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝＝，故f′(0)＝1.
题型一 利用导数运算法则求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝；
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝.
解 (1)法一 可以先展开后再求导：
y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.
法二 可以利用乘法的求导法则进行求导：
y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
(2)把函数的解析式整理变形可得：
y＝＝＝1－，
∴y′＝－＝.
(3)根据求导法则进行求导可得：
y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln
3·ex＋3xex－2xln
2＝(3e)xln
3e－2xln
2.
(4)利用除法的求导法则进行求导可得：
y′＝
＝＝.
思维升华 利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则、基本公式.
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
【训练1】 求下列函数的导数.
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
(2)y＝3x＋lg
x；
(3)y＝x2＋tan
x；
(4)y＝.
解 (1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
(2)y′＝(3x)′＋(lg
x)′＝3xln
3＋.
(3)∵y＝x2＋，
∴y′＝(x2)′＋′
＝2x＋＝2x＋.
(4)y′＝
＝＝.
题型二 求导法则的应用
角度1 求导法则的逆向应用
【例2】 已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.
解 由f′(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，f′(x)代入关于x的方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，
又该方程对一切x∈R恒成立，
所以解得
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
思维升华 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.
【训练2】 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式.
解 ∵f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，
又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，∴Δ＝12－4c＝0，即c＝，
∴f(x)＝x2＋x＋.
角度2 求导法则在导数几何意义中的应用
【例3】 已知函数f(x)＝ax3－x2－x＋b(a，b∈R，a≠0)，g(x)＝ex，f(x)的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋.
(1)求a，b的值；
(2)直线y＝x＋是否与函数g(x)的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由.
解 (1)f′(x)＝3ax2－2x－1.
∵f(x)的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋，
∴f′＝，即3a·＋1－1＝，解得a＝1，又f(x)的图象过点，
∴－－＋b＝，解得b＝.
综上，a＝1，b＝.
(2)假设直线y＝x＋与函数g(x)的图象相切于点A(x0，y0).
∵g′(x)＝ex，∴g′(x0)＝ex0＝，
解得x0＝－，
将x0＝－代入g(x)＝ex，得点A的坐标是，∴切线方程为y－＝，化简得y＝x＋，故直线y＝x＋与函数g(x)的图象相切，切点坐标是.
思维升华 (1)此类问题主要涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
【训练3】 (1)已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
解 (1)由题意得f′(x)＝
＝＝，
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以解得
则f(x)＝；
(2)由(1)可得，f′(x)＝，
所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝eq
\f(－4x＋4,（x＋1）2)＝eq
\f(－4（x＋1）＋8,（x＋1）2)
＝－4·eq
\f(1,x＋1)＋eq
\f(8,（x＋1）2).
设t＝eq
\f(1,x＋1)，则t∈(0，1]，
所以k＝4(2t2－t)＝8－，
则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，
所以直线l的斜率k的取值范围是.
1.牢记导数的运算法则
2.掌握运用法则求导的方法
在运用法则求导时，对于复杂的函数可先化简函数解析式再求导.
3.注意1个易错点
[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x).
一、选择题
1.曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，所以在x＝1处的切线的倾斜角为.
2.函数y＝的导数是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 y′＝′＝
＝＝.
3.下列运算中正确的是( )
A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′＋(c)′
B.(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2′(x2)′
C.′＝
D.(cos
x·sin
x)′＝(sin
x)′cos
x＋(cos
x)′cos
x
答案 A
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′＋(c)′，正确；
B项中，(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2(x2)′，错误；
C项中，′＝，错误；
D项中，(cos
x·sin
x)′＝(cos
x)′sin
x＋cos
x(sin
x)′，错误.
4.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A.－1
B.－2
C.2
D.0
答案 B
解析 f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)是奇函数，
故f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
5.(多选题)过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程为( )
A.3x＋y＝0
B.24x－y－54＝0
C.3x－y＝0
D.24x－y＋54＝0
答案 AB
解析 设切点为(m，m3－3m)，
f(x)＝x3－3x的导数为f′(x)＝3x2－3，
则切线斜率k＝3m2－3，
由点斜式方程可得切线方程为
y－m3＋3m＝(3m2－3)(x－m)，
将点P(2，－6)代入可得－6－m3＋3m＝(3m2－3)(2－m)，
解得m＝0或m＝3.
当m＝0时，切线方程为3x＋y＝0；
当m＝3时，切线方程为24x－y－54＝0.
二、填空题
6.函数f(x)＝exsin
x的图象在点(0，f(0))处切线的倾斜角为________.
答案
解析 由题意得，f′(x)＝exsin
x＋excos
x＝ex(sin
x＋cos
x)，∴函数f(x)的图象在点(0，f(0))处切线的斜率k＝f′(0)＝1，则所求的倾斜角为.
7.已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________.
答案 或－4
解析 f′(x)＝若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－4.
8.设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.
答案
解析 ∵h′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
三、解答题
9.求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x2＋9)；
(2)f(x)＝.
解 (1)f(x)＝x3＋6x－，f′(x)＝3x2＋＋6.
(2)f′(x)＝
＝＝.
10.已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，且在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值.
解 由抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，
得1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.
因为f′(x)＝2ax＋b，且抛物线在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0，所以f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0.
由解得
11.已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( )
答案 A
解析 ∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos
x，∴f′(x)＝x－sin
x.易知f′(x)＝x－sin
x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D；由f′＝－<0，排除C，故选A.
12.若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公共切线，则实数a的取值范围为( )
A.(0，1)
B.
C.
D.
答案 D
解析 y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，y＝(a>0)在点处的切线斜率为en，如果两个曲线存在公共切线，那么2m＝en.又由斜率公式可得2m＝，由此得到m＝2n－2，则4n－4＝en有解，所以函数y＝4x－4与y＝ex的图象有交点即可.当直线y＝4x－4与函数y＝ex的图象相切时，设切点为(s，t)，则es＝4，且t＝4s－4＝es，即有切点(2，4)，a＝，故实数a的取值范围是.故选D.
13.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
(1)解 由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，
∴f′(2)＝，②
由①②得解得
故f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x)))(x－x0)，
即y－＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x)))(x－x0).
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
14.如图所示的图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则这个图象的序号是________，f(－1)＝________.
答案 ③ －
解析 ∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，
∴f′(x)的图象开口向上，排除图象②④；
又a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，
故f′(x)的图象的序号为③.
由图象特征可知，f′(0)＝0，
∴a2－1＝0，且对称轴x＝－a>0，
∴a＝－1，
∴f(x)＝x3－x2＋1，
则f(－1)＝－.(共46张PPT)
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.
课标要求
素养要求
在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
导数的四则运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
f′(x)＋g′(x)
f′(x)－g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
点睛
1.思考辨析，判断正误
×
(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(
)
提示 由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋C.
√
(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1).(
)
√
(4)函数f(x)＝xln
x的导数是f′(x)＝x.(
)
提示 f′(x)＝(x)′ln
x＋x(ln
x)′＝ln
x＋1.
×
2.
(多选题)下列求导运算正确的是( )
BC
3.设f(x)＝x3＋ax2－2x＋b，若f′(1)＝4，则a的值是( )
B
1
课堂互动
题型剖析
2
题型一 利用导数运算法则求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
解 法一 可以先展开后再求导：
y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.
法二 可以利用乘法的求导法则进行求导：
y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
解
把函数的解析式整理变形可得：
解
根据求导法则进行求导可得：
y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln
3·ex＋3xex－2xln
2＝(3e)xln
3e－2xln
2.
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则、基本公式.
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
思维升华
【训练1】 求下列函数的导数.
解
(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
角度1 求导法则的逆向应用
题型二 求导法则的应用
【例2】 已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.
解 由f′(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，
f′(x)代入关于x的方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，
待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.
思维升华
【训练2】 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式.
解 ∵f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，
又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，
角度2 求导法则在导数几何意义中的应用
解 f′(x)＝3ax2－2x－1.
(1)此类问题主要涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
思维升华
(1)求函数f(x)的解析式；
所以直线l的斜率
1.牢记导数的运算法则
2.掌握运用法则求导的方法
在运用法则求导时，对于复杂的函数可先化简函数解析式再求导.
3.注意1个易错点
[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x).
课堂小结
分层训练
素养提升
3
B
A
3.下列运算中正确的是( )
A
4.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A.－1
B.－2
C.2
D.0
B
解析 f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)是奇函数，
故f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
5.(多选题)过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程为( )
A.3x＋y＝0
B.24x－y－54＝0
C.3x－y＝0
D.24x－y＋54＝0
AB
解析 设切点为(m，m3－3m)，
f(x)＝x3－3x的导数为f′(x)＝3x2－3，
则切线斜率k＝3m2－3，
由点斜式方程可得切线方程为y－m3＋3m＝(3m2－3)(x－m)，
将点P(2，－6)代入可得－6－m3＋3m＝(3m2－3)(2－m)，
解得m＝0或m＝3.
当m＝0时，切线方程为3x＋y＝0；
当m＝3时，切线方程为24x－y－54＝0.
二、填空题
6.函数f(x)＝exsin
x的图象在点(0，f(0))处切线的倾斜角为________.
解析 由题意得，f′(x)＝exsin
x＋excos
x＝ex(sin
x＋cos
x)，
三、解答题
9.求下列函数的导数：
10.已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，且在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值.
解 由抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，
得1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.
因为f′(x)＝2ax＋b，且抛物线在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0，
所以f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0.
A
D
解析 y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
解析 ∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，
∴f′(x)的图象开口向上，排除图象②④；
又a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，
③
故f′(x)的图象的序号为③.
由图象特征可知，f′(0)＝0，
∴a2－1＝0，且对称轴x＝－a>0，
∴a＝－1，
本节内容结束
